养老金计划的随机模型

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英文标题：
《Stochastic model of a pension plan》
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作者：
Paz Grimberg and Zeev Schuss
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Structuring a viable pension plan is a problem that arises in the study of financial contracts pricing and bears special importance these days. Deterministic pension models often rely on projections that are based on several assumptions concerning the \"average\" long-time behavior of the stock market. Our aim here is to examine some of the popular \"average\" assumptions in a more realistic setting of a stochastic model. Thus, we examine the contention that investment in the stock market is similar to gambling in a casino, while purchasing companies, after due diligence, is safer under the premise that acting as a holding company that wholly owns other companies avoids some of the stock market risks. We show that the stock market index faithfully reflects its companies\' profits at the time of their publication. We compare the shifted historical dynamics of the S\\&P500\'s aggregated financial earnings to its value, and find a high degree of correlation. We conclude that there is no benefit to a pension fund in wholly owning a super trust. We verify, by examining historical data, that stock earnings follow an exponential (geometric) Brownian motion and estimate its parameters. The robustness of this model is examined by an estimate of a pensioner\'s accumulated assets over a saving period. We also estimate the survival probability and mean survival time of the accumulated individual fund with pension consumption over the residual life of the pensioner.
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中文摘要：
构建一个可行的养老金计划是金融合同定价研究中出现的一个问题，目前具有特殊重要性。确定性养老金模型通常依赖于基于股票市场“平均”长期行为的若干假设的预测。我们的目标是在更现实的随机模型中检验一些流行的“平均”假设。因此，我们研究了这样一种论点，即股票市场投资类似于赌场赌博，而在尽职调查后，收购公司更安全，前提是作为全资拥有其他公司的控股公司，可以避免一些股票市场风险。我们表明，股票市场指数真实地反映了其公司在发布时的利润。我们比较了标普500指数累计财务收益的历史动态变化与其价值，并发现了高度的相关性。我们的结论是，完全拥有超级信托对养老基金没有好处。通过检验历史数据，我们验证了股票收益遵循指数（几何）布朗运动，并估计了其参数。该模型的稳健性通过估计养老金领取者在一个储蓄期内的累积资产来检验。我们还估计了在养老金领取者剩余寿命内，有养老金消费的累积个人基金的生存概率和平均生存时间。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Stochastic_model_of_a_pension_plan.pdf (2.58 MB)

2022-6-8 11:40:36 上传

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关键词：随机模型 养老金 Applications Differential Quantitative

养老金计划的随机模型*特拉维夫大学应用数学系，特拉维夫拉马特·阿维夫，特拉维夫69978，以色列2014年7月3日摘要构建可行的养老金计划是金融合同定价研究中出现的一个问题，目前具有特殊重要性。确定性养老金模型通常依赖于基于股票市场“平均”长期行为几个假设的预测。我们在这里的目的是在更现实的随机模型中检验一些流行的“平均”假设。因此，我们研究了这样一种论点，即股票市场投资类似于赌场赌博，而在尽职调查后，收购公司更安全，前提是作为全资拥有其他公司的控股公司，可以避免一些股票市场风险。我们表明，股票市场指数如实反映了其公司在发布时的业绩。我们比较了标普500指数累计财务收益与其价值的历史动态变化，并发现了高度的相关性。我们得出结论，完全拥有超级信托对养老基金没有好处。通过检验历史数据，我们验证了股票收益遵循指数（几何）布朗运动，并估计了其参数。

这些政策包括对生产基础产品或大宗商品的公司进行100%的股份购买，这些公司具有潜在的经济实体和高、稳定的需求。超级信托避免进行没有基本价值的投资。超级信托认为有风险的投资包括股票、债券、货币、套利交易、期货、期权和各种形式的衍生品。这种方法的动机是基于一长串历史金融危机。请说出以下几点：1。黑色星期一（1987）——道琼斯工业平均指数一天内下跌22.61%。2、储蓄和贷款（20世纪80、90年代）——美国近25%的储蓄和贷款协会倒闭，价值4020亿美元。仅1996年一年，估计危机成本就达1600亿美元，总成本为3700亿美元，其中92%来自纳税人。3、俄罗斯金融危机（1998年）——一些因素，如特别高的固定汇率和长期的债务危机，导致俄罗斯ZF贬值，拖欠国内债务，并暂停向外国债权人付款【13】。因此，当年的通货膨胀率达到了84%。银行倒闭。数百万人失去了毕生积蓄。其直接后果是，美国对冲基金纷纷倒闭，其中包括长期资本管理公司（LTCM），该公司在美联储的监督下获得了36亿美元的救助。网络泡沫（2000）——纳斯达克综合指数下跌了78%$公司市值损失5万亿。次贷危机（2008年）——美国人损失了超过四分之一的互联网价值。房价下跌，GDP开始萎缩，失业率从5%上升到10%。标普500指数较2007年10月的峰值下跌57%。

美国国债总额从危机前GDP的66%上升到危机后的103%以上【15】。此外，算法交易、系统交易、高频交易和对冲基金的兴起催生了新型股市崩溃——计算机代码崩溃。例如，2010年的Flash崩溃和2012年的Knight Capital Group崩溃都是运行复杂算法的计算机崩溃的结果。这些危机导致超级信托寻求净收入增长，而不是股市回报。1.4.1标准普尔500指数作为养老金领取者资产的模型为了建立养老金模型，我们采用标准普尔500指数方法[18]作为养老金投资政策的代表性策略。具体而言，S&P500资格标准为1。市值超过46亿美元。2、年度交易美元价值大于纳入前6个月的市场价值。3、在纳入前的6个月内，每月至少交易250000股。这是一家美国公司。5、公司至少50%的股份向公众提供6。纳入前至少连续4个季度盈利为正。7、在过去6-12个月内，首次公开募股（IPO）。如果以下情况之一成立，则公司被排除在基金之外。1、涉及至少1次违反上述资格标准的合并或收购（M＆a）。2、公司在ongoingbasis上至少违反了上述资格标准之一。这种投资方法与养老基金的目的相一致，因为符合上述要求的公司从定义上来说是可行的：它们表现出4个连续季度的正收益，而且在持续的基础上不会表现出负收益。此外，这些公司的流动性很强，价值超过46亿美元。

此外，标普500指数97%的除名是到期的，一家公司在该指数中的平均停留时间为16.7年，这一历史事实强化了这样一种观念，即这些公司通常是可盈利和稳定的。因此，这些特点使他们有资格成为具有实质性经济实力、适合养老基金投资的公司。1.4.2投资绩效养老基金是公司净利润的收益，由管理层自行决定由其相关公司保留的净利润金额和累积到养老基金中的金额。为了能够衡量基金的业绩，我们假设投资组合的净利润没有一个是由相关公司确定的，并且基金累积了整个投资组合的净收益。因此，相对于初始时间t，基金在时间t的净收入增长由R（t）=Pi=1NIi（t）Pi=1NIi（ti）给出，其中NIi（t）是在时间t时标普500中的第i家公司的净收入，ti是其首次纳入指数的时间。1.4.3[19]引入了投资策略Fama的有效市场假说（EMH）。该假设指出，不可能“击败市场”，因为股市的效率导致现有股价始终包含并反映所有相关信息。

根据指数ρ系数P50 0.89S和P500 0.92，表1：市场代表性美国指数的CPI调整后收益表现与CPI调整后价格表现之间的相关性。在有效市场假说中，股票在证券交易所总是以公允价值交易，这使得投资者不可能购买被低估的股票，也不可能以被低估的价格出售股票。因此，可以合理地假设，以标准普尔为代表的整个市场的集体价格应包含并反映有关其组成部分的所有信息，包括其发布时的盈利表现。我们通过比较两个标准普尔指数的历史收益率与它们的位移值来证明这一论点，其位移值大约是在财务报表所指季度的基础上再加上3个月。例如，如果一家公司报告了第二季度的净收入，我们将9月30日指定为发布日期。之所以选择3个月轮班，是因为法律要求美国公司在下一季度末之前发布季度财务报告。我们从CRSP/COMPUSTAT合并数据库中获取财务报表和价格数据[20]，并绘制1970年至2011年经CPI调整后的净收入增长率R（t）的历史月度表现。我们还绘制了0.6%的窗口移动平均值，以突出其趋势。为了强调其动态的高度相关性，我们绘制了CPI调整后的收益表现与净收益曲线的变化趋势。所选代表市场的指数为S&P50和S&P500（见图1、2）。此外，我们还计算了转移收益（原始、非平滑）与回报表现之间的皮尔逊相关系数。

皮尔逊系数由ρ（X，Y）=Cov（X，Y）σXσY=E[（X- uX）（Y- uY）]σXσY。这些结果似乎推翻了人们普遍持有的观点，即股市投资类似于赌场赌博，而购买公司是安全的。我们的结论是，股票市场指数如实反映了公司在发布时的业绩，从而强化了有效市场假说。此外，根据对历史数据的分析，股价表现更好，同时也同样安全。鉴于上述情况，我们重新确定了建议的投资策略，即购买标准普尔500家公司的股份，而不是100%的股份。我们的固定缴款计划模型包括一个投资于标准普尔500指数（S&P500 stockmarket index）的扩大初始投资额。60 65 70 75 80 85 90 95 00 05 10 15-40-30-20-10010203040TimeS&P 500净收益SP500净收益简单移动平均值60 65 70 75 80 85 90 95 00 05 10 1502040 02004SP500回报SP500 SMA净收入的百分比变化图1：（左）标准普尔500 CPI调整后净收入增长率，R（t）（青色）。R（t）的移动平均值（黑色）。（右）标准普尔500指数调整后回报（青色）。标普500指数调整后净收益增长的移动平均值（黑色）。60 65 70 75 80 85 90 95 00 05 10 15-1001020304050TimeS&P 50净收益SP50净收益简单移动平均60 65 70 75 80 85 90 95 00 05 10 150102030405060 0510152025SP50回报SP50 SMA净收入的百分比变化图2：（左）青色S&P50 CPI调整后净收入增长率，R（t）。（左）R（t）的黑色移动平均值。（右）青色S&P50 CPI调整后回报。（右）标准普尔50指数调整后净收益增长的黑色移动平均值。2随机模型及其分析在本节中，我们提出了以标准普尔500指数为代表的投资于经济的养老金储蓄组合的连续时间随机模型。

我们公式化了关于投资组合稳健性和稳健性的概率问题。这些问题用养老金投资组合和工资增长的联合概率密度函数的福克-普朗克方程的初边值问题重新表述，并通过数值求解方程来回答。投资组合的当前价值以标准普尔500指数为模型，该指数旨在代表养老金领取者的资产。被保险人的工资对基金的持续贡献也被建模为一个随机过程。这两个模型被组合成一个养老金增长的二维模型，该模型取决于养老金领取者的初始工资。我们对个人可支付福利的可能性很感兴趣。二维模型的结果总结在模型无量纲参数表和三维数值结果图中。此外，我们定义了一个随机消费过程，该过程描述了个人的资源消耗状态。我们假设养老金领取者的年度费用的固定美元金额比率，并计算养老金消费过程的生存概率，即在给定的退休年限后仍有养老金剩余的概率。

我们还将消费过程的平均首次通过时间（MFPT）计算为0，这是养老金用完的预期时间。最后，我们假设养老金领取者的寿命是随机分布的，根据一定的密度函数，并计算养老金计划存活的概率，即养老金领取者在消费完他/她的所有养老金之前死亡的概率。2.1差异模型资产价格建模的常见做法是用马尔可夫过程（如差异和跳跃差异过程）表示各种因素，如有效市场假设和随机性【27】。因此，我们将工资和市场波动建模为差异过程，并根据历史数据证实其漂移和差异系数。我们使用股票市场指数增长模型的历史价格数据和工资模型的历史年工资数据。

我们对离散时间过程使用连续时间近似。向量值扩散过程x（t）是一个连续时间马尔可夫过程，其轨迹几乎肯定是连续的，满足以下条件[32]，limt型→0tE{x（t+t）- x（t）| x（t）=x}=a（x，t）limt型→0十[x（t+t）- x（t）][x（t+t）- x（t）]t | x（t）=xo=σ（x，t）（1）limt型→0tE公司|x（t+t）- x（t）| 2+δ| x（t）=x= 0，对于某些δ>0。我们考虑离散模型，其为dx（t）=a（x（t），t）dt+B（x（t），t）dw（t），（2）形式的随机微分方程（SDE），其中w（t）是向量标准数学布朗运动（MBM）[32]，B（x（t），t）是σ（x，t）=B（x（t），t）BT（x（t），t）的矩阵。在（2）的长期数值模拟中，我们通过（2）的离散Euler近似格式的解，用漂移系数向量a（x，t）和微分矩阵B（x，t）近似连续轨迹，这是根据历史经验向量估计的。2.1.1模型简化如上所述，漂移a（x，t）和扩散矩阵B（x，t）是通过对（1）中的历史数据进行样本平均并拟合插值函数得到的。我们可以假设这些系数也是随机的，因为它们取决于驱动MBM a（x，t）的特定轨迹，或者由其自身的随机方程控制，而不是通过插值来近似It^o系数。2.1.2指数布朗运动概述标量指数布朗运动x（t）是几何布朗运动的修正，由线性It^o方程dx（t）=a（t）x（t）dt+b（t）x（t）dw（t），x（0）=x（3）定义，其中a（t）和b（t）是连续函数，w（t）是MBM。该解决方案以一种简单的方式得到，即byx（t）=xexptZ公司a（s）-b（s）ds+tZb（s）dw（s）.