测试市场微观结构噪音是否由

最后，当在Sparser频率下采样时，这种测量会停滞，我们认为这是因为（几乎）没有剩余噪声。在并行模型中，滚动模型的拟合优度非常好，方差的四分之一比例以最高频率解释，并且随着样本的减少而增加。数据通过路透社获得，由巴黎中央高等师范学院定量金融主席提供。该代码可在我们的网站上找到。与[Lee and Ready，1991]中介绍的简单且流行的Lee Ready程序的比较可参考引用文件的第5节。频率然而，这一特性暗示，在使用逐点数据时，该模型不能被视为合理地没有残余噪声。与Glosten-Harris模型相关的度量值略大，表明体积信息在一定程度上有助于改善fit。这些估计值与【Li等人，2016年】的实证研究中讨论的结果一致。在其他车型上，这一点没有那么好。如表6所示，我们尝试了许多其他替代模型（如上述模型的线性组合），但未发现签名价差模型的任何显著改进。特别是，在其上添加辊组件并没有发现对其有多大改善。我们通过实施两个逐点稳健的Hausman检验，进一步研究了有符号利差模型是否可以公平地被视为没有剩余噪声。对于每个单独的库存和试验，表7中报告了0.05级的拒收分数。虽然没有报告，但使用其他三个统计数据时，结果非常相似。

在31只股票中，28种成分的平均测试分数在0.00和0.11之间（以下称为主要组分，其特征是解释的方差比例大于99%），而选择0.11，剩下的三个组成部分分别为0.16和0.42（此后称为次要组，其方差比例略低于95%）。观察到的主要组分拒绝分数可被视为合理接近理论阈值0.05，因此我们不能拒绝它们的无效假设，这表明主要组分的股票可以被视为完全没有残余噪音。相反，小集团的三支股票显然遭到了拒绝。图1显示了估算价格的示例。为了探索估计价格的性质，我们将其视为待测试的给定观察价格【A"it-Sahalia和Xiu，2016年】。虽然他们的测试本质上与我们的测试相关，但他们使用的估计员与我们工作中考虑的估计员不同，因此他们的测试可以被视为对估计价格效率的合理独立检查。在0.05水平上，其无效假设的拒绝分数可参考表8。当仅限于主要组分时，六项测试的范围为0.05至0.09，平均值等于0.06。当考虑小集团股票时，相同的测试范围为0.33至0.42。这在很大程度上证实了这样一个事实，即主要类群种群几乎没有残余噪声，而次要类群组分则不能被视为残余噪声。法国电信（France Telecom）、路易威登（Louis Vuitton）和施耐德电气（SchneiderElectric）这三家小集团的一个共同特点是，它们的股价波动较大，价差较小，几乎总是等于1。

这一特征可以在表5中看到，因为三只股票在最小价差方面共享前三名，而在最小的价格与刻度大小的比率方面，则是前五名的一部分。即使对于这些股票，我们的发现也强烈表明，估计价格与效率的差距要比观察价格大得多，因为观察价格的测试在所有情况下都被拒绝。质疑估计价格有效性的另一种方法是检查自相关函数的第一个滞后和视觉“签名图”程序【Andersen等人，2000年】（另见【Patton，2011年】）。如图2-3所示。自相关函数的第一个滞后得到了令人满意的改善，因为当查看估计价格时，它的平均值为0.02，而当查看观察价格时，它的平均值为-0.28。签名图也是可以接受的，因为它相对平坦。最后，两种设置下的最大似然估计结果非常相似（差值等于10-3即使考虑到次要群体中的三只股票）和参数的稳定估计值，该参数系统地介于0.60和0.90之间，平均值约为0.79，以最高频率采样时，标准偏差略高于0.03。考虑到15秒和30秒的频率，平均值分别为0.77和0.76，因此估计值在各采样频率之间也是稳定的。此外，图4记录了各股票的每日估值也随着时间的推移相对稳定。请注意，我们还可以考虑在【Chaker，2017年】（第15页）中通过工具变量进行的有限样本校正。这稍微将参数的估计移向原点，在估计值中其值的四分之一数量级减小。

由于它可以改善有限样本属性，我们实施并选择使用这种有限样本校正，包括在我们的实施测试中。最后，出于稳定性原因，我们考虑了基于原始收益而非估计价格收益的方差估计。7结论本文介绍了一些测试，以评估市场微观结构噪音是否可以通过限额指令簿中一些变量的信息内容得到充分解释。两种新的拟极大似然估计在发展中得到了广泛的研究。随后，基于一个通用的过程，本文提出了一种有效的价格估计方法。我们强调，该方法可以轻松实现，以帮助处理高频数据的任何人。应将实证研究作为重复练习的参考，即首先在一类候选人中进行测试，然后根据测试优度选择一个特定模型。

我们希望这为避免和使用复杂的噪声鲁棒估计器之间的常见困境提供了一个替代和可靠的解决方案。我们还提请注意这样一个事实，即当市场微观结构噪音由限价指令簿充分解释时，除二次变化以外的其他数量，如纯综合波动率（通过截断）、综合波动率幂，高频协方差甚至波动率的波动率可以按照我们最近研究的相同程序进行估计【Clinet和Potiron，2017年】。最后，虽然我们已经检查了我们的有限样本测试没有重大失真，并且它们有助于提高波动率估计的精度，但未来研究的挑战性和有趣的途径包括可能改进方法检查是否，测试程序支持[Leeb和P"otscher，2005年]中提出的经典模型后选择问题。附录8补充方差估计量的定义当观测是正则的时，我们在正则观测的情况下提供补充方差估计量。我们考虑上述三种情况，即：（i）恒定波动率（ii）时变波动率和无价格跳跃（iii）时变波动率和价格跳跃在（i）情况下，我们从定理3.1中得出，AVbσexp- bσ误差= 4σ. 这可以通过bv=4（bσexp）来简单估计。（8.1）根据（ii），我们有AV ARbσexp- bσ误差= 4吨-1RTσsds可通过以下公式估算：bV=4n3TnXi=1bXi，带bXi=bXti-bXti公司-1，（8.2），其中Bxti之前在（1.4）中定义。假设（iii）时，我们有AV ARbσexp- bσ误差=4吨-1.RTσsds+P0<s≤TJs（σs+σs-).

如果我们引入k→ ∞ 这样k → 0且u=eαω当0<ω<1/2且|α>0时，可通过bv=T（3）估计渐近方差nXi=1bXi公司{|bXi公司|≤u} +n-kXi=k+1bXi公司{|bXi |>u}σti+σti-), 式中（8.3）σti=ki+kXj=i+1bXj公司{|bXj公司|≤u} ，σti-= σti-k-1、估值器BV基于【Mancini，2009】中考虑的截断方法。i=3、4、5的三个方差估计器SBVi与【A"it-Sahalia和Xiu，2016】中介绍的方差相同，直至比例因子t。这是因为作者通过以下方式来衡量他们的豪斯曼检验统计数据-1N此处我们使用了N。这三个估计量满足命题3.3和推论3.4的条件。在相应的证明中，我们还展示了在i=3、4、5.9的情况下，理论3.1中定义的渐近方差项的表达式。我们记得σ=T-1.ZTσsds+X0<s≤TJs公司, ~η=T-1RTα-1sdsη、 埃克=T-1ZTα-1sdsK、 Q=T-1ZTα-1sdsZTσsαsds+X0<s≤TJs（σsαs+σs-αs-).此外，我们还有φ=1-2~ηqσ（4η+σ）- σ, (9.1)γ=2▄η+σ+qσ（4▄η+σ）, （9.2）使得σ=γ（1- φ） 和|η=γφ。V的分量表示为V（σ，|η，eK）=4eK+12|η+8|ησ，V（γ，φ）=4γφ（1- φ） ，V（γ，φ，eK）=2eKT+4γTφV（Q，γ，φ）=-2φ(3φ- 10φ- 2φ+ φ- 6） Q（1- φ） T+8γφ（1- φ） （φ+φ+1）（1+φ），V（Q，γ，φ）=2φ（φ+φ- 2φ- 4） Q（1- φ)(1 + φ)-2γTφ（1- φ） （φ+φ+2）（1+φ）V（Q，γ，φ，eK）=φ（2- φ） QT（1- φ） +eKT+γTφ（1+φ）（φ+3φ+4）（1+φ）。备注3。

当波动率为常数时，观察时间是有规律的，价格过程中没有跳跃，我们得到σ=σ，Q=σT，因此使用（9.1）和（9.2）替换φ和γ，我们得到（bσerr，baerr）的方差矩阵的形式为6σ+V-2σ+V-2σ+Vσ+V,等于2σ+4pσ（4η+σ）-（σ+2ση+pσ（4η+σ））T-（σ+2ση+pσ（4η+σ））T（2η+σ）2η+σ+pσ（4η+σ）T+KT！，对应于上述框架中【A"it-Sahalia等人，2005年】定理2 p.371的极限方差。对于信息部分，我们定义了任何k∈ N数量ρk=EW（θ）θWk（θ）Tθ+Wk（θ）θW（θ）Tθ,连同矩阵suθ=2（|ρ- Дρ），Pθ=2（1+φ）-1(~ρ- (1 - φ)+∞Xk=1φk-1ρk）。然后，渐近方差和协方差项可以表示为v（θ，|η）=3|ηT U-1θ，V（θ，γ，φ，X0<s≤TJs）=2γT（1-φ)-1U-1θ(1 - φ)(φ- 4φ+ 5φ- φ+ 1)~ρ+ (φ- φ+ 3φ- 1)~ρ+ 2φ(1 - φ)~ρ+ (2 - φ)(1 - φ)+∞Xk=2φkρkP-1θ-“2U-1θ1 - φ((1 - φ)~ρ- (1 - φ)~ρ+ (1 - φ)+∞Xk=2φkρk）P-1θ- U-1θ#×X0<s≤TJs，V（θ，γ，φ，X0<s≤TJs）=γTP-1θ- (1 - φ） U型-1θ-\"2(1 - φ)(1 - φ） P-1θ~ρ1 - φ++∞Xk=12φk1- φ- kφk-1.~ρk！P-1θ- U-1θ#×X0<s≤TJs。最后，引入Bθ=P0<s≤TPNnk=1φ| k-英寸（s）|uk（θ）θJs，in（s）是唯一的索引-1<t≤ t偏差项表示为bθ，exp=U-1θBθ和Bθ，err=P-1θBθ。特别是，在H，φ=0，Pθ=Uθ下，因此Bθ，exp=Bθ，err=X0<s≤Tuin（s）（θ）θJsU公司-1θ.10证明10.1问题的简化我们给出了一个无害的额外假设（参见【Clinet and Potiron，2018a】第A.1节中的讨论）。注意，我们可以应用Girsanov定理，因为所有关于信息的假设也都是关于风险中性概率的。（H） 我们有b=~b=0。

此外σ，σ-1, ~σ(1), (~σ(1))-1, ~σ(2), (~σ(2))-1, α, α-1有界。给定一个先验数γ>0，我们也有sup0≤我≤NnUni公司≤ nγ。从现在起，为了尽可能避免混淆，我们在表达式Qni、Uni等中明确地写下指数n。还要注意的是，根据[Jacod和Protter，2011]中的引理14.1.5，回顾定义πnt：=supi≥1tni- tni公司-1，且Nn（t）=sup{i∈ N-{0}| tni≤ t} 我们有C>0==> n1型-cπnt→P0，（10.1）我们有时将Xt的连续部分定义为▄Xt：=Xt- Jt。（10.2）我们定义U：=σ{Uni | i，n∈ N}∨σ{αs | 0≤ s≤ T}生成观测时间的σ-场，与X和Q无关。我们通常必须使用条件期望E[.| U]，为方便起见，我们在下文中用EU表示。我们还定义了离散过滤Gni：=FXtni∨ U、 连续版本Gt：=FXt∨U、 注意，由于与α无关，X在扩展G=（Gt）0中允许相同的It^o半鞅动力学≤t型≤T、 最后，在所有的证明中，我们记得我们在Nn（T）的位置写nni，我们定义Kn=N1/2+δn，对于一些δ>0的要调整，我们让K是一个正常数，可以从一行到下一行变化。10.2估算Ohm-1我们从给出矩阵的一些有用估计开始本附录Ohm-1： =[ωi，j]i，j，定义见（3.6）。让我们定义u=qσTa。请注意uσ=u2σ，和ua=-u2a。在本节中，表达式O（1）表示（可能是随机的）函数f：（i，j，n，ξ）→ f（i，j，n，ξ），其中ξ=（σ，a，θ）∈ Ξ，其所有参数和ω一致有界∈ Ohm 在约束下ti，j≤ Nn，哪个是C∞关于紧Ξ，使得其偏导数αO（1）αξ也是有界的。特别地，对于任何多指标α，我们都有有用的性质αO（1）αξ=O（1）。最后，我们定义∈ N函数gn:k∈ {1，…，2Nn}→ k∧（2Nn-k） 。注意，gn（k）总是由Nn控制。引理10.1。

（扩展用于Ohm-1） 存在s>0，这样在（i，j）中一致∈ {1，…，Nn}，ωi，j=√Nn2ua1.-u24N3/2n | i- j |+ON-1ne-u | i-j|√Nn型-1.-u24N3/2GN（i+j）+ON-1ne-ugn（i+j）√Nn型+ Oe-s√Nn型.证据根据关系式ωi，j=ωNn-i、 Nn型-j、 用2表示结果很有用≤ i+j≤ Nn。变量φ=1变化时-2anpσNn（4a+σNn）- σnno和γ=n2a+σNn+pσNn（4a+σNn）o，我们回忆ωi，jωi，j=φ| i的表达式-j|- φi+j- φ2Nn-我-j+2+φ2Nn-|我-j |+2γ（1- φ)(1 - φ2Nn+2），（10.3）取自【秀，2010】，等式（28）p 245。通过简短的计算，我们也得到了展开式φ=1-u√Nn+u2Nn-u8N3/2n+ON-5/2n, （10.4）和γ=a+au√Nn+ON-1n. （10.5）现在，对于分子中的第一项，我们可以写出φ| i-j |=经验（| i- j | log1-u√Nn+u2Nn-u8N3/2n+ON-5/2n!)= 经验值|我- j|-u√Nn+u2Nn-u8N3/2n--u√Nn+u2Nn-u8N3/2n+-u√Nn+u2Nn-u8N3/2n！+ON-2n个= 经验值-u√Nn | i- j |-u24N3/2n | i- j |+O|我- j | N-2n个| {z}O（N-1n）= 经验值-u√Nn | i- j|1.-u24N3/2n | i- j |+ON-1n!.此外，作为i+j≤ Nn，类似的计算得出φi+j=exp的估计值-u√Nn（i+j）1.-u24N3/2n（i+j）+ON-1n!,φ2Nn-我-j=Oexpn公司-upNno公司,最终φ2Nn-|我-j |+2=O经验值-3upNn.我们还有展开式γ（1- φ)(1 - φ2Nn+2）=2au√Nn+ON-2月3日通过直接计算。总的来说，我们得到ωi，j=√Nn2ua（1-u24N3/2n | i- j |+ON-1n!e-u | i-j|√Nn型-1.-u24N3/2n（i+j）+ON-1n!e-ui+j√Nn），直至与φ2Nn相关的术语-我-jandφ2Nn-|我-j |+2，我们聚集在Oe-s√Nn型.对于矩阵a=[ai，j]1≤我≤j≤n∈ RNn×Nn，我们将矩阵˙A=[˙ai，j]0关联起来≤我≤Nn，1≤j≤Nn型∈R（Nn+1）×Nnand–A=[¨ai，j]0≤我≤Nn，0≤j≤Nn型∈ R（Nn+1）×（Nn+1），其分量分别满足˙ai，j=ai+1，j- ai，j，（10.6）和–ai，j=˙ai，j+1- ˙ai，j=ai+1，j+1- ai，j+1+ai，j- 当i=0或j=0时，根据约定ai，j=0，ai+1，j，（10.7）。我们回顾了取自【Clinet和Potiron，2018c】的以下引理。引理10.2。

让y，z∈ RNn+1，y=（y，…，yNn）T，z=（z，…，zNn）T，定义y=(yyNn）：=（y- yyNn公司- yNn公司-1） T型∈ RNn，和z以同样的方式。然后我们得到了按部分求和的恒等式yTA公司z=-yT˙Az=yT–Az。我们据此定义˙Ohm-1和¨Ohm-在下一个引理中，我们导出了这些矩阵的一些估计。引理10.3。（扩展为˙Ohm-1） 我们有近似值，在i中是一致的∈ {0，…，Nn}，j∈{1，…，Nn}˙ωi，j=-2a（sgn（i- j）-u√Nn型-u24N3/2n | i- j |+ON-1n!e-u | i-j|√Nn型-1.-u√Nn型-u24N3/2GN（i+j）+ON-1n!e-ugn（i+j）√Nn）+Oe-s√Nn型,其中sgn（x）=1{x≥0}- 1{x<0}。证据我们再次假定，在不丧失一般性的情况下，i+j≤ Nn。根据引理10.1和ωi，j的定义，一些计算给出了，直到Oe-s√Nn型,˙ωi，j=√Nn2ua（1-u24N3/2n | i+1- j |+ON-1n!e-u | i+1-j|√Nn型- e-u | i-j|√Nn型-1.-u24N3/2n（i+j+1）+ON-1n!e-ui+j+1√Nn型- e-ui+j√Nn型)=√Nn2ua（1-u24N3/2n | i- j |+ON-1n!e-u | i-j|√Nn型e-usgn（i-j）√Nn型- 1.-1.-u24N3/2n（i+j）+ON-1n!e-ui+j√Nn型e-u√n- 1.)=√Nn2ua（1-u24N3/2n | i- j |+ON-1n!e-u | i-j|√Nn型e-usgn（i-j）√Nn型- 1.-1.-u24N3/2n（i+j）+ON-1n!e-ui+j√Nn型e-u√n- 1.)=√Nn2ua（1-u24N3/2n | i- j |+ON-1n!e-u | i-j|√Nn型-usgn（i- j）√Nn+u2Nn+ON-2月3日-1.-u24N3/2n（i+j）+ON-1n!e-ui+j√Nn型-u√Nn+u2Nn+ON-2月3日),展开括号中的项，我们得到结果。根据前面的引理，我们通过类似的计算推导出¨的展开式Ohm-引理10.4。（扩展为¨Ohm-1） 如果i 6=j，我们有近似，在（i，j）中是一致的∈ {0，…，Nn}–ωi，j=-u2a√Nn型1+ON-1/2ne-u | i-j|√Nn+e-ugn（i+j）√Nn型+ Oe-s√Nn型. （10.8）此外，在i∈ {0，…，Nn}，¨ωi，i=a1.-u√Nn+ON-1n+u2a√Nn型1+ON-1/2ne-ugn（2i）√Nn+Oe-s√Nn型.（10.9）10.3有效价格估算之后，我们采用与【Clinet and Potiron，2018a】第A.3节中相同的符号约定。过程V和t∈ [0，T]我们写Vt=Vt- 及物动词-.