测试市场微观结构噪音是否由

注意，证明V（T）的中心极限定理归结为采用引理10.12中M（T）证明的推理替换¨ωi，jby¨eαi，j。仔细检查证明表明，计算仍然有效，但极限方差现在表示为limnηtnnnxi，i=0¨eαi，Nn/2¨eαi，Nn/2EWi（θ）θWi（θ）Tθ= 2？ηT（1-φ)φ + 31 - φ~ρ++∞Xk=12(1 - φ） φk1- φ- 4φk-1+（k- 1)(1 -φ） φk-2.~ρk！通过直接计算系数αi，Nn/2。当J 6=0时，我们立即看到在形式的U（T）中有一个附加项-Nn（t）Xj=1Nn（t）Xi=0˙eαi，jWi（θ）θJnj，twich，通过J的有限活度性质等于-PNJj=1nPNni=0˙eαi，i（τj）Wi（θ）θoJτjn非常大，其中nj是J在[0，T]上跳跃的随机次数，τ，····τJare是相关跳跃时间。现在，请注意，根据引理10.2的分部求和公式和˙eαi，j的定义，该项等于Bθ，φ，直到指数可忽略不计的项，我们完成了。定理3.1的证明。让我们首先推导N1/2n（￠νn）的极限- ν). 要做到这一点，请注意，我们有鞅表示，最多可指数忽略不计的项，ψn（ν）=2γ（1+φ）T（S（T）+2S（α）（T）+S（α）（T）+S（α）（T））|φ=0γ（1+φ）TS（T）|φ=02γ（1-φ） T（S（T）+2S（α）（T）+S（α）（T）+S（α）（T））|φ=φγ（1-φ） TS（T）|φ=φ-2γ(1-φ） T型2φ1-φnS（T）+2S（α）（T）+S（α）（T）+S（α）（T）o+2S（β）（T）+S（β）（T）+S（β）（T）|φ=φ.此外，ψnyields0=ψn（|νn）=ψn（ν）+Hn（|νn）（|νn）上的一阶条件- ν） ，（10.105），其中\'νn∈ [νn，ν]。我们将（10.105）重新表示为Γ（ν）-1Hn（(R)νn）N1/2n（￠νn）- ν) = -Γ(ν)-1N1/2nψn（ν）。

（10.106）因此，通过引理10.15，Slutsky稳定收敛引理，上述ψn（ν）的鞅表示以及引理（10.16），（10.17），（10.18），（10.19）和（10.20）（括号hSi，SjiTfori 6=j都可以忽略，因此我们得到族（Si）i=1··5）的联合GT稳定收敛，我们得出GT稳定在定律n1/2n中νn- ν- N-1/2neBθ→ MN（0，U），其中ebθ=（0，U-1θBθ，0，（1- φ)-1便士-1θBθ，0，0）T，U是矩阵U（Q，σ，～η，eK）0 U（Q，γ，φ，eK）0 U（Q，γ，φ，eK）RTσsds+3ηTU-1θ0 U（θ，γ，φ，P0<s≤TJs）0U（Q，γ，φ，eK）0 U（Q，γ，φ，eK）0 U（Q，γ，φ，eK）0 U（θ，γ，φ，P0<s≤TJs）0 U（θ，γ，φ，P0<s≤TJs）0U（Q，γ，φ，eK）0 U（Q，γ，φ，eK）0 U（Q，γ，φ，eK）,其中U（Q，σ，|η，eK）=2QT+4eK+12|η+8|ησ，U（Q，γ，φ，eK）=2Q（1- φ） T+eK1+φ+4γφ（φ- φ+2）1+φ，U（Q，γ，φ，eK）=-2φQγ（1- φ） T+2（1- φ） eK1- φ+4γφ(1 - φ)(φ+ 1)1 - φU（Q，γ，φ，eK）=2（1+φ）Q（1- φ） T+eK（1+φ）+4γφ（φ+φ+2）（1+φ），U（Q，γ，φ，eK）=-2（2+φ）Q（1- φ） γT+2（1- φ） eK（1+φ）γ+2γφ（1- φ） （φ+2）（1+φ）U（Q，γ，φ，eK）=（2φ+7φ+1）Q（1- φ） γT+（1- φ） eK（1+φ）γ+φ（4- φ)(1 - φ） （φ+1）（1+φ）和涉及θ，U（θ，γ，φ，X0<s）的项≤TJs）=2γT（1-φ)-1U-1θ(1 - φ)(φ- 4φ+ 5φ- φ+ 1)~ρ+ (φ- φ+ 3φ- 1)~ρ+ 2φ(1 - φ)~ρ+ (2 - φ)(1 - φ)+∞Xk=2φkρkP-1θ- 2(1 - φ)-1U-1θ((1 - φ)~ρ- (1 - φ)~ρ+ (1 - φ)+∞Xk=2φkρk）×P-1θX0<s≤TJs，U（θ，γ，φ，X0<s≤TJs）=γT P-1θ-2(1 - φ)(1 - φ） P-1θ~ρ1 - φ++∞Xk=12φk1- φ- kφk-1.~ρk！×P-1θX0<s≤TJs。最后，回顾bσn，exp，bθn，exp，bσn，err，bθn，exp，ban，err等于bσn，exp，θ+n-1/2nbun，exp，bγn，err（1-bφn，err），θ+n-1/2nbun，err，n-1T bγn，errbφn，err,delta方法的直接应用产生了定理3.1.10.7，与命题3.3的测试证明相关。我们首先展示我们在H下的主张。注意，CaseBv是定理3.1的结果。对于k 6=3，我们对bvkin进行了几个步骤的证明。第1步。

我们证明，在方差估计量的表达式中，我们可以替换estimatereturnsbXniby有效的Xni。为了简洁起见，我们在k=1的情况下证明了这一点。请注意，k=2、4、5的情况可以按照相同的推理路线进行证明。简介gv：=4NnTPNn-1i=2(Xni）Xni公司-1., 我们必须证明BV- 五、→P0。由于定义Bxtni=Xtni+φ（Qni，θ）-φ（Qni，bθn，exp），如果我们引入bi（θ）=ui（θ）-ui（θ），我们有表示bXni=Xni+bi（bθn，exp）。（10.107）开发BV并使用（10.107），我们得到BV- V=Ani，i-1+Ani-1，i，whereni，i-1=4NnTNn-1Xi=22bi-1（bθn，exp）bi（bθn，exp）Xni公司-1.Xni+2bi（bθn，exp）bi-1（bθn，exp）Xni公司-1+2bi（bθn，exp）Xni公司-1.Xni+bi（bθn，exp）Xni公司-1.+bi公司-1（bθn，exp）bi（bθn，exp）,=Xj=1Ani，i-1【j】和Ani-1，ih与上面的表达式相同，颠倒了i和i的作用-现在，使用展开式bi（bθn，exp）=ui（θ）θbθn，exp- θ+ui（|θn）θbθn，exp- θ2，（10.108）对于某些|θn∈ [θ，bθn，exp]，以及bθn，exp- θ=OP（N-1n）根据定理3.1和thatEhsupθ∈Θjui（θ）θjpXi<∞ 独立于n和任何p≥ 1，j≤ 2，我们很容易通过直接计算推断出，每个Ani-1【j】=oP（1）。第2步。现在我们必须证明，对于任何k∈ {1，2，4，5}，我们有收敛性Vk→PAV AR（bσexp-bσerr），其中vkha是与bvkeexcept相同的表达式BxNI被高效返回取代Xni。在【A"it-Sahalia和Xiu，2016】中已经解决了k=4，5的情况，因此k=1，2的情况仍有待证明。在这一步中，我们展示了k=1的情况，即当价格过程中没有跳跃（J=0）时，以及当AV AR（bσexp- bσerr）=4T-2RTα-1sdsRTσsαsds。让我们引入￠V=4NnTPNni=2σtni-2.tni公司-1.tni。我们首先表明，V-V=oP（1）。请注意，V-V=P（1）n+P（2）n，其中P（1）n=4nntnxi=2Xni公司-1.n个(Xni）- σtni-2.tnio，和p（2）n=4NnTNnXi=2nXni公司-1.- σtni-2.tni公司-1oσtni-2.tni。我们证明了P（1）n→P0。

首先假设波动性过程没有跳跃（J=0）。注意P（1）n=PNn-1i=2χniwithχni=4NnTXni公司-1.n个(Xni）- σtni-2.tnio，所以根据引理2.2.11in【Jacod和Shiryaev，2003】，我们只需要显示pnn-1i=2E[χni | Gni-1] →一方面为P0，另一方面为PNN-1i=2E[（χni）| Gni-1] →另一方面，P0。我们有Nn型-1Xi=2E[χni | Gni-1]≤4NnTNn-1Xi=2Xni公司-1.E“Ztnitni-1.σs- σti-2.ds公司国民总收入-1#≤ KNN公司-3/2+3/2γNn-1Xi=2Xni公司-1.| {z}OP（1）→P0，因为通过假设（H）和（10.11），对于连续It^o半鞅σ，我们有“Ztnitni-1.σs- σtni-2.ds公司国民总收入-1#≤ tniE“sups∈[tni-1，tni]σs- σtni-2.国民总收入-1#≤ 千牛-3/2+3/2γ.此外，EUhNn-1Xi=2E[（χni）| Gni-1] i=16NnTEUNn型-1Xi=2Xni公司-1.En个(Xni）- σtni-2.tnio公司国民总收入-1.≤ KNN公司-2+2γNn-1Xi=2EUXni公司-1.≤ KNN公司-4+4γ→P0，我们再次使用了（H）和（10.13）。最后，当J 6=0时，根据有限活动性质，上述总和中只影响有限数量的项，很容易看出，在这种情况下，收敛仍然成立。因此我们证明了P（1）n→P0和P（2）n→P0也得到了类似的证明。现在，回顾（2.4），我们分解V- 4吨-2ZTα-1sdsZTσsαsds=Q（1）n+Q（2）n，其中Q（1）n=4NnTnNn公司-1Xi=2σtni-2αtni-2.Uni公司-1.- 1.tni和Q（2）n=4NnTnNn公司-1Xi=2σtni-2αtni-2.tni公司- 4吨-2ZTα-1sdsZTσsαsds。利用假设（H）和Uni是i.i.d的事实，独立于其他量，例如e[Uni]=1，我们很容易推断出EUQ（1）n≤ KNN公司-2+2γ→P0.此外，Q（2）n→P0是Nn的直接结果n→PRTα-1sds和Riemann-sumPNn的收敛性-1i=2σtni-2αtni-2.tni公司→PRTσsαsds。第3步。最后，我们给出了k=2的情况。

我们将显示两个收敛性a（1）n：=4NnTNn-1Xi=2(Xni）Xni公司-1.{|Xni公司|≤eui}{|Xni公司-1|≤eui公司-1}→P4T公司-2ZTα-1sdsZTσsαsdsandA（2）n：=TNn-1.-knXi=kn(Xni）{|Xni |>eui}\\σtiαti+\\σti-αti-→P4T公司-2ZTα-1sdsX0<s≤TJs（σsαs+σs-αs-).对于A（1）n，我们首先表明我们可以替换Xniby其连续部分xNI在公式的平方增量中。为此，定义（1）n=4NnTNn-1Xi=2XniXni公司-1.{|Xni|≤eui}{|Xni公司-1|≤eui公司-1} ，B（2）n=4NnTNn-1Xi=2XniXni-1.{|Xni公司|≤eui}{|Xni公司-1|≤eui公司-1}.让我们定义（τq）1≤q≤新泽西州<+∞ a、 sbe J的连续跳跃时间（即Jτq6=0 a.s），对于1≤ q≤NJ，IQI使tniq-1<τq≤ tniq。根据J的有限活度性质，对于n足够大的情况，我们有| A（1）n- B（1）n |=4NnTNJXq=1Jτq+ 2.JτqXniqXni公司-1.{|Xni公司|≤eui}{|Xni公司-1|≤eui公司-1},≤4NnTNJXq=1Jτq+ 2.JτqXniq| {z}OP（1）Xni公司-1.| {z}OP（n-1+γ)~αtniq公司ω|{z}OP（n-ω+γω)|Xniq+Jτq|-1{z}OP（1），其中我们使用了假设（H），并且Jτq6=0，而Xniq=oP（1）用于估算|Xniq+Jτq|-1=OP（1）。由于总和几乎肯定是有限的，因此我们推断出| A（1）n- B（1）n |=OP（nγ-ω+γω）并且由于γ可以被视为接近0的任意值，我们推断A（1）n- B（1）n→同样，我们证明了B（1）n- B（2）n→P0。现在我们去掉了B（2）n中的指标函数。定义B（3）n=4NnTNn-1Xi=2XniXni-1..那么简单的计算给出seu | B（2）n- B（3）n |=4NnTEUNn-1Xi=2XniXni-1.{|Xni |>eui}∪{|Xni公司-1 |>eui-1}≤4NnTEUNn-1Xi=2XniXni-1.| Xni | |α(tni）ω+|Xni公司-1|~α (tni）ω≤ KNn×n-5/2+5/2γ+ω-ωγ→Psinceω<1/2。最后，请注意，在本证明的第2步中，B（3）n→P4T公司-2RTα-1sdsRTσsαsds与A（1）n结合- B（3）n→P0，这为A（1）nas井提供了所需的收敛性。对于A（2）n，通过上述类似技术，定义c（1）n=TNJXq=1Jτq\\σtiqαtiq+\\σtiq-αtiq-, （10.109）我们很容易推导出A（2）n=C（1）n+oP（1）。

此外，我们还可以通过假设（H）以及▄knn→ 0和￠kn→ ∞,\\σtiqαtiq=Nn▄knTiq+▄kn-1Xj=智商Xnj公司{|Xnj公司|≤euj}=Nn▄knTiq+▄kn-1Xj=智商Xnj+ oP（1）=NnknTiq+kn-1Xj=iqστqtnj+oP（1）=NnnTστqατqkniq+kn-1Xj=iqnj |{z}→PE【U】=1+oP（1）→PT公司-1ZTα-1sdsστqατq，其中我们使用了该Nnn→PRTα-1sds和i.i.d序列（Uni）i，n的大数定律。类似地，我们还有∑tiq-αtiq-→PT公司-1RTα-1sdsστq-ατq-. 最后，结合（10.109），我们推导出A（2）n的期望收敛性。在另一种情况下，类似的技术得出当η>0时，方差估计量sbvk，k∈ {1，···，5}仍然是OP（1）的顺序（尽管它们变得不一致）。我们在测试的一致性之后展示了什么。推论3.4的证明。在无效假设下，推论是定理3.1（η=K=0）和命题3.3的直接结果。在替代η>0的情况下，根据定理3.1，我们有bσn，err- bσn，exp→P2η>0 P- a、 所以这个屈服值snn（bσn，Er-bσn，exp）bVk→P+∞ （根据命题3.3，我们得到bvk=OP（1）），这完成了证明。最后，我们给出了推论3.5。推论3.5的证明。我们首先展示公式（3.17）以及bσn，exp等于（9）中介绍的[Li等人，2016]的最小二乘估计量这一事实。实际上，（3.17）是通过直接求解一阶条件得到的ln，expσ（bσn，exp，bθn，exp）=0，使用ln，exp的定义（3.2）。此外，bθn，exp的一阶条件为θu（bθn，exp）T（Y- u（bθn，exp））=0，这也是与【Li等人，2016年】中等式（9）中引入的二次损失相关的一阶条件。这证明了bθn，扩展了[Li等人，2016]的估计量（9）是一致的。现在，收敛性（3.16）是bθn的一致性的一个前瞻性结果，在哈龙下表示为有效价格X的右连续性。

因此，（3.19）和（3.20）中所述的收敛是第3.1款的特殊情况。命题3.6的证明。当噪声较大时（即a>0固定），类似于命题3.3 yieldsbV=4NnTNnXi=2的证明计算tni公司tni公司-1{z}OP（1）+OP（Nn）=OP（Nn）。同样，对于i=2，···，5，我们有bvi=OP（Nn）。推论3.7的证明。在大噪声替代方案下，将定理10.14的证明用于固定a>0很容易产生bσn，err- bσn，exp=2aT-1Nn+oP（Nn），即Nn（bσn，err- bσn，exp）=4aT-2Nn+oP（Nn），因此，根据命题3.6，对于任何i=1，····，5，我们有Si=Nn（bσn，err-bσn，exp）/英属维尔京群岛→P+∞ 自BVI=OP（Nn）。命题3.8的证明。当φ=0时，请注意，我们处于模型（1.3）与θ=eθ保持一致的情况。特别是，在小噪声假设下，我们仍然有bθexp-eθ=OP（1/Nn），因此命题3.3证明中的所有计算都是正确的。特别是对于i=1，2，Vi=OP（1）。在大噪声替代方案下，类似的论证得出了Vi=OP（Nn），如命题3.6的前提。推论3.9的证明。同样，当φ=0时，这相当于假设对数返回模型（1.3）在θ=eθ时保持为真。特别是，在小噪声假设下，定理10.14仍然有效，替换θbyeθ，特别是我们仍然有bσn，err- bσn，exp→P2eη。结合命题3.8，得出i=1，2，Si→P+∞. 对于大噪声情况，类似的参数yieldsbσn，err- bσn，exp=2T-正如命题3.6的证明一样，通过命题3.8，我们可以得出i=1的结论，2→P+∞.引理4.6的证明。在固定噪声a>0的情况下，bπV=πV+oP（1）这一事实是bθn、errand ban、errby定理4.1以及混合条件（2.11）一致性的直接结果。现在我们证明第二种说法。对于i∈ {1，…，Nn}，我们使用符号φi（θ）=φ（Qi，θ）。

根据中值定理，存在∈ 【ban、err、ηT/n】和Bn∈ [（Nn+1）-1pni=0φi（bθn，err），E[φ（θ）]]，使得bπV- πV=（An+Bn）-2(-Bn公司禁止，错误-ηTn+ AnPNni=0φi（bθn，err）Nn+1- E[φ（θ）]！），根据定理3.1，我们得到了baerr=ηT/n+OP（n-3/2）和bθn，err=θ+OP（n-1n），我们很容易推断，再次使用混合条件（2.11），（Nn+1）-1pni=0φi（bθn，err）=E[φ（θ）]+OP（n-1/2n），因此（An+Bn）-2=E[φ（θ）]-2+oP（1），Bn禁止，错误- η吨/吨= OP（N-3/2n），最终（N+1）-1pni=0φi（bθn，误差）- E[φ（θ）]= OP（N-3/2n）使BπV- πV=OP（N-3/2n），我们完成了。参考文献【Adams和Fournier，2003】Adams，R.A.和Fournier，J.J.（2003）。Sobolev spaces，第140卷。学术出版社。【A"it-Sahalia等人，2005年】A"it-Sahalia，Y.、Mykland，P.A.和Zhang，L.（2005年）。在存在市场微观结构噪声的情况下，对连续时间过程进行采样的频率。《金融研究回顾》，18（2）：351–416。【A"it-Sahalia等人，2011年】A"it-Sahalia，Y.、Mykland，P.A.和Zhang，L.（2011年）。依赖微观结构噪声的超高频波动率估计。计量经济学杂志，160（1）：160–175。【A"it-Sahalia和秀，2016】A"it-Sahalia，Y.和秀，D.（2016）。高频数据中存在市场微观结构噪声的豪斯曼检验。发表在《计量经济学杂志》上。[Almgren和Chriss，2001]Almgren，R.和Chriss，N.（2001）。投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》，3:5–40。【Altmeyer和Bibinger，2015】Altmeyer，R.和Bibinger，M.（2015）。拟有效谱共变性估计的泛函稳定极限定理。随机过程及其应用，125（12）：4556–4600。【Andersen等人，2000年】Andersen，T.，Bollerslev，T.，Diebold，F.，和Labys，P.（2000年）。伟大的实现。风险，第105–108页。【Andersen等人，2001年】Andersen，T.G.，Bollerslev，T.，Diebold，F.X.，和Labys，P.（2001年）。

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