规模和价格综合优化问题

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英文标题：
《The Integrated Size and Price Optimization Problem》
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作者：
Miriam Kie{\\ss}ling, Sascha Kurz, and J\\\"org Rambau
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We present the Integrated Size and Price Optimization Problem (ISPO) for a fashion discounter with many branches. Based on a two-stage stochastic programming model with recourse, we develop an exact algorithm and a production-compliant heuristic that produces small optimality gaps. In a field study we show that a distribution of supply over branches and sizes based on ISPO solutions is significantly better than a one-stage optimization of the distribution ignoring the possibility of optimal pricing.
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中文摘要：
我们提出了一个具有多个分支机构的时尚折扣店的综合规模和价格优化问题（ISPO）。基于一个有追索权的两阶段随机规划模型，我们开发了一个精确的算法和一个产生较小最优性差距的符合生产要求的启发式算法。在一项实地研究中，我们表明，基于ISPO解决方案的分支机构和规模的供应分配明显优于忽略最优定价可能性的一阶段分配优化。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
--> The_Integrated_Size_and_Price_Optimization_Problem.pdf (331.36 KB)

2022-6-8 09:38:54 上传

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关键词：Optimization Quantitative distribution Applications QUANTITATIV

另一个重要限制是，只能对所有分支机构和所有尺寸的产品降价，因此不可能对所有品牌和所有尺寸的产品单独使用动态定价策略。此外，大多数时尚产品只转售一次，再也不会出售。因此，历史销售数据只能在更高的聚合级别上使用，例如。，在商品组层面或主要商品组层面上，以销售周的价格计算历史数据。由于在大多数情况下，每个分支机构的平均供应量和单个产品的大小是零、一或两个，我们可以预期历史销售数据只会给我们提供非常粗略的信息。因此，使用一种考虑预测准确性和偏离正常行为的方法似乎是合理的。我们仍然需要设计一个模型，其随机部分足够简单，能够快速生成解决方案，同时克服不可或缺的操作方面的限制。一家大型时尚折扣店（大约1000种产品，每月约1000万件）仅需处理的商品量，就需要在Az-727-06巴伐利亚州Chungsstiftung的资助下进行供应计算。2 M.KIESSLING、S.KURZ和J.RAMBAUno平均每个产品超过15分钟，以跟上运营。这个巨大的吞吐量实际上意味着对任何环境中使用的算法都有实时性要求。在本文中，我们试图在建模准确性和实时合规性之间找到一个平衡点，只将产品的几个总体成功场景纳入模型中，但坚持对所有其他变量进行点预测，如对分支或大小的需求进行相互比较。1.1. 相关工作。[3、6、9、18]中讨论了inventor y与动态定价决策的关联。

然而，在本文中，我们将自己限制在可适用批次类型的数量上。我们未发现任何已发表的现场研究将动态定价和/或库存控制的任何理论结果应用于实际环境，并在计划控制实验中分析该方法的影响。1.2. 您的贡献。我们提出了一个现实世界时尚折扣店的库存和动态定价问题，该问题具有一组迄今为止尚未研究的操作方面的结构。对于这个问题，我们贡献了一个新的模型用于基准测试的精确分枝定界算法；o生产使用的快速启发式；o现场实验的计算结果与统计意义的稳健评估。与之前研究的问题相比，我们的组合库存和动态定价问题是一个新问题，这是因为以下几个方面的组合：o季节性商品。o无需补充。综合尺寸和价格优化问题3o无遗留物品（所有物品都以一定价格出售）。o一些分行可能提前缺货，而其他分行仍有库存供应必须按数量有限的s类批次（单个产品尺寸的预包装组件）进行订购和交付；因此，每个分支机构和规模的可能库存决策受到严格限制所有分支机构和规模的价格都必须持续降低。o价格必须从一小部分可能的价格中选取有处理批次类型的成本、使用其他批次类型的边际成本和降价成本。我们首次将这种综合规模和价格优化问题（ISPO）建模为一个带有re过程的两阶段随机规划问题。我们将标记决策视为产品微小成功的追索行动。

而在分支机构和规模上进行商品分销的实际效益取决于产品的成功率：与其他分支机构和规模相比，一个分支机构和规模收到的商品太少，在成功率较高的情况下会产生较高的机会成本，但在小成功的情况下却不会产生这种成本，因为需求较低，平均而言，商品太少就会变得非常正确。相反，与其他品牌相比，一家分支机构和一家规模的公司收到的物品太多，在小规模的成功销售中会产生高降价损失，但在高成功销售中则不会。两阶段设置是多阶段设置的近似值：ISPO是决定库存的模型。它忽略了销售过程中成功信息的流动（开环）。这是可以接受的，因为ISPO中的价格优化阶段只是对库存决策引起的追索成本的估计。当销售流程实际运行时，我们将ISPO的价格优化阶段规划为滚动期，以利用每周的销售信息。因此，在价格优化阶段，ISPO的准确度低于现有模型，因为它通过开环价格分配来估计预期利润。在规模优化阶段，ISPO的准确度远远高于现有模型，因为它考虑了许多运营方面的限制。作为对现实问题建模的贡献，我们为ISPO的两阶段随机规划模型引入了扩展混合整数线性规划公式。对于这个模型，我们设计了两种算法：一种是精确分支定界法，另一种是启发式方法：乒乓启发式。虽然这两种方法都是为我们的实际问题量身定制的，但其背后的思想可以用于其他环境。

我们在备注2和备注3中陈述了可能受到类似想法攻击的问题的一些特征。此外，我们进行了一项现实世界的现场研究，作为一项对照统计实验（类似于临床研究）。我们在一组控制分支上并行使用了现有的优化方法（“旧”方法），在一组测试分支上使用了基于ISPO模型的尺寸优化方法（“新”方法）。随机决定一个分支是作为测试分支还是作为对照分支。从这项研究中，我们得出，在五个月的时间内，我们可以将平均相对收益（总收益除以最大可能收益的平均值）增加约两个百分点（如果只考虑一小部分经过严格清理的数据，则增加超过一个百分点）。这意味着规模经济中的巨额资金。4 M.KIESSLING、S.KURZ和J.Rambauth控制测试设置的优势产生了更多的结果：通过使用利用实验设计的稳健排名统计数据，我们可以说这些改进很可能（大约4%的概率）是偶然发生的，并且没有对误差分布的假设。我们还没有看到任何公开的结果调查这种（或任何其他）统计方法的实际结果的重要性，我们认为将受控统计实验引入零售收入管理领域本身就是一种贡献。注：我们将“新”方法（本文中）与“旧”方法进行比较的“旧”方法不是我们合作伙伴开发的历史手动解决方案，而是一种基于【11】中概念的单站规模优化方法；这种“旧”方法在我们开发出来后立即被我们的合作伙伴采用，因为与之前的手动解决方案相比，它产生了明显的好处。

上述现场研究的结果评估了使用具有纯货币目标函数的随机两阶段模型与基于供应和预测需求之间距离的具有非货币目标函数的确定性单阶段模型的好处。1.3. 这张纸的外线。我们在第2节中正式说明了ISPO。第3节描述了我们用于模拟ISPO的两阶段随机程序的扩展MILP公式。在第4节中，我们介绍了两种算法：MILP的精确分枝定界求解器和快速乒乓启发式算法。在第5节中，我们概述了真实世界实地研究的设置。第6节致力于计算结果：一部分支持乒乓球可以快速解决现实世界中的ISPO实例，但存在微小的优化差距，另一部分展示了在实践中使用ISPO的影响。我们在第7.2节中得出结论。形式问题陈述我们将一件时装的供应在分支和尺寸上的分配视为一个两阶段优化问题。在尺寸优化阶段（第2.1节），我们基本上决定批量类型设计（见【11，15】）。在价格优化阶段（第2.2节），我们决定在销售过程中降价，以第一阶段的决定和第一个销售期后观察到的文章的总体成功为基础。我们希望最大化预期收益，即价格优化阶段的收益率减去两个阶段中各种行动的成本（第2.3节）。2.1. 尺寸优化阶段。数据：设B为我们时装折扣店的分支集。

设L是一组适用的批次类型：对于一组已利用的规模，批次类型是一个向量（ls）∈S∈ N | S |；它规定了该批次类型的任何预包装批次中每种尺寸的piec e的数量。对于所有分支和大小的产品总供应量，我给出了一个上限和一个下限。此外，还有一个上限κ∈ N关于使用的批次类型数量。数据的典型范围为| B |≈ 1000，| L |≈ 1000,3 ≤ |S |≤ 7和2≤ κ ≤ 总的界限I和I通常达到10000左右。我们通常有我≈ 我- 由于总供应量只能作为所选批次类型的基数之和来实现，因此，总供应量的微小变化会导致出现数论问题。综合规模和价格优化问题5决策：考虑l（b）类唯一批次的分配∈ L和唯一重数m（b）对每个分支b的赋值∈ B、 这些决策规定m（B）批次l（B）将交付给分支机构B。决策相关实体：给定分配l（B）和m（B）的分支机构B库存大小s由Ib给出，s（l，m）=m（B）l（B）s。此外，l（B）和m（B）的总供应量由I（l，m）=Pb给出∈BPs公司∈SIb，s（长，米）。2.2. 价格优化阶段。数据：我们获得了每个分支b的供应Ib、SFO∈ B和尺寸s∈ 由第一阶段决策l和m引起的S。Letk∈ K={0，1，…，kmax}是一个周期的指数，设{πp}p∈Pbe可能的价格集合。在每一次成功的盛会上∈ E我们知道每个价格πp，每个分支b，每个大小s的（分数）平均需求dek，p，b，s∈ R≥0对于k期内的产品，给出了起始价格π和残值πkmax。需求流程的实现：成功场景的实现在kobsth阶段结束时进行。在所有时段0、1、2、。

，kobs- 1对于yetunknown scena rio，必须使用起始价格。由于在所有有价格选择的时期，我们都知道我们所处的成功情景，只有第一阶段的发明决策是非预期的。（这模拟了一种情况，即一篇文章的成功与否可以在几段时间的销售之后得到很好的评估。）第一个Kobsperiod可以合并为一个期间，但随后贴现变得混乱。决策：对于已知的成功场景e，我们决定每个时段k∈ K \\{0，kmax}在价格指数pe（K）上，也就是说，我们想在所有分支和大小的K周期内，求出价格πpe（K）的乘积。该决策是在实现成功场景后，在周期kobs开始时做出的。决策相关实体：假设Ie0，b，s：=Ib，Sfore all e，b，s。然后，对于每个周期k，价格指数的选择p（k）和初始（分数）平均库存水平，用Iek，b，s（p）表示，在该周期内，诱导（分数）平均销售，用Alesek，b，s（p）表示，在周期k，分支机构b和规模s在场景e中，导致在下一个周期k+1.2.3的新平均库存水平。两阶段目标。在分支机构b中使用l类批次的m批次会产生cl、b、m等特定批次的处理成本，例如，与m成比例的拣选成本：必须大量使用数量较少的批次，因此，总供应需要更多的拣选。对于第i个使用的批次类型，我们必须支付δi的边际批次类型打开成本。

分支b中k期的（分形）平均收益率和价格组合p（k）产生的规模由yieldk，b，s（p）=πp（k）salesek，b，s（p）给出。每次价格变动都会产生u的成本。目标是确定第一阶段决策，以便在每个方案e中，对于最佳的第二阶段决策，预期利润最大，即总产量减去批次处理成本减去批次类型开办成本减去减价成本。我们将这种具有追索权的两阶段随机优化问题称为综合规模和价格优化问题（ISPO）。备注1。部分库存、销售和需求被解释为预期库存的近似值。原则上，我们可以使用任何（整体）需求场景和整体库存簿记。然而，高工资国家的必要数量减少了挑选数量，这首先是低工资国家基于批次的交付的原因。6 M.KIESSLING、S.KURZ和J.Rabauscenanios对于这样一个模型来说将是巨大的。因此，我们的场景只对文章总体成功所引起的总需求的可变性进行建模。它们不会对实际需求在周期、分支和规模方面的可变性进行建模。使用表示期望值近似值的分数值可以忽略这些变量。在这些案例中，我们谈论的是平均值，而不是期望值，以便将分数表示的期望值与我们在所有成功案例中明确计算的期望值区分开来。3、建模在下文中，我们以扩展形式开发了ISPO确定性等价物的ILP公式。对于第一阶段（SOP），我们使用二进制赋值变量xb，l,mto对独立的分配决策进行编码l（b）=l m（b）=m。

在第二阶段，我们为独立的第二阶段assignmentdecision pe（k）引入二进制赋值变量。为了计算利润和成本，我们需要更多的依赖变量。在对细节进行评论之前，我们列出了完整的模型。最大值-Xb公司∈BX公司l∈LXm公司∈Mxb，l,米·cb，l,m级-κXi=1δi·zi（1）+Xe∈EProb（e）Xk∈Kexp(-ρk）Xb公司∈BXs型∈Srek，b，s- uknek（2） 尺寸优化阶段（SOP）：Xl∈LXm公司∈Mxb，l,m=1b（3）Xm∈Mxb，l,m级≤ ylbl（4） X个l∈Ly公司l≤κXi=1zi（5）zi≤ zi公司-1.i（6）Ib，s=Xl∈LXm公司∈毫米·ls·xb，l,m级b、 s（7）I=Xb∈BXs型∈SIb，s（8）I∈ [I，I]（9）xb，l,m级∈ {0, 1} bl, m（10）年l∈ {0, 1} l（11） zi公司∈ {0, 1} i（12）Ib，s，i∈ Zb、 s.（13）通过初始库存耦合：Ib，s- ve0，b，s=0b、 综合规模和价格优化问题7价格优化阶段（POP）：Xp∈Puek，p=1k、 e（15）uek，0=1k<kobs，e（16）uekmax，pmax=1e（17）uek-1，p+uek，p≤ 1.k、 e，p，p<p（18）nek≥ uek公司-1，p+uek，p- 1.k、 e，p，p6=p（19）vek-1、b、s- vek，b，s=Xp∈Pwek公司-1、b、s、pk、 b、s、e（20）Xp∈Pwek、b、s、p≤ vek，b，sk、 b、s、e（21）wek、b、s、p≤ uek，p·dek，p，b，sk、 b，s，p，e（22）rek，b，s=Xp∈PπP·wek，b，s，Pk、 b、s、e（23）uek、p∈ {0, 1} k、 p，e（24）nek∈ {0, 1} k、 p，e（25）wek，b，s，p≥ 0k、 b、s、p、e（26）vek、b、s≥ 0k、 b，s，e（27）rek，b，s≥ 0k、 b、s、e（28）我们首先对SOP阶段模型进行了评论：我们通过等式（3）强制将批次类型和多重性分配给每个分支。为了解释批次类型的开始，我们引入了批次类型变量yl指示是否为批次类型l 当且仅当使用第i个新的批次类型时，才使用值为1的批次类型计数变量Z。等式（4）保证yl= 1无论何时l分配给至少一个分支b。不等式（5）表示使用的类型不超过κ个。不等式（6）规定zi=1意味着使用的lot类型的数量至少为i。