仿射前向方差模型

很容易检查Husaties是否满足推论A.7的所有条件，即：Hupwq是p'8，0s上的有限严格凸函数，满足Hup0q'0；oHupwq在p'8，0s中有一个单根Hupwpuqq“0。因此，我们从推论a.7得出结论，对于所有u p p0，1q，存在唯一的全局连续解gpt，uq to（2.9）。此外，通过估计（a.11），gpt，uqd0对于allpt，uq p Rě0，1q。添加边界情况u p t0，1u很简单：观察到gpt，uq“0是u p t0，1u的（2.9）的常数全局解，[13，Thm.13.1.2]中必须唯一。还有gpt代表，uq“RVpu，fpt，uqq直接来自推论A.7。我们现在准备证明定理2.6的第一部分。定理2.6，“if”部分。让ηtpT q“？VtκpT'tq和fix一些pT，uq P p0，8q^p0，1q。通过引理2.13，卷积Riccati方程（2.9）与此核κ相关的是一个唯一的全局连续Rd0值解gp。，uq。使用此解决方案总成。，uq我们在（2.18）和（2.19）中定义了过程G和M。应用引理2.12，我们可以看到htpT的方程式（2.20），uq可以简化为ηtpT q到htpT的因式分解，uq“pgèηqtpT，uq“aVtzT'tgpT'T，uqκpsqds”aVt–pgèκqpT'tq。插入到（2.21）中，我们得到了dmtmt“loc.mg。`！RV'u，pgèκqpT'tq'gpT'T，uq）Vtdt。（2.23）自gp以来，uq求解了卷积Riccati方程（2.9），dt项消失，我们已经证明M是一个局部鞅。它仍然是证明M是真鞅。为此，观察| Mt | 1{u“exp^upuxtq˙exppXtq”St（2.24）对于所有的t P r0，t s。但是s是一个超鞅，因此E“| Mt | 1{uiE rStsds。设置P“1{ua1这是M一致可积的Lp准则。我们得出结论，M是一个真鞅，因此E“euXTˇFt‰”E rMT | Fts“Mt”exp uXtzTtgpT\'s，uqξtpsqds,，（2.25），显示所有u P p0，1q的（2.6）。

添加边界情况u P t0，1u很简单。自gpt以来，在这些情况下，uq“0”（2.25）立即出现。对于定理2.6的反向蕴涵，我们区分了ρd0和ρa0的情况。在这两种情况下，证明遵循相同的结构，但ρa0需要一些额外的技术参数，这些参数被归入附录B。定理2.6，“仅当”部分在ρě0的情况下。根据假设，前向方差模型pX，ξq在定义2.4的意义上有一个有效的CGF。使用相关功能总成。，uq，我们在（2.18）和（2.19）中定义了过程G和M。注意，由于（2.6），M必须是鞅。此外，请注意假设2.1以及gp。，uqd0产生HTPT，uq“pgèηqtpT，uqd0对于所有t，tě0，u P r0，1s。应用引理2.12并使用M是阿马丁格尔的事实，我们看到（2.21）中的dt项必须消失，即thatpu'uqVt'gpT't，uqVt'uρaVthtpT，uq'htpT，uq“0，（2.26）高达pdt^dPq空集。这是变量htpT，uq中的二次方程，由于假设ρd0，它具有唯一的负解htpT，uq“aVtq'pT't，uq：”aVt'ρu'aupρ'1q'u'2gpT't，uq't，uq'。插入（2.20）中htpT，uq的定义，并设置τ“t't，我们得到了τgpτs，uqηtpt'sqds”aVtq'pτ，uq，@τ283; 0。（2.27）这是针对未知函数ηtpt`.q。从（2.26）可以很容易地看出gp0，uq“pu'uqa0。因此，根据【13，Ex.5.25】，另请参见【12，Thm.1】，存在一个（局部有限钻孔）度量πpdτ，uq–第一类gp，uq的预解，使得所有τ0的τgpτ，uqπpds，uq”1。将（2.27）与πpdτ，.q进行卷积，可以表示（2.27）的唯一解，参见【13，Thm.5.3】，tpt `τq\'aVt¨BBτ^zτq'pτ'，uqπpds，uq˙。

（2.28）通过κpτq表示最后一个因子，并考虑假设2.1，设计分解（2.8）如下。3一个远期订单流量强度模型我们现在引入了一类市场订单流量模型，这类模型在结构上与远期方差模型相似。这些模型包括对数价格X和远期强度过程ξtpT q，该过程对未来订单流强度（时间t）的预期（时间t）进行建模。正向强度ξtpT q具有类似于正向方差的作用，我们将所得模型称为一个正向顺序流强度（AFI）模型。AFI模型不能与引理2.8的γ预解相混淆。订单量（作为强度的代理）和回报方差之间的强经验相关性在文献中有充分的记载（参见例[11]）。因此，AFV和AFI模型之间的平行性不应完全令人惊讶。纯粹通过市场订单的到达，由两个纯跳跃半鞅J\'t，J\'tof有限活动表示，具有共同的强度λt'。Asin（2.2），我们假设ξ。pT q和λ由ξtpT q连接：“E rλT''Fts。驱动过程J'仅向上跳跃，分别代表买卖订单的到达。它们的跳跃高度分布由买卖订单的两个概率度量ζpdxq在rě0上给出。我们假设sexζpdxq'8；尤其是第一动量：“zxζpdxqexist。此外，我们假设订单流动过程是自激的，因为每个到达的订单都会对强度过程产生积极影响。这种影响可能是不对称的，即买卖订单的自激程度可能不同。这一起导致了AFI模型ASDXT的规格”'λt'mXdt'dJ'，（3.1a）dξtpT q“κpT'tq'γ'drJ't'γ'drJ't'”。

（3.1b）其中κ是定义2.2意义上的L核，γ是正常数，mx由S“eXandrJtdenote the compensated order flow processes上的鞅条件确定，即rJt：“JtmstλS'ds。设置jxt“J't't，Jλt”γ't'J't（3.2）并表示Jλ的补偿对应项，我们可以重写（3.1）asdxtt“'t't'mXdt dJXt，dξtpT q“κpT'tqdrJλt。我们继续更详细地讨论跳跃过程及其随机跳跃测度的补偿器。J的随机跳跃由dνtpdxq补偿“λt'ζpdxqdt，其中x表示跳跃大小。虽然J'和J'是独立的，给定λ，但重要的是要注意，jx和Jλ皮重不是。相反，它们通过同时跳跃移动。因此，pJX，Jλq的跳跃度量的可预测补偿器由dνpX，λqtpdx，dyq”λt'χpdx，dyqdt，其中χpdx，dyq“'tx 0uty”γ'xu'pdxq'1tx；0uty“γ'xuζ'p'dxq”。注意，由于跳跃的同时性，关节跳跃高度χpdx，dyq的测量集中在直线段y”γ'x，pxě0q和y”'γ'x，pxd0q。此外，我们定义ψpuq”peux'1qζpdxq（3.3）并计算zR^Rě0'eux'wy'1'χpdx，dyq“ψ``u`wγ`'''''''u`wγ'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''具有定义2.4意义上的净现金流量。此外，gp。，uq:Rě0d0in（2.6）是广义卷积Riccati方程GPT的唯一全局解，uq“Rλ'u，ztκpt'sqgps，uqds'Rλ'u，pκ'gqpt，uq'，（3.4）其中Rλpu，wq“ψ'u'wγ'''''''u''wγ'''''''''u，pκgqpt，uq'，（3.3）证明中的ψ将G定义为（2.18），并设置Mt“exppuXt`Gtq。

应用引理2.12证明中的相同公式，但将布朗运动替换为纯跳跃鞅，我们得到gt“TgpT”，uqξpsqds'TgpT'，uqλs'ds'thspT，uqdrJλs，其中htpt，uq“λt'Ttκpr'tqpt'r，uqdr。将带跳跃的It^o公式应用于M，我们得到了“M'tMs'pudgtq”欧盟Xs型`Gs'1'uXs'Gs和补偿跳跃Yieldsdmmt“loc.mg.”λt'umXdt'γ'm'γ'm'htpT，uqdt'gpT't，uqλt'dt'λt'380; R^Rě0'eux'yhtpT，uq'1'χpdx，dyqdt”loc mg'λt'R'u，pgκqpT't，uq'gpT'gpT't，uq）dt。（3.6）其中‘loc.mg’表示我们不需要明确计算的局部鞅部分。我们看到dt项消失，ifgpτ，uq“Rλ'u，zτκpτ'sqgps，uqds”，即，如果广义卷积Riccati方程（3.4）有一个0dτT'T的解。为了证明存在唯一的全局连续解（3.4），我们按照引理2.13的证明进行，即设置Hupwq“Rλpu，wq，u P p0，1qand表明Husaties推论A.7的条件。特别是对于allu P p0，1q，oHupwq是P'8，0s上的有限严格凸函数，满足Hup0q'0；oHupwq在P'8，0s中有一个单根Hupwpuqq”0。事实上，请注意，严格凸性继承自ψ'，cf.（3.3）. 此外，指数函数的凸性意味着，对于u P p0，1q，thateux“eu¨x\'p1'uq¨0duex\'p1'uqe'uex\'1，因此thatHup0q“peux'1'uexq'pdxq'e'ux'e'ux'ζ'pdxq'0。最后，根wpuq的存在源于limw~n8'ep'u'γ'wqx'1'γ'w728; x'ζpdxq“`8，这意味着limw~n'8hupq“` 8.总之，Husaties Cor.A.7的所有条件，我们得出结论，对于所有u P p0，1q，Riccati方程存在唯一的全局解gpt，uq。此外，所有pt的gpt，uqd0，uq P Rěp0，1q通过估计（A.11）。

我们可以将边界情况su P t0，1u相加，观察到它们产生了常数全局解gpt，uq“0，它必须是唯一的，由[13，Thm.13.1.2]。从（3.6）中，我们得出结论，mt“exppuXt` Gtq是一个局部鞅。通过与（2.24）和（2.25）中相同的参数，可以得出M是一个真鞅，因此pX，ξq具有一个有效的CGF。示例3.2（文献[7]中的二元Hawkes过程）。考虑（3.1a），由二元Hawkes过程pJ`驱动，J` q具有单位跳跃大小（即ζpdxq“δpdxqq，公共核ν，公共强度λt，由λt”u\'ztzpt\'sq\'γ\'dJ\'s\'γ\'dJ\'s给出，如[7，第2节]。设置pγ：“γ``γ\'，并让κ是（2.12）意义上的ρ的pγ-预解。就κ而言，霍克斯强度λ具有鞅表示（参见[2，等式（45）]）λt“u'pγztκpt'uqdu'tκpt'uqd'Jλu，最后一个积分现在由补偿跳跃过程驱动。采用条件期望并使用'JλyieldsE rλt'Fts“u'pγztκpt'uqdu tκpt'uqd'Jλu”的鞅性质，然后选择ξtpT q“dE rλt'Fts”“κpT'tqd'Jλt，这表明该模型可以被转换为具有核κ的AFI模型。对于ν的具体规格，我们可以采用拉普拉斯变换并使用关系式（2.13）来确定相应的κ。例如，考虑使用拉普拉斯tf的Дpxq“e'pλ\'pγqx。pДpzq“z'λ'pγ。（3.7）对于这一点，我们从（2.13）拉普拉斯tf的γ-预解式κpxq“e'λx。pκpzq”“z`λ，即前向方差形式的赫斯顿模型的核；参见示例2.10。此外，霍克斯核Дpxq”xα'1Eα，αp'pλ'pγqxαq（3.8）具有拉普拉斯变换ρpzq”1{pzα'λpγq（参见[14，等式（7.5）]。因此其pγ-预解式为κpxq”xα'1Eα，αp'λxαq，（3.9）前向方差形式的粗糙Heston模型的核；参见示例2.11.4 AFI模型的高频限值。我们继续说明AFV模型是AFImodel的高频限值。

该限值与[16、17、7]中考虑的“几乎不稳定”HawkesProcess的限值密切相关，参见下面的示例4.4。4.1第一个收敛结果起点是AFI模型（3.1a）。我们假设买入/卖出订单大小分布ζ在某种意义上是标准化的，即zxζ` pdxq `zxζ'pdxq“1，（4.1），我们用P表示：“zxζ` pdxq P r0，1s（4.2）买入订单相对于卖出订单的方差。我们引入了一个小参数 并重新缩放（3.1）asdXt“'λt'mXdt'dJ,`t'dJ,\'t，（4.3a）dξtpT q“κpT'tq'γ'drJ,`t`γ'drJ,\'t\'，（4.3b），其中J,是纯跳半鞅，独立于它们的公共强度λt“ξtptq和跳跃高度分布ζpdxq“ζpdx{？q、 此外，核被标为κpxq“κpxq。因此，作为 'O0，跳跃频率与1成比例增加{, 而跳跃的大小与成比例缩小？. （4.3）的初始条件由X给出“x和ξpT q“ξpT q.在给定标度下，（3.3）及以下的量转化为ψpuq“ψp？uqm公司X“ψ\'p？q′ψ'p'？qm公司“?m我们是作家pu，wq“ψ``u`wγ``ψu''wγ''''umX'w'γ'm`` γ'm'.lem 4.1。给定γa0和跳跃高度分布ζpdxq，定义ca0和ρP r'1，1s byc“bpγ`` p1'pqγ'ρ”c'Pγ'p1'pqγ'。（4.4）然后~N0Rpu，wq“pu'uq'cρuw'cw”RVpu，cwqwith RVpu，wq如（2.10）所示。此外，关于u和w的偏导数也收敛，即lim~N0BR公司Bupu，wq“BRVBupu，cwq”u'\'cρwlim~N0BR公司Bwpu，wq“BRVBwpu，cwq”cw`ρu.证明。

我们可以写pu，wq“zb`二甲苯；u、 wqζ\'pdxq\'zb'px；u、 wqζ'pdxq（4.5），其中Bpx，u，wq“'upe”？x'1q'wγ？x `` exp'pu'wγq？x''1。在权力上扩张？x yieldsbpx、u、wq“x^pu'uquwγ` wpγq˙` Op3{2xq。因此，使用（4.1）和（4.2），它遵循thatlim~N0Rpu，wq“pu'uq'uwppγ'p1'pqγ'q'w'pγ'p1'pqγ''p1'pqγ'p1'pqγ'pq''pxq''8”“pu'uq'cρuw'cw”RVpu，cwq，其中交换极限和积分由支配收敛和可积性条件sexζpdxq'8来证明偏导数的收敛性，我们在（4.5）中取布普，wq“zBb`Bupx；u、 wqζ\'pdxq\'zBb\'Bupx；u、 wqζ'pdxq。自R起是凸的，其微分商单调收敛，单调收敛可用于交换导数和积分。扩展BBBupx；u、 wq的幂？x、 直接计算得出所需的极限。BBW导数的上限类似。备注4.2。方程（4.4）给出了关于平均参数ρ与微观结构参数p（有序尺寸不对称）和γ（自激不对称）之间关系的重要见解。首先考虑[6]中对称的订单大小分布p”的情况。在这种情况下，ρ“γ`'γ'b2pγ`'γ'q仅取p'{2，{2q'p'0.71，0.71q内的值，边界在极限情况γ'8中指定。如果也允许订单大小不对称，则ρ可以表示为单位长度向量ρ`'p，1'p'''γ'p'c'γ'1的标量积p'p{c˙，它证实了ρP'1，1q。此外，当向量方向相反时，即当P~n0和P~n1时，可以得到边界情况ρ“1。将引理4.1与定理2.6和3.1相结合，得到第一个分布收敛结果。prop 4.3。让pX, ξq是重新缩放的AFI模型（4.3）。将c、ρ定义为4.1，并设置κVpxq“cκpxq”。

那么，对于任何tě0，Xt型其中pX，ξq是具有相关参数ρ的前向方差模型，核κV证明。根据定理3.1，gX的CGF（2.6）中的pt、uq是广义卷积Riccati方程（3.4）的唯一全局解，因此满足g级pt，uq“R\'u，κ< g级pt，uq‘”R\'u，κè`g级pt，uq‘。（4.7）注意Rpu，wq在所有变量中是联合连续的，并且通过引理4.1收敛到RVpu，cwq为 ~N 0. 根据推论A.7，方程（4.7）可以转换为（A.6）型非线性Volterra方程，其解共同依赖于pt连续，, uq依据【13，第13.1.1条】。我们的结论是g级pt，uq一致收敛于紧致中的pt，uq，到gpt，uq as 其中gpt，uq是pt的唯一解（参见定理2.6），uq“RV'u，cκègpt，uq“RV'u，κVègpt，uq”。利用定理2.6和3.1，我们得出结论E“euXti“exp^uX `ztgpt’s，uqξpsqds˙exp^uX ` tgpt'，uqξpsqds˙“E”euXt‰，如 |0，即X的矩母函数t收敛到Xton u P r0，1s的动量母函数。根据[4，Prob.30.4]，矩母函数在（非空）区间上的收敛意味着（4.6）中分布的收敛。以下示例显示，（4.3）中的缩放与[7]中霍克斯模型的“近不稳定”极限有关。例4.4（二元Hawkes过程的几乎不稳定极限）。我们继续以3.2为例，考虑[7]中的二元Hawkes过程和MittagLe-Flonger核（3.8）。引入一个小参数 并将内核缩放为pxq“xα\'1Eα，αp\'pλ\'rγqxαq。就其拉普拉斯变换而言，该标度变为pДpzq“1{ppzα`λq ` rγq。特别是，我们有rγzpxqdx“rγpДp0q”rγλ\'rγИ1，即as 尼0霍克斯过程的稳定性条件接近临界值1（因此“几乎不稳定”）。

从（2.13）中，预解核κ的拉普拉斯变换pxq可测定aspκpzq“pД”pzq1'pДpzq“1{zα`λ，因此预解核由κ给出pxq“xα'1Eα，αp'λxαq“κpxq。结合跳跃大小的平方根标度，我们正好处于（4.3）的设置中，并从命题4.3中得出结论，X的（单变量）边缘分布收敛于相应AFV模型的边缘分布，即，Through Heston模型（参见示例2.11）。下面的定理4.10将这一结果加强到全维边际分布的收敛性。4.2联合矩母函数在本小节中，我们推导了对数价格和远期方差的联合矩母函数以及X的有限维边际分布的结果。假设4.5。我们假设pX，ξq要么是AFV模型，要么是AFImodel，我们为相应的函数RVpu，wq或Rλpu，wq写Rpu，wqf。此外，对于任何u P p0，1q，我们用wpuq表示唯一根，其中rpu，wpuqq“0和wpuqa0。请注意，函数Rpu，wq已经在[18，Lem.3.2 ff]中的一个有效随机波动率模型中进行了研究. 特别是，我们注意到，rpu、wq和wpuq是u P r0、1s、wd0的凸函数，并且在其域的内部是连续可微的。第4.6条。设pX、ξq为AFV或AFI模型，并按假设4.5定义Rpu、wq和wpuq。允许 a0，T“T`, 设h是r0上的分段连续Rd0值函数，s、 这样，wpuqasκp'sqhpsqds。exp<<uXT'TThpT'sqξTpsqds'Ft ff'exp'uXT'TtgpT'，u，hqξTpsqds'，（4.8），其中gp，u，hq:Rě0dRd0是（广义）卷积Riccati方程gpt，u，hq“R'u，tκpt'sqgps，u，hqds'，t P R的唯一连续解, 8q（4.9），初始条件GPT，u，hq“hptq，t P r0，q、 （4.10）备注4.7。