多随机因素下衍生产品定价的局部化方法

对于引入的两个因子模型，我们定义了Ohm := [smin，smax]×[vmin，vmax]，而对于三因素模型^Ohm := [smin，smax]×[vmin，vmax]×[rmin，rmax]。图1:RBF–PUM（左）和RBF–FD（右）的HHW问题离散化得到的微分矩阵稀疏结构示例。为了方便起见，我们以简写形式重写了方程（2.4）、（2.8）、（2.13）和（2.18），并用边界条件对其进行了扩充ut+Lu（t，x）=0，x∈^Ohm, （3.1）Bu（t，x）=f（t，x），x∈ ^Ohm, （3.2）其中，L是相应的微分算子，B是边界微分算子，而f（t，x）是力函数，x=[s，v]或x=[s，v，r]，取决于模型的维数。在图1中，我们展示了HHW模型离散化微分算子的稀疏结构，该结构源自我们的方法在反向Cutthill–McKee重新排序后的近似值，以减少带宽。在表1和图2中，我们展示了一组用于开发数值方法的RBF的典型选择，并说明了形状参数如何影响函数的缩放。表1：常用的径向基函数，其中ε∈ R+是形状参数，q∈ {2m- 1，米∈ N} 是多谐样条曲线阶数。RBFφ（r）高斯（GA）exp(-εr）多重二次曲面（MQ）√1+ε三元多重二次曲面（IMQ）1/√1+εr逆二次样条（IQ）1/（1+εr）多谐样条（PHS）rq0 0.5 1r00.20.40.60.81（r）=1=2=4=8=16（a）高斯0.5 1r11.21.41.61.82（r）=1=2=4=8=16（b）多谐样条0.5 1r00.20.40.60.81（r）q=1q=3q=5q=7q=9（c）多谐样条图2：形状参数ε在本节的以下部分中，我们详细介绍了RBF方法，并讨论了它们的性质。

此外，我们在本文的附录中以伪码算法的形式给出了主要的实现步骤。3.1 RBF–PUM为了构建RBF–PUM近似值，我们首先定义一个opencover{Ohmj} Pj=1计算域^Ohm  Rd使^Ohm P[j=1Ohmj、 （3.3）我们选择补丁Ohmj应为球形。在每个面片内，解u的局部RBF近似定义为▄uj（t，x）=njXi=1λji（t）φ（kx- xjik），（3.4），其中nj是属于面片的计算节点数Ohmj、 φ（kx-xjik）是以xji为中心的第i个基函数，它是第j个面片中的第i个局部节点Ohmj、 λji（t）是未知系数。除了这些补丁，我们还构造了单位权函数的划分wj（x），j=1，P，从属于开盖，因此pxj=1wj（x）=1，x个∈^Ohm. （3.5）函数wj（x）可以通过Shepard的方法[45]从紧支持的生成函数Дj（x）wj（x）=Дj（x）PPi=1Дi（x），j=1，Px个∈^Ohm. （3.6）生成函数Дj（x）必须满足一些平滑度要求。例如，对于本文考虑的问题，它们至少应该是C（Rd）。Toproceed，作为νj（x）的合适候选者，我们选择了紧支撑的Wendlandfunctions[46]，ν（r）=（4r+1）（1- r） +，r∈ R、 （3.7）supp（Д（R））=Bd（0，1），其中Bd（0，1）是以原点为中心的单位d维球。为了将生成函数映射到面片Ohmj使用中心cj和半径ρj，我们将其移动并缩放为Дj（x）=Дjkx公司- cjkρj, x个∈^Ohm. （3.8）进一步地，我们将局部RBF近似与单位权重函数的划分相结合，得到全局RBF–PUM解▄u（x）为▄u（t，x）=PXj=1wj（x）▄uj（t，x）。（3.9）为了用RBF–PUM从数值上解决问题（3.1）–（3.2），我们需要在^中散射N个节点x={x，…，xN}Ohm.

在不丧失一般性的情况下，我们假设前九个节点属于^的内部Ohm 剩余的NB=N-九节点属于其边界。我们以（3.9）的形式寻求（3.1）–（3.2）的解。将（3.9）置于节点处，我们得到以下线性方程组“A#dλdt+”LB#~λ：=”AIIABI0 0#ddt“~λIλB#+”liilbibbbbb#“~λIλB#=”~ fB#），（3.10），其中L和B分别是微分算子和边界微分算子的离散表示，A是插值矩阵，~λI=[λ，…，λNI]T，~λB=[λNI+1，…，λN]T和~fB（T）=[f（T，xNI+1）, . . . , f（t，xN）]t。然而，在节点处使用~u和~λ之间的插值关系，我们得到以下方程组~u=A ~λ，A：=“AIIABIAIBABB#，”（3.11），可以用函数值~u表示系数~λ为~λ=A-1~u.（3.12）对于表1中的光滑基函数，矩阵A是非奇异的，即A-1存在[47]。然后利用关系式（3.12），我们可以将确定系数λ的问题（3.10）转化为直接确定函数值的问题。如[48、49、50]所示，对于光滑RBF，系数λ的大小变得无界，如ε→ 0，而值~ u保持良好的性能。因此，我们倾向于用节点函数值▄u.“AIIABI0 0▄A来表示问题-1ddt“~uI~uB#+”liilbibbbb#A-1“~uI~uB#=”~fB#），（3.13），其中~uI（t）=[u（t，x），…，u（t，xNI）]和~uB（t）=[u（t，xNI+1），…，u（t，xN）]t。公式（3.13）是一个普通微分方程组，原则上可以通过任何合适的方法进行数值求解。有关时间积分的详细信息，请参阅第3.3节。

此外附录B中给出了RBF–PUM解算器的算法。给定形式的RBF–PUM近似允许保持与全局方法相似的精度，同时由于系数矩阵的稀疏结构，可以在支持此类功能的环境中使用稀疏运算，从而显著降低计算效率[5，37]，e、 g.，在MATLAB中。此外，RBF–PUM非常适合并行实现，因为局部矩阵的计算是可并行的。3.2 RBF–FD为了构造RBF–FD近似，我们首先在计算域^上散射N个节点Ohm  Rd.对于每个节点xj，我们定义了子集{Ohmj} Nj=1包含Nj- 1相邻节点和xjitself，并将其视为大小为nj的节点。（3.1）中定义的微分算子在每个节点xjasLu（xj）中近似≈njXi=1wjiuji≡ W u（xj），j=1，N、 （3.14）其中uji=u（xji），xji是前面介绍的本地索引节点。当涉及到[51，52]中介绍的标准RBF–FD方法时，通过强制（3.14）计算权重Wjia，使其精确到以中的每个节点为中心的RBFOhmJ屈服φ（kxj- xjk）。φ（kxj- xjnjk）。。。。。。。。。φ（kxjnj- xjk）。φ（kxjnj- xjnjk）wj。。。wjnj公司=Lφ（kxj- xjk）。。。Lφ（kxj- xjnjk）. （3.15）根据RBF插值理论，（3.15）形成了一个非奇异系统，这意味着可以计算一组唯一的权重，并将其组合到微分矩阵L中。

自nj以来 N由此产生的微分矩阵是稀疏的，与使用RBF进行全局近似的O（N）相比，内存成本为O（N）。此外，除了节点放置的自由外，该方法还可以自由选择每个节点的模板大小nj xjin计算域^Ohm, 可用于控制域不同部分的近似精度。在最近的历史中，许多不同类型的RBF被用来近似类似的微分算子，其中一些被列在表1和图2中。这种近似方法的主要问题是，为了获得权重wjia，需要求解的线性方程组通常是病态的。形状参数ε是大多数RBF函数中的特征，需要非常仔细地选取，有时甚至可能不足以确保稳定的近似值。在过去十年的几项工作中【12、36、53、54、55、56、57】，证明了通过将低阶多项式与RBF一起添加到所提出的插值中，可以稳定模板近似。然而，在一般情况下，选择最佳形状参数的问题仍未解决，这一问题在[12]中针对期权定价问题进行了彻底的研究。然而，最近的发展【58，59】表明，将高阶多项式与RBF结合使用，可以大大改进RBF–FD近似。似乎在此设置中，多项式次数而不是RBF决定了收敛速度。该发现建议选择分段平滑多谐样条（PHS）作为RBF，因为它们没有形状参数。

尽管如此，RBF似乎有助于减少近似误差，因此，对于具有稳定和准确的近似是必要的。因此，我们为获得问题中每个节点的微分权重而求解的线性系统的形式为“A PTP 0#”wjγj#=Lφ（kxj- xjk）。。。Lφ（kxj- xjnjk）Lp（xj）。。。Lpmj（xj）, （3.16）式中，A为RBF矩阵，wjis为差异权重向量，两者均显示在方程式（3.15）的左侧。P是大小为mj×nj的矩阵，其中包含所有在模具的每个节点xji中计算的qp阶以下的单项式（对应于mj单项式项）Ohmjand 0是sizemj×mj的零平方矩阵。此外，γjis是一个应该丢弃的伪权重向量，{p，p，…，pmj}是一个单项式函数数组，通过其相对于单项式项mj总数的位置进行索引，这样它就包含了直到qp度的所有单项式项组合。值得注意的是，与标准FD离散化相比，在标准FD离散化中，微分算子仅在一维笛卡尔网格上近似，这意味着高维算子需要在每个方向上分别离散，在RBF–FD近似中，维数在这个问题的困难中不起作用。此外，当涉及到边界节点及其附近的节点时，基于最近邻的模板会自动变形，因此无需特殊处理来计算这些区域中的差异权重。逼近微分算子所需的唯一信息是节点之间的欧几里德距离。

这意味着（3.15）代表了一种在任意维上近似微分算子的方法。此外，确实可以直接导出FD权重，对于BF–FD情况，必须为每个节点求解一个小型线性系统才能获得它们，但我们需要强调的是，这项任务（对应于附录C中算法2第4-11行的for循环）是完全可并行的，而且这种额外的成本可以通过目前为止所介绍的方法的巨大特性来调整。最后，如果需要施加特殊的边界条件，在近似属于边界的节点的权重时，只需使用适当的边界操作符B替换操作符L即可。计算权重并将其存储在微分矩阵中后，（3.1）和（3.2）的近似值为以下半离散方程“EIIIBBIBB#ddt”~ uI ~ uB#=“LIILIBBBBBB#”~ uI ~ uB#，，（3.17），可按以下小节所述进行时间积分。此外，RBF–FD解算器的算法见附录B.3.3时间积分。对于时间离散化，我们选择无条件稳定的二阶后向微分公式（BDF-2）[60，第401页]。BDF-2计划涉及三个级别。为了启动该方法，第一步通常使用BDF-1格式（Euler向后）。因此，需要对两个不同的矩阵进行因式分解。为了避免这种情况，我们使用BDF-2方案，如【61】所述。我们将时间间隔[0，T]拆分为长度为kn=tn+1的非均匀步长-tn，n=1，n并将BDF-2权重定义为βn=kn1+ωn1+2ωn，βn=（1+ωn）1+2ωn，βn=ωn1+2ωn，（3.18），其中ωn=kn/kn-1，n=2，新界。[61]中显示了时间步长如何以βn≡ β.

因此，系数矩阵在所有时间步都是相同的，只需要一个矩阵分解。将BDF-2格式应用于（3.13）或（3.17），我们得到了一个完全离散的方程系统，其内容如下：“EII+βLIIβLIBβBIBEBB+βBBB#”~ unI ~ unB#=“~ fnI ~ fnB#”，（3.19），其中EII和eb具有适当大小的单位矩阵，并且~ fnI=βn ~ un-1I- βn~un-2I，（3.20）~ fnB=[f（tn，xNI+1），…，f（tn，xN）]T。为了解决该系统，我们采用了以不完全lufactoriation为预条件的迭代GMRES方法。4数值实验在本节中，我们使用所提出的方法进行数值实验，以便在多个随机因素的假设下确定欧洲看涨期权的价格。实验设计基于【19】。我们评估三个预定资产现货价格的期权价格，这三个价格分别对应于货币外、货币内和货币头寸。在某些情况下，某些选定模型存在半解析解。例如，对于与QLSV模型下的参数集1相对应的theHeston模型，以及对于资产和波动率之间相关性为零的SABR模型，即参数集1。因此，我们获得这些值并将其作为参考解来研究两种局部RBF方法的收敛性和计算性能。由于笛卡儿节点布局对于RBF–PUM而言不是最优的，并且对于某些节点密度，我们在确定结果时可能会遇到不一致性，因此我们测试了两种方法之间节点数略有不同的节点集的收敛性。通常，差异不会超过一个数量级，并且可能以相同的可能性给出更好和更糟糕的近似值。

因此，当使用对数-对数图表示时，我们在一些重复定义的节点集上获得的误差可能不会在直线上对齐。因此，我们选取了能代表RBF–PUM整体收敛速度的点。表2、3、4和5中的值是在RBF–FD和RBF–PUM的相同节点集上获得的，因为我们不知道精确的参考解。我们在逐点l中测量误差∞-正常~u- ~urefk公司∞,式中，~ uRefi为参考溶液，等于oQLSV，第1组：~ uref=[0.009085，0.090467，0.285148]，oSABR，第1组：~ uref=[0.009545，0.080717，0.264368]。对于演示计算性能的图，我们在配备2.3 GHz IntelCore i7 CPU和16 GB RAM的笔记本电脑上执行了所讨论方法的Matlab实现。此外，对于所有比较图，我们使用我们代码的串行版本，而并行化潜力在本节的最后一部分中给出。此外，我们还报告了带有选项值的表格，用于参考解决方案不可用的问题。正如我们在第3节中提到的，有限域Ohm 必须截断才能执行数值模拟。我们使用以下截断域^Ohm := [smin，smax]×[vmin，vmax]=[0，2]×[0.001，1]对于具有两个随机因素的模型，^Ohm := [smin，smax]×[vmin，vmax]×[rmin，rmax]=[0，4]×[0.005，2]×[-1，1]对于赫斯顿-赫尔-怀特模型，以及Ohm := Heston-Cox-Ingersoll-Ross模型的[smin，smax]×[vmin，vmax]×[rmin，rmax]=[0，4]×[0.005，2]×[0，2]。我们避免使用Vmin的零值，因为这会导致PDE公式中的奇异性。我们在截断边界处选择以下边界条件：u | s=smin=0，uss=smax=0或u | s=smax=s- Ke公司-rt，（4.1）uvv=vmin=uvv=vmax=0，（4.2）urr=rmin=urr=rmax=0。

（4.3）然而，我们不一定直接在边界处的解上指定这些条件。在RBF–PUM的情况下，我们通过在微分算子内强制边界条件，并导出简化形式的边界算子B来近似边界条件，该算子应用于边界节点，而对于RBF–FD，我们仅在节点处直接分配Dirichlet边界条件，对于其他边界节点，我们以与计算域内部节点相同的方式构造权重。我们的经验表明，这种方法工作得更好，并提供了更稳定的局部RBF近似值。我们在资产方向上为远场边界指定两种边界条件。消失的二阶导数是一个正确的选择，但对于某些参数值集，由于利率可能为负值，我们可能会在赫斯顿-赫尔-怀特模型的这种方法中遇到数值问题。这种情况对RBF方法来说是一个挑战，因为例如，对于RBF–PUM，无法构造迎风格式。因此，作为替代方案，我们建议使用aDirichlet边界条件，该边界条件对于Black-Scholes模型是渐近正确的，但对于所考虑的模型是有偏差的。然而，最终这种偏见消失了。因此，为了减小有偏Dirichlet边界条件的影响，截断点Smax必须远离原点。虽然我们的方法具有节点布置自由的特点，但为了离散计算域，我们使用沿所有方向均匀分布的笛卡尔节点。对于双因素问题，节点数定义为Ns×Nv；对于三因素模型，节点数定义为Ns×Nv×nr，其中Ns、Nv和nr分别表示资产、波动率和利率方向的节点数。