交易成本与模型下的大规模投资组合配置

此外，在投资者效用函数的某些限制条件下，短视的投资组合选择确实代表了（动态）控制问题的最优解。因此，平均向量的偏移与当前分配到1/N设置的偏差成正比。这可以解释为对（已经）高风险的资产施加了更大的压力。因此，如果β增加，∑*向表示不相关资产情况的对角矩阵移动。∑的正则化效应*与Ledoit和Wolf（2003、2004）提出的收缩方法的含义有一些相似之处。后者建议收缩协方差矩阵∑的特征值，（4）意味着通过常数βγ移动所有特征值，这对∑的条件有稳定作用*. 如在线附录A.1节所示，可以通过施加形式v（ωt+1，ωt+，B）的特定资产交易成本来构建与（线性）收缩的直接联系：=（ωt+1- ωt+B（ωt+1- 对于正定义矩阵B，ωt+。然后，Ledoit和Wolf（2003，2004）的线性收缩估计值在交易成本与∑的特征值具体相关时立即产生。然而，请注意，在我们的背景下，交易成本β被视为一个外生参数，由制度环境决定。因此，它不是一个“自由”参数，与∑无关。这使得交易成本隐含的正则化不同于线性收缩的情况，并产生了一个看似违反直觉的结果（乍一看）：由于交易成本β与∑无关，高波动期（即∑增加）意味着单位矩阵i的权重相对较低，因此与∑向下缩放的非周期相比，惩罚较少。

这与预期的收缩效应相反，在收缩效应中，更高的波动性意味着更高的参数不确定性，因此处罚力度更大。然而，正如下面的引理所显示的那样，如果将注意力转向投资组合优化的目标而不是协方差矩阵本身，那么反直觉的印象就会消失。引理1。假设∑h=（1+h）∑的高波动率区域，其中h>0，∑是平静期的资产回报协方差矩阵。假设u=0。然后，最佳权重ω*t+1与基于∑和（减少的）交易成本β1+h<β的最优投资组合相等。证据见在线附录中的A.2节。引理1表明，在高波动性（和协方差）时期，最优投资组合决策的触发因素较少，但更多的是需要减少投资组合波动性。其结果是转向权重为ω的（全局）最小方差投资组合∝β（1+h）γI+∑-1ι. 或者，人们可以将这种情况与风险厌恶程度较高的情况联系起来，从而更需要优化风险分配。将β视为外部交易成本参数的观点可以与将交易成本与波动性联系起来的最新方法形成对比。事实上，如果假设交易成本与波动率成比例，v（ωt+1，ωt+，β∑）=βt∑t、 例如，根据g^arleanu和Pedersen（2013）的建议，我们得到∑*=1 +βγΣ. 如在线附录A.2节引理2所示，在这种情况下，最佳权重的形式为ωβt+1=ωγ+βt+1+ββ+γ（ωt+- wmvp），其中ωγ+βt+1是没有交易成本的有效投资组合，参数∑和u以及风险规避参数γ+β，ωmvp：=ι∑-1ιΣ-1ι对应于最小方差分配。

因此，最优权重是ωγ+βt+1与权重1和（ωt）的线性组合+- wmvp），重量为ββ+γ。因此，∑的变化只影响ωγ+βt+1和WMVP，而不影响重量ββ+γ，这可能被解释为“收缩强度”（广义上）。因此，内生交易成本的监管效果可能不明确，并且在很大程度上取决于β和∑之间联系的确切规格。相反，外部交易成本意味着明显的监管效应，如第5节所述，这在经验上是成功的。关注vL（ωt+1，ωt+，β）有助于我们研究当前持有量对最佳财务决策的相对重要性。命题1显示了交易成本上升对最佳再平衡的影响。提案1。limβ→∞ω*t+1=我-Nιιωt++Nι=ωt+。（7） 证明。见在线附录中的A.2节。因此，如果交易成本过高，投资者可能无法实施有效投资组合，尽管她了解真实回报参数u和∑。通过考虑均值-方差有效组合的著名代表ω（u，∑）：=γ，可以更深入地分析长期交易成本的影响Σ-1.-ιΣ-1ιΣ-1ιιΣ-1 |{z}：=A（∑）u +ιΣ-1ιΣ-1ι. （8） 如果ω表示初始分配，则顺序再平衡允许我们研究ωT=T给出的长期影响-1Xi=0βγA（∑）*)iω（u，∑）*) +βγA（∑）*)Tω。（9） 因此，ωtca可以解释为ω（u，∑）的加权平均值*) 以及初始分配ω，其中权重取决于比值β/γ。命题2指出，对于β→ ∞, 长期最优投资组合ω仅由初始配置ω驱动。提案2。limβ→∞ωT=ω。证据

见在线附录中的A.2节。然而，以下命题表明，β存在一个范围（具有临界上限阈值），从长远来看，初始分配可以忽略。提案3。β*> 0β ∈ [0, β*) :βγA（∑）*)F<1，其中k·kf表示Frobenius normkaf：=sNPi=1NPi=1Ai，对于N×N矩阵A证明。见在线附录中的A.2节。将命题3用于T→ ∞ 和β<β*, 序列ti=0βγA（∑）*)I收敛到我-βγA（∑）*)-1和利米→∞βγA（∑）*)i=0。在命题4中，我们表明，从长期来看，我们会收敛到有效的投资组合：命题4。对于T→ ∞ 和β<β*级数ωt收敛到ω给出的唯一fix点∞=我-βγA（∑）*)-1ω(u, Σ*) = ω (u, Σ) . （10） 证明。见在线附录中的A.2节。注意，初始投资组合ω本身的位置对上限β不起作用*确保长期收敛到ω∞. 相反，β*仅受风险规避γ和∑的特征值的影响。2.2.2比例（L）交易成本虽然从分析角度来看很有吸引力，但二次型交易成本可能代表与实际金融市场交易相关的不切实际的成本代理，见T’oth et al.（2011）和Engle et al.（2012）。相反，在文献中，普遍使用与绝对再平衡之和成比例的交易成本度量（再平衡的L-范数），这对营业额施加了更强的惩罚，并且更现实。交易成本占再平衡L-范数的比例t=ωt+1- ωt+产生形式νL（ωt+1，ωt+，β）：=βkωt+1- ωt+k=βNXi=1ωt+1，i- ωt+，i, （11） 成本参数β>0。尽管比例交易成本对最优投资组合的影响无法以封闭形式得出，与上述二次（L）情况相比，6。

文献通常采用50 bp的惩罚条款，例如，见DeMiguel et al.（2009）和DeMigueland Olivares Nadal（2018）。离职处罚的影响仍然可以解释为一种正规化。如果我们为了简单起见假设u=0，则优化问题（1）对应于ω*t+1：=arg minω∈RN，ιω=1γω∑ω+βkωt+1- ωt+k（12）=arg mint型∈RN，ιt=0γt∑ωt++γt∑t+βktk。（13） 约束优化的一阶条件为γ∑(t+ωt+{z}ω*t+1+βИg- λι = 0, (14)tι=0，（15），其中▄g是kωt+1的次导数向量- ωt+k，即▄g：= kωt+1- ωt+k/ωt+1，由1或-ωt+1时为1，i-ωt+，i>0或ωt+1，i-ωt+，i<0，或∈ [-1，1]在ωt+1的情况下，i- ωt+，i=0。ω的求解*t+1产量ω*t+1=1 +βγιΣ-1克ωmvp-βγΣ-1g，（16），其中ωmvp：=ι∑-1ιΣ-1ι对应于GMV投资组合的权重。命题5表明，该优化问题可以表述为标准（正则化）最小方差问题。提案5。投资组合优化问题（12）等价于具有ω的最小方差问题*t+1=arg minω∈RN，ιω=1ω∑βγω，（17），其中∑βγ=∑+βγg级*ι+ιg*, 和g*是的次梯度ω*t+1- ωt+.证据见在线附录中的A.2节。矩阵∑βγ的形式意味着，对于高交易成本β，对风险敞口朝同一方向重新平衡的资产对的权重更大。结果显示了toFan等人（2012）的一些相似之处，他们说明了具有约束权重ωθt+1=arg minω的风险最小化问题∈RN，ω=1，|ω||≤ω∑ω（18）可以解释为最小方差问题ωθt+1=arg minω∈RN，ω=1ω∑∑∑ω，（19），其中λ是拉格朗日乘子，g是在优化问题（18）的解处计算的函数kω的次梯度向量。

然而，请注意，在我们的案例中，交易成本参数β是给投资者的，而θ是一种内生性强加的限制，目的是减少估计误差的影响。按照命题4的精神，在存在交易成本的情况下，调查初始投资组合ω的长期影响是复杂的，因为分析上易于处理的表述不太可行。然而，从Lbenchmark案例中得出的一般见解可以通过交易成本转移到SETUP：首先，高成本参数β可能会阻止投资者实施有效的投资组合。其次，由于任何向量的Lnorm都是由其Lnorm从上而下限定的，因此Lpenalization总是比在二次交易成本的情况下更强。因此，我们预计投资组合从初始配置ω向有效投资组合的收敛速度通常较慢，但在性质上相似。2.2.3经验含义为了说明上述影响，我们根据N=308项资产计算交易成本后的投资组合绩效，并根据2007年6月至2017年3月的数据进行每日调整。未知协方差矩阵∑的估计有两种方式：我们计算样本协方差估计量，由收缩估计量∑t、Shrinkby Ledoit和Wolf（20032004）计算，滚动窗口长度为h=500天。我们避免估计平均值，并将ut设置为0。初始投资组合权重设置为toNι，与原始投资组合相对应。然后，对于固定的β和每日估计的∑t，使用γ=4重新平衡投资组合权重，作为优化问题（3）的解决方案。这就产生了最优投资组合ωβ和已实现投资组合回报率rβt的时间序列：=rtωβt。

减去交易成本，则得出已实现投资组合的净交易成本回报rβ，nTCt：=rβt- βωβt+1- ωβt+.图1显示了年化夏普比率，计算为在减去样本协方差的交易成本和以基点测量的一系列不同β值的收缩估计值后，rβ，nTCt的年化样本平均值和标准偏差的比率。作为基准，我们提供了未经任何再平衡（买入并持有）的朴素投资组合的相应统计数据，以及每天重新分配权重的朴素版本。我们报告的β值范围为1bp至1000000bp。要为这些值的解释提供一些指导，请注意，例如，对于每日重新调整的原始分配，调整后的7。第5.1节更详细地描述了数据集和基本估计量。交易成本为RNAVE后的回报，nTCt+1：=RNAVET+1- βkωt+1- ωt+k=(R)rt+1- βN（1+’rt+1）’σt+1，（20），其中‘rti是所有N项资产的t天平均简单收益率，’σt=1/NPNi=1（rt，i- (R)rt）。使用基于我们数据的样本估计，对营业额进行惩罚，使naiveportfolio的平均每日回报减少一个基点（我们认为这对于naiveportfolio的分配非常严格），β应至少在3000 bp的量级上。这些考虑因素表明，β<100的情况可能与较小的交易成本相关。尽管如此，我们观察到，在β的广泛价值范围内，朴素投资组合的表现明显优于朴素投资组合。这是值得注意的，因为众所周知，参数不确定性，尤其是高维中的参数不确定性，通常会导致原始分配的优异性能（见DeMiguel et al.（2009））。此外，我们还发现，已经很小的β值对协方差矩阵有很强的调节作用。

回想一下，二次交易成本直接影响对角线元素，从而影响∑t的特征值。将308个特征值中的每一个都小幅波动，会对协方差矩阵的条件产生实质性影响。我们观察到，仅1个基点的交易成本显著增加了条件数量，并强烈稳定了林分，尤其是其逆，S-1吨。事实上，基于样本协方差矩阵的最优投资组合调整交易成本β=1bp的性别赌注，导致净交易成本夏普比为0.51，而忽略优化中的交易成本，夏普比仅为0.21。这种影响在很大程度上是一种纯粹的正则化影响。对于β值的上升，这种影响略有下降，并导致β值在10bp至50bp之间的表现下降。因此，我们观察到交易成本的双重作用。一方面，他们通过增加特征值来改善卵巢矩阵的调节。另一方面，它们降低了平均投资组合回报率。这两种效应都会影响相反方向的夏普比，导致β值高达约50bp的图形凹陷。对于较高的β值，我们观察到类似的模式：这里，由于隐含的营业额处罚，再平衡成本下降，并意味着夏普比率增加。然而，如果成本参数β过高，交易成本对投资组合预期回报的负面影响将占主导地位。因此，正如命题1所预测的那样，分配最终被推回到买入并持有策略的性能上（初始原始分配为1/N）。图1的第二个面板反映了这一点，显示了买入持有组合权重的平均值。所描述的影响对于样本协方差比其收缩的计数器部分更为明显。

由于后者已经正规化，营业额所隐含的额外规定将受到处罚8。在我们的样本（N=308）中，平均每日收益率约为3bp。平均方差'σ的大小相同。显然，tion的影响较小。然而，营业额正则化意味着即使基于样本协方差的预测也会产生合理的夏普比率，其表现往往与（线性）收缩估计所暗示的表现相当。图1的第三个面板显示了平均营业额（百分比）。显然，随着β的增加，交易活动会随着财富转移变得不那么令人满意而减少。因此，我们观察到，如果营业额规则化变得更强，两种方法之间样本外绩效的差异就会下降。我们在图1中报告夏普比率的动机源于这样一个事实，即夏普比率在实践中是投资组合评估的一个非常常见的指标。然而，请注意，夏普比率的最大化并不是由我们的预期效用最大化的基本目标函数（EU）所保证的。回想一下，在后一个框架中，对于给定的β，分配ω*t+1等时。然而，如果有人离开这一立场，以不同的目标为目标，例如夏普比率的最大化，那么有人可能会倾向于将β视为一个自由参数，需要进行选择，以便在交易成本为vtωt+1，ωt+，~β事后受到处罚。因此，在这种情况下，区分（内生选择的）事前参数β与事后评估中使用的（外生的）给定交易成本参数β可能是有用的。

在在线附录的A.3节中，我们为这种影响提供了一些证据：我们不是使用理论上最优的惩罚因子β来计算权重，而是基于次优的事前βs来计算权重的夏普比率。表A.1中的结果表明，事前β的小值足以产生高夏普比率，即使为评估选择的事后β要高得多。此外，该表表明，选择β=～β并不一定能提供强大的经验性能：在我们的设置中，β=25bp会导致最高的夏普比率，即使～β更高。重复基于比例（L）交易成本的分析可获得定性相似的结果。对于较低的β值，夏普比率在β中增加，因为协方差正则化的影响和营业额的减少过度补偿了投资组合收益下降的影响（交易成本后）。然而，总的来说，与二次交易成本相比，这种影响不太明显。3基本计量经济学设置优化问题（EU）面临的挑战是提供未来回报的合理密度pt（rt+1 | D）。预测密度应反映a9中收益分布的动态。请注意，交易成本意味着一种与套索惩罚类似的正规化。这样的惩罚意味着投资组合权重对前一天的分配具有强烈的依赖性。这会影响我们的评估，因为如果成本参数β略有变化，投资组合权重的路径可能会随着时间的推移而发生显著变化。在线附录（图A.1）第A.4节提供了类似于图1的Lcase性能航空化。合适的方式，打开了如何选择Mk模型的许多不同维度。