测试市场微观结构噪音是否由

如果wede fineπt：=supi≥1吨- ti公司-1和t之前的观测数为N（t）=sup{i∈ N | 0<ti≤ t} 我们有πt→P0和thatN（t）n→PTZtαsds。（2.5）当没有混淆的余地时，我们有时会在表达式中省略T，即使用N：=N（T）。信息给定过程Xt，假设观测信息qi是条件平稳的，即对于任何k，j，i，···，ik∈ N对于任何连续且有界的函数f，我们有E[f（Qi+j，…，Qik+j）| X]=E[f（Qi，…，Qik）| X]a.s.（2.6）我们引入了θ和θasWi（θ）中的解释部分之间的差异：=φ（Qi，θ）- φ（Qi，θ），（2.7）和任何i，j，k，l∈ N、 对于任何多指标q=（q，q），r=（r，r，r），其中q和r的子成分本身是d维多指标，以下数量在实际条件下收敛为u.c.p，即对于任何t∈ [0，T]。方程（2.5）可以用引理14.1.5来表示【Jacod和Protter，2011年】。由于NNANDR的事实，获得了均匀性。αsds在【Jacod和Protter，2011】中增加了过程和性质（2.2.16）。价格过程[Wi（θ）| X]=0 a.s，（2.8）ρqj（θ）：=EqWi（θ）θqqWi+j（θ）θq十、= EqWi（θ）θqqWi+j（θ）θqa、 s，（2.9）κrj，k，l（θ）：=cumrWi（θ）θr，rWi+j（θ）θr，rWi+k（θ）θr，rWi+l（θ）θr十、= 附有rWi（θ）θr，rWi+j（θ）θr，rWi+k（θ）θr，rWi+l（θ）θra、 s，（2.10），其中ρqj（θ）和κrj，k，l（θ）假设独立于n。请注意，条件（2.8）-（2.10）说明信息过程的条件矩（及其相对于θ的导数）与有效价格无关。这比假设Q和X的独立性弱（因此，它比[Xiu，2010]的经典QMLE框架弱，其中MMN假设依赖于X）。

当q=0（分别为r=0）时，我们直接引用ρj（θ）（分别为κj，k，l（θ））代替ρqj（θ）（分别为κqj，k，l（θ））。为了确保信息随时间的弱依赖性和θ的可识别性，我们还假设任何i=0、····、m和0≤ |q |，| r |≤ m以下一组条件：supθ∈Θ+∞Xj=0ρqj（θ）< ∞ a、 s，（2.11）supθ∈Θ+∞Xj，k，l=0κrj，k，l（θ）< ∞ a、 s，（2.12）Esupθ∈Θjui（θ）θjp十、< ∞ a、 s，对于任何p≥ 1, 0 ≤ j≤ 2, (2.13)ρ(θ)θ= 0 <=> θ = θ. （2.14）备注1。条件（2.11）-（2.12）确保信息处理随时间的弱依赖性，而条件（2.14）意味着QMLE的θ的可识别性。需要它们来推导与θ相关的QMLE估计量的极限理论，这将在下一节中定义。请注意，我们考虑的是一种设置，即当以有效价格过程为条件时，信息过程是静止的，这在【Li等人，2016年】中没有假设。在特殊情况下，（2.11）-（2.12）是平稳条件序列（A.xi）的更强大形式，而（2.14）取代了他们论文中的可识别性假设（A.x）。需要更强的假设是因为在这项工作中，除了与收敛速度N一致外，我们还证明了与θ相关的qmle的中心极限理论。另一方面，矩条件（2.13）弱于要求信息过程一致随机有界的非常强的假设（A.v）。剩余噪声假设剩余噪声独立于所有其他过程，即E[t] =0和E[t] =a>0，且具有有限的四阶矩。备注2。假设信息处理过程中存在剩余噪声ti，我们已经排除了异基因MMN的情况。

尽管经验证据表明MMN的时间依赖性（如[Hansen and Lunde，2006]所指出），但在我们的模型中加入异方差性超出了本文的范围。还要注意，我们只允许解释部分φ（Qi，θ）的弱内生性形式（其4阶或以下的条件矩不应取决于Xt）。再次，我们在本文中保留了更强的内生性形式。然而，在我们的模拟研究中，我们考虑了内生和异方差残余噪声，并表明测试似乎对此类误判具有合理的鲁棒性。3剩余噪声的测试3.1小噪声替代情况我们首先考虑简单的半参数模型，其中Xt=σWt，观测值为regularti+1- ti= 这意味着N=N，残余噪声Ti为正态分布，均值和方差为零。我们进一步定义N=T/N，在这个简单的模型中N=. 完整假设定义为H：{a=0，φ=Φ}，而备选方案定义为H：{a：=η/n>0，φ=Φ}，其中Φ：=Φ（Qi，θ）6=0，η是一个不依赖于n的常数。大噪声备选方案和φ=0备选方案的情况分别延迟到第3.2节和第3.3节。为了确保我们的方法对一般信息具有鲁棒性，我们的策略包括不考虑以信息为条件的两个不同的似然函数。我们确定observedlog返回值Yi=Zti-Zti公司-1，Y=（Y，···，YN）T。此外，信息返回用ui（θ）=φ（Qi，θ）表示-φ（Qi-1，θ），u（θ）=（u（θ），····，uN（θ）），我们进一步定义（θ）=Y-u(θ). 我们分析的关键是，计量经济学家知道Ey（θ）。在没有剩余噪声的情况下，观察到的收益可以表示为asYi=σ（Wti- Wti公司-1） +ui（θ）。

（3.1）很明显Ey（θ）是以方差σ为中心的i.i.d正态分布而对数似然可以表示为lexp（σ，θ）=-Nlog（σN）-Nlog（2π）-2σNeY（θ）TeY（θ）。（3.2）当存在残余噪声时，【A"it-Sahalia等人，2005年】表明，在没有信息的情况下，即Yi=σ（Wti- Wti公司-1) + (ti公司- ti公司-1） ，（3.3）Y具有MA（1）过程，因此模型的对数似然过程isl（σ，a）=-日志数据(Ohm) -Nlog（2π）-年初至今Ohm-1年，（3.4）其中Ohm 是矩阵Ohm =σN+2a-a0···0-aσN+2a-一0-aσN+2a。。。。。。。。。。。。。。。-a0···0-aσN+2a. （3.5）（3.6）当合并非空信息时，回报模型可以写成asYi=σ（Wti- Wti公司-1） +ui（θ）+(ti公司- ti公司-1). （3.7）然后立即可以看到Ey（θ）遵循MA（1）动态，因此我们可以用err（σ，θ，a）=-日志数据(Ohm) -Nlog（2π）-eY（θ）TOhm-1eY（θ）。（3.8）为了评估中心极限理论，我们考虑了第2节中规定的一般框架，并确定了二次变化asTσ：=ZTσsds+X0<s≤TJs，其中Js=Js-Js公司-, 我们假设σ∈σ, σ几乎可以肯定，其中σ>0。这一假设对于在定义良好的有界空间上最大化拟似然函数是必要的。这似乎是波动过程中的一个限制条件，但由于σ可能会非常大，因此它不会影响实际估计程序的实施。UnderHand假设零信息，【A"it-Sahalia和Ziu，2016】表明（3.4）相关的QMLE是最优的，收敛速度为n1/2。当将信息纳入模型时，与（3.2）和（3.8）相关的qmle也会以n1/2的速率收敛。形式上，我们假设ν：=（σ，θ）∈ Υ，其中Υ=σ, σ×Θ.

我们将bДexp：=（bσexp，bθexp）和bξerr：=（bσerr，bθerr，baerr）分别定义为方程的一个解Γlexp（ν）=0在Υ的内部，方程有一个解ξlerr（ξ）=0 onΥ×- η/n，η/n, 其中η>0和0<η<σ/4。这与参数空间的扩展相对应，因为acan取负值，如【A"it-Sahalia和Xiu，2016年】（见第8页底部的讨论）。这种扩展是必要的，因为在非扩展空间[0，(R)η/n]下，参数a=0将位于参数空间的边界上，使得上述过程不一致。在下面的定理中，假设噪声过程为一阶，我们给出了（bνexp，bξerr）的联合极限分布/√n、 我们还规定了H下的限值，即没有残余噪声时的限值。定理3.1。（小剩余噪声框架下（bДexp，bξerr）的联合中心极限定理）假设a=ηT/n，且[] = KT/for某些固定η≥ 0，K≥ 0，其中cum[] 是的四阶累积量t、 那么，我们有GT稳定的法律N1/2bσexp- σ- 2~ηNbθexp- θ- N-1Bθ，expN1/2bσ误差- σNbθ误差- θ- N-1Bθ，误差N3/2贝尔- 一→ 明尼苏达州0，QT×2 0 2 0 0TRTσsdsQU-1θTRTσsdsQU-1θ2 0 6 0 -2TTRTσsdsQU-1θTRTσsdsQU-1θ0 0 -2吨0吨+ 五、,其中Q=T-1RTα-1sdsnRTσsαsds+P0<s≤TJs（σsαs+σs-αs-)o、 η=（T-1RTα-1sds）η，eK=（T-1RTα-1sds）K，Uθ=E“u(θ)θ.u(θ)θT#，V：=V（Q，σ，|η，eK，θ）是由于存在形式V的残余噪声而产生的附加矩阵=V0 V0 V0 V0 V0 V0 V0 V0 V0 V0 V0 V0 V0 V,由于价格过程中存在跳跃，Bθ，exp，Bθ，errar是两个偏差项。

V，Bθ，exp和Bθ，err的精确表达式见第9节。特别地，V（Q，σ，0，0，θ）=0，因此，在H下，我们有稳定的GT定律N1/2bσexp- σNbθexp- θ- N-1Bθ，expN1/2bσ误差- σNbθ误差- θ- N-1Bθ，误差N3/2贝尔- 0→ 明尼苏达州0，QT×2 0 2 0 0TRTσsdsQU-1θTRTσsdsQU-1θ2 0 6 0 -2TTRTσsdsQU-1θTRTσsdsQU-1θ0 0 -2吨0吨.备注3.2。（常规抽样）如果观察结果是常规的，则Q，ηandeK可以指定为Q=ZTσsds+X0<s≤TJs（σs+σs-), §η=η，eK=K.（3.9）我们现在考虑测试Hagainst H的问题。为此，我们考虑形式=N（bσexp- bσerr）/bV，（3.10），其中bV是AV-AR（bσexp）的一致估计量- bσerr）将在下文中定义。我们的目的是证明S满足关键的渐近性质→ χ在H下，（3.11）S→ ∞ 在H下，（3.12）过滤G=（Gt）0≤t型≤定义为Gt：=σUni，αs，Xs |（i，n）∈ N、 0个≤ s≤ t型.其中χ是标准卡方分布。事实上，我们可以从定理3.1中推导出（3.11），并且bV和（3.12）的一致性相对容易得到。正如【A"it-Sahalia和Xiu，2016】中所述，我们考虑了三种不同的情况，即：（i）恒定波动率（ii）时变波动率和无价格跳跃（iii）时变波动率和价格跳跃。这导致我们确定了两种（一种估计器对两种情况具有稳健性）不同的方差估计器及其相关统计Si=N（bσexp- bσerr）/b如下所示。由于到达时间的非规律性，基于四次方收益的估值器，如BV（第8节定义）在总体上是不一致的。因此，我们考虑受【巴恩多夫·尼尔森和谢泼德，2004b】和【巴恩多夫·尼尔森和谢泼德，2004a】启发的双功率统计。如果我们假设（i）我们有AV ARbσexp- bσ误差=4吨-2σRTα-1sdsRTαsds，可通过BV=4NTNXi=2估计bXi公司bXi公司-1.

（3.13）估值器BV对（ii）也具有稳健性，其中AV AR（bσexp- bσerr）=4T-2RTα-1sdsRTσsαsds。在（iii）下，AV AR（bσexp- bσerr）=4T-2RTα-1sdsRTσsαsds+P0<s≤TJs（σsαs+σs-αs-). 如果我们引入随机且令人满意的EKN→P0和eui=eα（ti- ti公司-1） ω，我们可以估计av-AR（bσexp- bσerr），bv=T(NNXi=2bXi公司bXi公司-1{|bXi公司|≤eui}{|bXi公司-1|≤eui公司-1} （3.14）+N-ekXi=ek+1bXi公司{|bXi |>eui}\\σtiαti+\\σti-αti-), 式中\\σtiαti=~kNi+ekXj=i+1bXj公司{|bXj公司|≤euj}、∑ti-αti-=\\σti-埃克-1αti-埃克-1、我们首先展示了拟议估计数的一致性。提案3.3。对于任何i=1，2，我们有，作为n→ +∞,H以下：英属维尔京群岛→PAV AR（bσexp- bσerr），在H:bVi=OP（1）下，如果我们假设相关的框架。然后我们推导出统计量的渐近性质。推论3.4。设0<β<1，cβ为标准卡方分布的相关β分位数。在相关框架下，检验统计量SisatisfyP（Si>c1-β| H）→ β和P（Si>c1-β| H）→ 1.（3.15）当模型中没有残余噪声时，按照【Li等人，2016年】和【Chaker，2017年】中考虑的程序，我们可以估算有效价格asbXt=Zti- φ（Qi，bθexp），对于t∈ti公司-1，ti. （3.16）根据定理3.1，我们得到Bθ表达式是一致的，因此我们可以证明Bxt的一致性。也可以立即看到bσexp=T-1NXi=1（bXti-bXti公司-1). （3.17）正式而言，表示为估计参数函数的波动率估计器（3.17）与[李等人，2016年]中考虑的波动率估计器（也被视为估计参数的函数）相等。此外，考虑到lexpin（3.2）的形状，QMLEbθ扩展了所引用论文（第35页）中的最小二乘估计量（9），这意味着两个波动率估计量相等。参考【Diebold and Strasser，2013年】中的表3（第1324页），可以理解在（3.17）中使用RV之前需要更正价格。

在该表中，第一列报告了naiveRV的限制。因此，可以看到，根据φ的序列自相关，极限中会有一个或多个额外的自相关项。随后，使用（3.17）中的价格估算可以消除这些附加条款。以下推论正式说明了XT的一致性以及使用BXT时RV的效率。这正好对应于【Li等人，2016年】中的定理2。这也对应于【Chaker，2017】中的定理4（i），当φ为线性时。推论3.5。在H下，估计量bxts是一致的，即对于任何t∈ [0，T]，bXt→PXt。（3.18）此外，我们有稳定的法律规定NXi=1（bXti-bXti公司-1)-ZTσsds-X0<s≤TJs公司→ MN（0，2TQ）。（3.19）特别是，当观测值是定期的且有效价格是连续的时，这可以写成n1/2NXi=1（bXti-bXti公司-1)-ZTσsds！→ 明尼苏达州0，2TZTσsds. （3.20）值得注意的是，当J=0时，收敛（3.19）表明估计价格上的RV是有效的，因为其AVAR达到[雷诺等人，2017年]中推导的非参数效率界限。事实上，考虑到T=1，请注意，我们的观测时间模型属于[雷诺等人，2017年]（见假设2和下面的简短讨论），其中，鉴于上述论文第447页的（2.10），我们很容易得出αs=T0-1秒。因此，（3.19）可以写成n1/2NXi=1（bXti-bXti公司-1)-Zσsds！→ 明尼苏达州0，2ZσsT0-1sds, （3.21）精确对应于【雷诺等人，2017年】第454页g（u，σ）=σ情况下的效率界限（3.18）。3.2大噪声替代情况如果可以检测到小噪声，则可以先验地检测到大噪声。在这一节中，我们考虑了较大的备选值eh：{a：=η，φ=Φ}，其中我们记得η>0，Φ：=Φ（Qi，θ）6=0。我们证明命题3.3和推论3.4在以下内容中仍然有效。

我们已经删除了与H相关的声明，这些声明显然是真实的。提案3.6。在相关的框架下，对于任何i=1，2，我们有，作为n→ +∞,在EH下：bVi=OP（N）。推论3.7。在相关框架下，检验统计量SisatisfyP（Si>c1-β| eH）→ 1.（3.22）3.3φ=0备选情况到目前为止，我们假设测试以φ为非零的特定参数模型为条件，因此在φ6=0的约束条件下考虑了零假设和备选方案。在这一部分中，我们考虑纯i.i.d MMN备选方案H：{φ=0，a>0}，其中噪声可能较小（a=ηT/n）或较大（a=ηT），η>0。请注意，这与【A"it-Sahalia和Xiu，2016年】的备选方案完全相同。我们在接下来的内容中证明，命题3.3和推论3.4仍然符合对已确定模型{φ（，，θ），θ的无害假设∈ Θ}，这对本文考虑的所有模型都是满意的。在此，我们再次删除了与H.提案3.8相关的陈述。假设Θ的内部存在seθ，使得φ（，eθ）=0。然后，在相关的框架下，对于任何i=1，2，我们有，作为n→ +∞,在a=ηT/n的情况下：bVi=OP（1），在a=ηT的情况下：bVi=OP（Nn）。推论3.9。假设Θ的内部存在seθ，使得φ（，eθ）=0。然后，在相关框架下，检验统计量满足FYP（Si>c1-β| H）→ 1.（3.23）4福利本节的目标有三个。首先，我们介绍了一种测试优度的方法，高频数据用户可以在测试之前使用该方法来比较多个模型，并评估一个或多个条件是否值得测试。其次，我们提供了与模型相关的QMLE的中心极限理论，包括假设存在剩余噪声时的剩余噪声，并推导了测度的估计量。

最后，我们给出了估计波动率的实用指南——下面的有限样本分析说明了这一序列。4.1定义在研究Hausman测试之前，更安全的做法是假设一个模型，其中剩余噪声a>0的方差不可忽略。我们引入方差比例，解释为πV：=Eφ（Q，θ）Eφ（Q，θ）+ a、 （4.1）这是模型拟合优度的度量。该度量几乎与【Li等人，2016年】中的πexpfromRemark 8（第37页）相同。（4.1）的估计基于与模型相关的QMLE，包括（4.5）中给出的残余噪声。4.2中心极限理论在本节其余部分中，我们假设剩余噪声方差a>0不依赖于n。当φ=0时，这对应于对剩余噪声的广泛假设（在这种情况下，它正好对应于MMN）。在此设置中，并进一步假设挥发度为常数，【A"it-Sahalia等人，2005年】表明，与（3.4）相关的最大似然估计（MLE）对收敛性n1/4有效，并在偏离噪声正常性的情况下获得最大似然估计的稳健性。【Xiu，2010】表明，该过程对时变波动性也具有鲁棒性。我们进一步研究了【Clinet和Potiron，2018a】在价格过程中加入跳跃并考虑非规则随机到达时间时估计量的行为。在下面的内容中，我们特别说明bσerr以相同的速率n1/4收敛。我们假设ξ：=（σ，a，θ）∈ Ξ，其中Ξ=σ, σ×a、 a×Θa>0。最后，将bξerr定义为方程的一个解ξlerr（ξ）=0，在Ξ的内部。定理4.1。