养老金计划的随机模型

（4） 其力矩mk（t）=Exk（t），对于所有k>0，由mk（t）=xkexp给出ktZa（s）ds+k- ktZb（s）ds. （5） ThusEx（t）=xexptZa（s）dsVar[x（t）]=xexptZa（s）ds经验值tZb（s）ds- 1.. （6） 或者，可以通过观察x（t）具有对数正态分布x（t）来计算x（t）的力矩~ LN（u，σ），其中u=对数（x）+tZa（s）-b（s）ds，σ=tZb（s）ds。因此，力矩为e【x（t）】=eu+σ=xexptZ公司a（s）-b（s）ds+tZb（s）ds= xexptZa（s）dsVar[x（t）]=eσ- 1.e2u+σ=xexptZa（s）ds经验值tZb（s）ds- 1.. （7） 非齐次线性SDEdX（t）=[a（t）X（t）+a（t）]dt+[b（t）X（t）+b（t）]dW（t），X（t）=X（8）的解由X（t）=H（t）给出1+tZta（s）- b（s）b（s）H（s）ds+tZtb（s）H（s）dW（s）. （9） 式中，H（t）是齐次SDEdH（t）=a（t）H（t）dt+b（t）H（t）dW（t）的解（4），H（t）=X，（10）由H（t）=Xexp给出坦桑尼亚先令a（s）-b（s）ds+tZtb（s）dW（s）. （11） 2.2长期股票收益的随机模型标准普尔500指数的收益过程只有一条轨迹，因此为了构建其长期差异模型，我们将该指数表示为基础股票收益的加权平均数。因此，我们首先对标准普尔500指数成份股的消费者价格指数调整（CPI调整）回报的动态和波动进行建模。因为股票收益率xi（t）是无量纲的，也就是说，以百分比来衡量，我们假设，尽管在统计上是独立的，但在统计上是相同的。也就是说，allS和P500股票收益率xi（t）是单个SDEdx（t）=a（x（t），t）dt+b（x（t），t）dw（t），x（t）=1的输出。等效地，xi（t）可以被视为相同和独立的SDEsdxi（t）=a（xi（t），t）dt+b（xi（t），t）dwi（t），xi（t）=1的输出，对于i=1，2。

，（12）其中wi（t）是独立的MBM。2.2.1漂移和扩散系数的离散近似方案我们用S（τ，x）表示在τ月末，标普500组合中所有股票收益的集合，其价格相对于其指数包含价格乘以x倍。如果astock在τ之前多次被纳入S&P500，则取最后一次纳入日期。第j只股票的股票收益过程轨迹用xj（t）表示。（12）的连续轨迹经CPI指数贴现后，被认为是离散月度CPI调整收益向量的近似值。因此，股票收益的漂移和扩散系数（1）近似为a（x，τ）=S（τ，x）| Xs∈S（τ，x）[xs（τ+1）-xs（τ）]（13）b（x，τ）=S（τ，x）| xs∈S（τ，x）[xs（τ+1）-xs（τ）]。2.2.2漂移和扩散面插值历史标准普尔500指数数据的来源是历史月度股价和历史标准普尔500指数构成的CSRP/计算合并数据库。我们使用美国劳工统计局的历史消费者价格指数（CPI）值。我们计算1970年1月至2011年12月期间τ的（13），以获得漂移和波动率表面Ga={（x，t，a（x，t））}，Gb=x、 t，b（x，t）.通过将这些曲面投影到t轴上对其进行插值，以获得1970年的GA[t]={（x，a（x，t））}≤ t型≤ 2011年，Gb【t】=（x，b（x，t））, 1970年≤ t型≤ 2011年。对于每个t，平面曲线Ga[t]和Gb[t]分别用线性函数Ga[t]和二次多项式Gb[t]进行插值。

重新组装的平面插值器形成插值曲面Ga=nx、 t，~Ga[t]（x）∈ R1970≤ t型≤ 2011o，~ Gb=nx、 t，~Gb[t]（x）∈ R1970≤ t型≤ 2011年。2.2.3数值结果构造形式为（x，t）=Ga[t]（x）=q（t）x+q（t）b（x，t）=Gb[t]（x）=r（t）x+r（t）x+r（t）x+r（t）t，（14）我们确定q（t），q（t），r（t），r（t），r（t），r（t）∈ R通过最小化最小平方传感器中的残差xhGa【t】- Ga【t】i，XxhGb【t】- Gb[t]i，每1970年≤ t型≤ [1]中给出了根据投影Ga[t]，Gb[t]绘制的插值函数Ga[t]，Gb[t]。2.2.4图3中的系数q（t）为1970年绘制≤ t型≤ 为简单起见（见2.1.1），我们用移动平均值近似函数q（t），即在每一点上，函数等于前面N点上的值的平均值。所得近似值为常数（t）=0.002742。绘制了1970年的函数q（t）≤ t型≤ 2011年及其恒定值Q（t）的移动平均结果≡ 图4绘制了1970年的系数r（t）≤ t型≤ 2011年，其移动平均值为常量估价师（t）=0.01。绘制了1970年的函数r（t）≤ t型≤ 2011年，其移动平均值为常量值（t）=0。绘制了1970年的函数r（t）≤ t型≤ 2011年，其移动平均值为常量值（t）≡ 将q，q，r，r，rinto（12）代入，我们得到dxi（t）=qxi（t）dt+rxi（t）dwi（t），xi（ti）=x.（15）2.2.5时间尺度的变化随机过程xi（t）的时间单位为月。我们改为年的时间尺度，这样我们就可以匹配年收入数据的时间尺度。-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.3图3：（左）1970年至2011年间的坡度q（t）（青色）。具有5%窗口（黑色）的坡度q（t）的移动平均值。（右）1970年至2011年间的常数项q（t）（青色）。

具有5%窗口（黑色）的常数项q（t）的移动平均值。-0.04-0.0200.020.040.060.080.1-2.5-2.-1.5-1.-0.500.511.5-50510图4：（左）1970年至2011年间领先的二次系数r（t）（青色）。具有5%窗口（黑色）的r（t）移动平均值。（中）1970年至2011年之间的系数r（t）（青色）。具有5%窗口（黑色）的常数项r（t）的移动平均值。（右）1970年至2011年间的系数r（t）（青色）。带5%窗口（黑色）的r（t）移动平均值。对于任何正常数c，过程变换W（t）=cw（t/c）（16）也是MBM【32】。使用（4），（15）的解由xi（t）=xoexp给出q-rt+rwi（t）, （17） 与（16）和值c=1一起/√12，我们得到以年为单位测量的t的xi（t），因为xi（t）=xexpq-rt型+√12 rwi（t）（18） 满足随机方程dxi（t）=ψxi（t）dt+φxi（t）dwi（t）xi（ti）=x，（19），常数ψ=12q=0.0329，φ=√12r=0.3464.2.3股票市场收益指数的随机模型我们接下来寻求确定股票市场收益指数的随机动力学。Thereturns指数由其组成部分收益的加权平均数确定。下面我们展示了对于大量求和，在某些假设下，加权平均值的行为与算术平均值一致。2.3.1加权平均数的弱大数定律我们考虑一系列i.i.d.随机变量XI，具有有限的一阶矩u和方差σ。对于权重λi，n，i=1，2，…，的递增双序列，n和n=1，2。使得Pni=1λi，n=1，Pni=1λi，n=O（n-1).

加权平均值Xn（t）=Pni=1λi，nxiare的前两个矩为[Xn]=nXi=1λi，nExi=u，Var[Xn]=EnXi=1λi，nXi！- u==Xi6=jλi，nλj，nE[xi]E[xj]+nXi=1λi，nE[xi]- u=uXi6=jλi，nλj，n+σ+ unXi=1λi，n！- u=unXi=1λi，n！+σnXi=1λi，n！- u=σnXi=1λi，n=σO（n-1).切比雪夫不等式给定r{| Xn- u| > } ≤Var[Xn]=σO（n-1)= σO（n-1） 因此 > 0limn→∞Pr{| Xn- u| > } = 画→∞σO（n-1) = 0.接下来就是那个Limn→∞公关部(nXi=1λi，nXi-nnXi=1xi> )= 0。（20）2.3.2等权重指数模型2001年至2011年的标准普尔500指数年末权重与λi非常接近，n=iα/Pni=1iα，α=18（见[1]）。这种权重满足加权平均的弱大数定律。实际上，λi，n=iαPni=1iα=n在里面αPni=1在里面αn≈n在里面αRxαdx=（α+1）n在里面α和nxi=1λi，n≈（α+1）nnXi=1在里面2αn≈（α+1）nZx2αdx=n-1（α+1）2α+1=O（n-1).因此，通过（20），我们假设此后的等权指数为xxn（t）=nnXi=1xi（t）。（21）对数正态随机过程之和的漂移是线性的，因此等于潜在漂移的平均值。然而，通过将n个独立的MBMs运动组合成一个，可以获得扩散系数。因此，Xn（t）的SDE给定为：bydxn（t）=dnnXi=1xi（t）！=ψ（t）nnXi=1xi（t）dt+φ（t）nnXi=1xi（t）dwi（t）=ψ（t）Xn（t）dt+nφ（t）VuTunxi=1xi（t）dW（t）。（22）在确定对数正态随机变量（rvs）平均值的分布这一主题上，已经进行了大量研究。大偏差理论和中心极限定理方法往往会失败，因为对数正态rvs不存在矩母函数。已经提出了几种数值方法来近似对数正态rvs之和。在【33】中，最速下降技术用于使用Lambert-W函数对对数正态rvs之和的累积分布函数（cdf）进行数值评估。

这种方法只适用于少数方差相对较低的求和。在我们的案例中，如果考虑长期投资，方差会变得很大。在芬顿-威尔金森（F-W）方法[34]，[35]中，总和用另一个对数正态分布近似，其前两个矩与总和匹配。数值模拟表明，在长时间内，F-W方法是一种很好的平均过程近似方法。2.3.3对数正态i.i.d.随机变量pdf的对数正态近似我们利用F-W矩匹配技术构建线性随机方程dzn（t）=ψ（t）Zn（t）dt+Φ（t）Zn（t）dw（t）。（23）这样1。Zn（0）=Xn（0）2。E[Zn（t）]=E[Xn（t）]，对于每t≥ 03.Var[Zn（t）]=Var[Xn（t）]，对于每t≥ 选择函数ψ（t）和Φ（t），以满足条件（3）。利用对数正态矩的公式（5），我们得到var[Zn（t）]=Zn（0）expZtψ（s）ds经验值ZtΦ（s）ds- 1.. （24）直接计算Xn（t）的方差，我们得到var[Xn（t）]=nVar“nXi=1xi（t）#=nnXi=1Var[xi（t）]=nxexpZtψ（s）ds经验值Ztφ（s）ds- 1.. （25）等于（24）和（25），再加上Zn（0）=Xn（0）=xi（0），我们得到expZtΦ（s）ds=n经验值Ztφ（s）ds+ n- 1., （26）henceZtΦ（s）ds=对数经验值Ztφ（s）ds+ n- 1.- 对数n.（27）不同，我们发现Φ（t）=φ（t）expnRtφ（s）dsoexpnRtφ（s）dso+n- 因此，SDE（23）由dzn（t）=ψ（t）Zn（t）dt给出+φ（t）expnRtφ（s）dsoexpnRtφ（s）dso+n- 1.Zn（t）dW（t），（29）及其溶液满足条件（1）-（3）。我们注意到Φ（t）-→ φ（t）为t→ ∞,这意味着Zn（t）的渐近行为与Xn（t）的基础股票的渐近行为一致。

（23）的解由Zn（t）=xexp给出Zt公司ψ（s）-Φ（s）ds+ZtΦ（s）dW（s）, （30）就标的股票而言，Zn（t）=xexp（Zt“ψ（s）-φ（s）expRsφ（p）dp经验值Rsφ（p）dp+ n- 1.#ds+Ztφ（s）expRsφ（p）dp经验值Rsφ（p）dp+ n- 1.dW（s）.最后，我们将估计的系数ψ（s）=ψ，φ（t）=φ合并到getZn（t）=xexp中Ztψ-φeφs2（eφs+n- 1)!ds+Ztφeφseφs+n- 1.dW（s）=xexpψt-日志eφt+n- 1.+对数（n）+Ztφeφsφeφs+n- 1.dW（s）=xeφt+n- 1n！-经验值ψt+Ztφeφsφeφs+n- 1.dW（s）. （31）2.3.4 Xn（t）的Euler格式模拟随机微分方程的维纳解释对于SDE的概念理解和推导控制pdf解演化的微分方程都是有用的【32】。格上随机积分的It^o定义tk=t+kt、 使用t=电话号码和w（t）=w（t+t）- w（t），定义SDE（3）的解，或等价地定义It^o积分方程x（t）=x+tZa（x（s），s）ds+tZb（x（s），s）dw（s），（32）作为Euler模式n（t+t） =xN（t）+a（xN（t），t）t+b（xN（t），t）w（t），xN（0）=x（33）ast型→ 0、增量w（t）是独立的随机变量，可以通过Levy方法构造，如下所示：w（t）=n（t）√t、 其中，数值网格上每个t的随机变量n（t）是独立的标准高斯rvs n（0，1）。根据递归方案（33）。在数值网格上的任何时间t，过程xN（t）取决于s的采样轨迹w（s）≤ t、 因此，它是Ft适应的。

极限x（t）=limN的存在性→∞如果a（x，t）和b（x，t）是x中的一致Lipschitz连续函数，则xN（t）由以下定理定理1（Skorokhd[36]）保证∈ R、 t型∈ [t，t]，则极限x（t）Pr=limN→∞xN（t）（概率收敛）存在，是（32）的解。pdf的收敛性由定理2（[32]）保证，（33）的解xN（t，ω）的pdf pN（x，t | x）收敛于asN→ ∞ 到FPE的溶液p（x，t | x）p（y，t | x，st型=[b（y，t）p（y，t | x，s）]y- [a（y，t）p（y，t | x，s）]Y初始条件限制↓ sp（y，t | x，s）=δ（y- x） 。我们通过对Xn（t）的500条基本轨迹xi（t）进行平均，为0，构造了10000条Xn（t）的轨迹≤ t型≤ 600个月。轨迹xi（t）由schemexi（t）=xi（t）构成- 1） +φxi（t- 1） ·N（0，1），对于1≤ t型≤ 600，xi（0）=1。对数正态分布的质量如【1】所示。2.4工资随机模型我们假设成员i在时间t之前的工资增长si（t）由SDEdsi（t）=a（si，t）dt+b（si，t）dwi（t），si（t）=1，（34）控制，其中wi（t）是独立的MBM。2.4.1漂移和扩散系数的离散近似方案我们通过（34）的连续轨迹近似年度CPI调整工资向量的离散轨迹。我们用S（τ，x）表示在τ时间序列中相对于初始值乘以x的所有个体的集合。第j个人的工资增长过程轨迹用xj（t）表示。近似SDE（34）的系数由经验平均值（13）确定。工资模型的构建数据（13）取自收入动态数据库的面板研究【37】。PSID是自1968年以来对美国个人和家庭的代表性样本进行的纵向调查。

不断收集个人及其后代的信息，包括就业、收入、财富、支出、健康、婚姻、生育、儿童发展、慈善、教育和许多其他主题的数据。出于养老金目的，我们对个人养老金计划缴款感兴趣。不幸的是，PSIDdatabase不能提供完整的跨年度个人养老金缴款时间序列，因此我们使用从劳动中赚取的总工资，并假设缴款比率。此外，由于数据的不连续性和稀疏性，奖金、独立业务、二级专业实践、佣金、小费和其他来源的收入未纳入其中。建造的轨迹跨越1970年至1992年这一时期。总共考虑了58807人，其中只有3669人在1970年开始工作。图5（第21页）给出了每年开始工作的人数。使用劳工统计局的历史CPI值，将所有工资数据调整为生活成本。对于高噪声波动率估计，最大波动率值的3%被忽略为异常值，最高工资增长率的5%也被忽略（25000%的增长率等）。1965年1970年1975年1985年1990年1995050015002000250030000350040004500人加入劳动力的人数图5：按年份统计的PSID调查的加入劳动力的人数。工资模型的漂移系数和差异系数如第2.2.2节所述计算。具体而言[1]，dsi（t）=ξsi（t）dt+ηsi（t）dwi（t），si（ti）=1，（35）带ξ（t）≡ -0.0328，η（t）≡r、 （36）2.5养老基金随机模型的构建在我们的养老计划模型中，养老基金的资产投资于股票市场指数，如标准普尔500指数。

该指数的价值是其组成部分股票价格的市场资本化加权平均值。我们使用以下定义：ovi（t）=截至时间t，基金应付给成员i的金额的增长。oTi={Ti<Ti<…<tin=t}=与第i个成员对养老基金的缴款相对应的间隔[Ti，t]的均分。oci（t）=∧si（t）=总供款（雇主和雇员）是工资的∧的恒定分数（约10%）。oαi=会员的第一份工资（美元）。通过以下观察，我们将近似投资组合回报的模型Zn（t）合并到vi（t）方程的推导中。对于每0≤ j≤ n、 tijis时的分摊美元金额由αici（tij）给出，其中该金额的升值由tij通过Tinj合成，由Zn（tin）/Zn（tij）给出。因此，养老金总金额中归属于第j次供款的部分由αici（tij）Zn（t）Zn（tij）（37）给出，养老金总增长中归属于第j次供款的部分由（37）除以αi得出。因此，养老基金从时间ti0到时间t的总增长由vi（t）=Xτ给出∈Tici（τ）Zn（t）Zn（τ）=Zn（t）Xτ∈Tici（τ）Zn（τ）。（38）通过将（38）表示为Riemann-sumvi（t）=Zn（t）得到vi（t）的连续模型tnXj=1ci（jt） Zn（jt）t（39）式中t=（tij- tij公司-1） 是连续工资之间经过的固定时间。基于PSID数据库，t=1年。我们把vi（t）写成积分形式vi（t）=Zn（t）tZtici（u）Zn（u）du, （40）以美元支付给成员i的绝对金额现在可以表示为vi（t）=αivi（t）。（41）我们通过微分（40）获得vi（t）的SDE，并应用链式规则DVI（t）=dZn（t）tZtici（u）Zn（u）du+ 锌（t）ci（t）Zn（t）dt.