养老金计划的随机模型

（42）将（23）、ci（t）=∧si（t）和（40）代入（43），我们得到了SDEdvi（t）=[ψ（t）vi（t）+∧si（t）]dt+Φ（t）vi（t）dW（t）。（43）系统（35），（43）的解（si（t），vi（t））的联合概率密度函数p（v，s，t）的福克-普朗克方程如下所示：pt=-v[（ψv+λs）p]-s（ξsp）+sηsp+vΦ（t）vp. （44）2.6养老金的概率密度函数Vi（t）的概率分布函数是指在t时个人i可支付的养老金超过y美元的概率。计算时，Pr（Vi（t）>y）=Pr（Vi（t）>yαti）=1- Pr（vi（t）≤yαti），（45）我们从FPE（44）计算过程vi（t）和si（t）的联合跃迁概率密度函数p（v，s，t | v，s，ti），初始条件p（v，s，ti | v，s，ti）=δ（v- v、 s- s） ，（46）其中v=s=1.2.6.1边界条件随机过程si（t）始终为正，因为它是高斯过程的指数。此外，随机过程vi（t）总是正的，因为它是一个对数正态过程与两个对数正态过程之比的乘积之和。因此，接合密度不能包含边界上的任何质量，且thusp（v，0，t）=p（0，s，t）=0。（47）由于随机过程无法达到v=0和s=0的边界，因此条件（47）是通过数值设定的。网格的遥远边界描述了市场/工资在给定时间内达到前所未有水平的可能性。因为在这些级别上没有数据，所以在遥远的边界v=Nv，s=Ns处，FPE的零条件是，网格覆盖角G={0<v<Nv，0<s<Ns}。边界G是模型的一部分，与数据一致。因此，我们设置（v，s，t）G=0。

（48）2.6.2初始条件我们近似δ（v- v、 s-s） 通过具有小标准偏差的多元正态分布进行数值计算，并将pj设置为协方差矩阵为∑的多元高斯分布=σv0σs,h类m NvNsNvNsNvh Nsm（51）0.025 0.2 720 25 1440 50 18 5 1.0805·10-172表2：网格大小、域大小和错误。式中σv，σs 平均u=（v，s）T=（1，1）T。对于每个v=（v，s）T∈ Rpj，l=2πpdet（σ）exp-（五）- u）T∑-1（v- u)==2πσvσsexp-（五）- 1） 2σv-（s）- 1） 2σs. （49）我们用步骤离散Ron a（t，v，s）网格(kh、，m） 缩写P（vj，sl，tn）=pnj，l，表示j，l，n≥ 0，（50），其中vj=jh，sl=lm和tn=nk、 初始密度由^pj归一化，l=pj，l/RRpj，lto确保归一化r∞-∞R∞-∞p（v，s，0）ds dv=1。零条件的位置对不消失域中的解的影响可以忽略不计。将网格边界从（Nv，Ns）扩展到（Nv，Ns），Nv>Nv，Ns>N会导致与边界对应的有限差分模式的线性方程发生变化。在隐式方法方案（见下文）下，误差过滤域内部的系数取决于m，手k、 因此，如果我们证明NVZNSZPJ，ldsdv-NvZNsZpj，ldsdv（51）可以忽略不计，然后通过上述论证，我们得出结论，溶液中的变化可以忽略不计。有几种数值方法可以近似正常CDF【40】、【41】、【42】。我们对扩展到36×10的18×5网格进行了数值计算（51）。下面的附录1给出了计算的数值分析。表2.2.6.3结果总结了数值精度。采用有限差分法（FDM）构造了FPE初边值问题的数值解。

我们使用稳定的隐式BTCS（一阶后向时间中心空间）[38]方法来近似t>t时G中的p（v，s，t）。养老基金规模为y的概率等于基金增长率等于y和初始工资α的比例的概率。这个比率是问题的无量纲参数。下表显示了目标养老金规模的概率初始工资储蓄期隐含年回报概率3.11 25年1.64%65.40%3.33 25年2.15%54.40%3.55 25年2.61%45.17%4.00 25年3.60%28.27%4.44 25年4.17%16.16%5.00 25年4.98%7.37%5.83 25年6.02%1.72%6.67 25年6.90%0.34%表3：25年储蓄的养老金规模概率。假设10%的工资贡献，不同的比率。我们认为，初始工资为α，储蓄年限为t年的目标养老金y具有隐含的年回报率r，ifPti=1α（1+r）i=y。图6给出了t=25时的联合密度函数p（v，s，t）的三维图，图8给出了t=50时的联合密度函数p（v，s，t）（第26页）。2.7养老金消费的随机模型我们考虑养老金消费过程Vi（t），即个人退休后的剩余美元-tyears，这里是退休时间，β是一个恒定的年度美元消费率。假设Ti={Ti<Ti<…<tin=t}是成员i退休的等距年份。Vi（t）的初始条件由Vi（t）=Vr给出，其中Vis为个人在工作期间累积的养老金。退休后工资停止。

我们通过改变Zn的初始条件，合并了近似投资组合回报模型，推导出了▄Vi（t）的方程，从而得到了一个新的过程▄Zn（t），d▄Zn（t）=ψ（t）▄Zn（t）dt+Φ（t）▄Zn（t）dW（t），对于t>ti，▄Zn（ti）=Zr（52），并进行以下观察；每0<j≤ n、 ~Vi（tij）的值增加了~Zn（tij）/~Zn（tij-1） ，相对于上一年Vi（tij-1） ，而β-依多拉被消耗。目标养老金规模初始工资储蓄期隐含年回报概率5.00 40年1.05%59.38%6.50 40年2.23%54.51%7.00 40年2.55%49.17%7.50 40年2.85%41.77%9.50 40年3.83%21.69%11.00 40年4.43%14.86%15.00 40年5.65%1.07%表4：40年储蓄的养老金规模概率。0123450510152001234567x 10-t=25年的3vp（v、s、t）s0123450510152002468x 10-t=25年的3sp（v，s，t）图6：25年的联合pdf p（v，s，t）。v轴上的栅格有720个点，间距为0.03，s轴上的栅格有25个点，间距为0.2。t=0.1因此，通过递归关系▄Vi（tij）=▄Vi（tij）给出▄Vi（tij）的值-1） Zn（tij）Zn（tij-1)- βi，对于0<j≤ n、 Vi（ti）=Vr0 2 4 6 8 10 12 14 16 1800.511.522.533.5x 10-t=50年的3vp（v，s，t）0 1 2 3 4 500.511.522.533.5x 10-t=50年的3p（v，s，t）图7：50年的联合pdf p（v，s，t）。（左）投影在v轴上的p（v、s、t）。（右）投影在s轴上的p（v、s、t）。0 5 10 15 2001234567x 10-t=25年的3 VP（v、s、t）0 1 2 3 501234567x 10-t=25年的3p（v，s，t）图8：25年的联合pdf p（v，s，t）。（左）投影在v轴上的p（v、s、t）。（右）p（v，s，t）投影在s轴上并以其闭合形式，~Vi（t）=Vr▄Zn（t）Zr- βnXj=1▄Zn（t）▄Zn（tij）=▄Zn（t）VrZr- βnXj=1Zn（tij）！。

（53）01234505101500.511.522.533.5x 10-t=50年的3vp（v、s、t）s02405101500.511.522.533.5x 10-3svp（v，s，t）表示t=50年图9：联合pdf p（v，s，t）表示50年。v轴上的栅格有720个点，间距为0.03，s轴上的栅格有25个点，间距为0.2。t=0.1通过将（53）表示为Riemann和▄Vi（t）=▄Zn（t）VrZr，获得▄Vi（t）的连续模型-βitnXj=1t~Zn（ti+j）t） ！，（54）其中t=（tij-tij公司-1） =1是连续时间段之间经过的恒定时间（时间以年为单位）。该过程▄Vi（t）近似于积分▄Vi（t）=▄Zn（t）VrZr公司- βitZtiduZn（u）. （55）我们对（55）进行微分，以获得SDEdVi（t）=dZn（t）VrZr公司- βitZtiduZn（u）+锌（t）dVrZr公司- βitZtiduZn（u）=dZn（t）VrZr公司- βitZtiduZn（u）+锌（t）-βidtZn（t）. （56）现在，使用（56）中的（52）和（55），我们得到了非齐次线性SDEd▄Vi（t）=hψ（t）▄Vi（t）- βiidt+Φ（t）~Vi（t）dW（t），~Vi（ti）=Vr。（57）式（57）的解由（9）给出，其减少到▄Vi（t）=H（t）1.- βitZtidsH（s）, 对于t>ti，Vi（ti）=Vr，（58），其中H（t）=VreftZti公司ψ（s）-Φ（s）ds+tZtiΦ（s）dW（s）.我们从（58）中得出结论，对于t>ti，Vi（t）=0，因此tztidsh（s）=βi。（57）解的pdf的福克-普朗克方程如下所示： pt=-v[（ψ▄v- βi）~p]+Φ（t）vv  p（59）对于t>ti，v>0，其中▄p=▄p（▄v，t▄Vr，ti）是▄Vi（t）的转移概率密度函数，初始条件为→ti▄p（▄v，t▄Vr，ti）=δ（▄v- Vr）。