仿射前向方差模型

注意，关节力矩生成函数的表达式（4.8）与[1]的指数变换公式（4.6）不对应。具体而言，（4.8）中的h常数将给出XT的联合力矩生成函数和远期方差swapsTTξTpsqds。相反，文献[1]中（4.6）中的fconstant将给出Xt和二次变差sTVsds的联合力矩生成函数。证据初始条件为（4.10）的（4.9）的唯一Rd0值解的存在性源于推论a.8与Hupwq“Rpu，wq的应用。在定理2.6和定理3.1的证明中，我们已经确定了Hus满足应用推论的必要条件。接下来，我们定义了t“sTtgpT\'s，u，hqξtpsqds，并专门研究远期方差情况。通过引理2.12，它认为dgt“'gpT't，u，hqVtdt''Ttκpr'tqgpT'r，u，hqdr'avtdwt和这是r0上的局部鞅，T s ifgpT'T，u，hq“R'u，zTtκpr'tqgpT'R，u，hqdr'。设置τ“T'T P R, 这正是（4.9）。我们得出结论，M这是r0，T s上的一个局部鞅，重复下面（2.24）的论点，甚至是一个真鞅。使用初始条件（4.10），我们观察到E<<expuXTzTThpTsqξTpsqds,Ft ffi“E”MTˇˇFt‰“Mt”expuXtzTtgpT，u，hqξtpsqds,，显示（2.6）. AFI情况下的证明类似于以下修改：wt必须由纯跳跃鞅JXtand vtby强度λt'代替。跳过程的It^o公式可以应用于定理3.1的证明中。第4.8号提案。设pX、ξq为AFV或AFI模型，并按假设4.5定义Rpu、wq和wpuq。让tdtd¨¨tn“t and u”pu，…，un'1q Pp0，1qnbe使wpuqdwpuq¨wpun'1q。然后，对于所有k Pt0。

，n'1u，E“exp'ukpXtk'1'Xtkq'¨'''''un''1XTN'1q''''Ftk'''exp'TTKGKT'，uqξtkpsqds'''，（4.11），其中函数gk通过反向递归定义为具有初始条件的反褶积Riccati方程Gkt，uq“R'uk，tκpt'sqgkps'，t P rT'TK1，t'tkq（4.12）的解KPT，uq“gk`1pt，uq，t P r0，t'tk`1q。（4.13）备注4.9。注意，对于k“n'1，方程（4.12）变成了（广义的）卷积Riccati方程，没有初始条件，（4.13）变成了无效的（即空集上的条件）。证明。我们通过对k的反向归纳得出结果：对于k“n'1，当pX，ξq是AFV模型时，该比例等价于定理2.6，当pX，ξq是AFI模型时，该比例等价于定理3.1。设置k： “T'tk，我们从推论A.8中的（A.15）中获得，即n′1κpn'1'sqgn'1ps，uqds。（4.14）对于归纳步骤，假设（4.11）已针对某个k显示，且（4.14）保持不变，n'1被k替代。编写Zk'1：“exp'uk'1pXtk'Xtk'1q'¨'''''unpXT'Xtn'1q''并应用条件期望的塔式法则，我们有“Zk'1'Ftk''1‰“E”exp uk 1pXtk''''''''''''''''''''''''“E<<exp<<uk>>1pXtk>>Xtk>>1qzTtkgkpT>>，uqξtkpsqds,ˇˇFtk>>1 fff.自puk>>1qdwpukqazkκpk'sqgkps，uqdswe可将提案4.6应用于k在初始条件（4.13）下，用gk'1as溶液（4.12）获得（4.11）。最后，（4.14）保持不变，使用推论A.8.4.3第4.10条有限维边际分布的收敛性的估计值（A.15），用k'1替换n'1。让pX, ξq为重新缩放的AFI模型（4.3），将c、ρ定义为4.1，并设置κVpxq“cκpxq”。然后，对于任何n P n和0“tdtd¨tn”t，`Xt、 ，十、tn尼0'Y'Y'Y'Y尼pXt，Xtnqin分布，（4.15），其中pX，ξq是具有相关参数ρ和核κV的AFV模型。

引理4.1Rpu，wq收敛于RVpu，cwq，对于u和w的偏导数也是如此。因此，根据隐函数定理，wpuq和BBUWpuq汇聚到Wpuq和CWpuq as 尼0表示所有u P p0，1q。此外，由于w是u的凸函数，在紧集上的收敛是一致的（参见[20，Thm.10.8]）。limitcwpuqc可以明确计算，由cwpuq“c'ρu'aρu'pu'uq'给出。很容易看出，w在p0，uq上减少，在pu1q上增加，其中u：“#1'ρ'1'ρ，如果ρP p0，1qif'ρ'”1。我们得出结论，存在N和闭合区间I'，uq与非空旷的内部空间，使得uTh~nwpuq和uTh~nw所有人的puq在I上都在下降 d1{N.引入setD：“tu P In:uěu쨨¨un'1uAp0，1q，注意D也是闭合的，内部为非空。此外，wpuqdwpuqd¨¨wpun'1q代表所有u“pu，…，un'1q P D和 d1{N，对于w也是如此。从命题4.8我们得出结论，增量pX的联合动量母函数t'Xt、 X个t'Xt、 ，十、tn'Xtn'1FORMZ的合格中介机构puq：“E”exp'upXt'Xtq `¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨T'Xtn'1q'305'exp'Tg对于任何u P D和 d1{N，其中g用Rpu，wq“R满足迭代Riccati卷积方程（4.12）pu，wq。通过推论A.8，这些方程中的每一个都可以转化为非线性Volterra方程，其解连续依赖于p, t、 uq依据【13，第13.1.1条】。此外，引理4.1给出了收敛性Rpu、wq~nRVpu、cwq。因此，正如命题4.3的证明一样，我们得出结论：g级pt，uq收敛，一致forpt，uq在紧中，到gpt，uq as 其中gpt，uq是迭代Riccati卷积方程（4.12）的唯一解，Rpu，wq“RVpu，cwq。现在考虑增量spxt'Xt，Xt'Xt。

具有参数ρ和核κV“cκ的AFV模型的Xtn'Xtn'1q。收敛性g级pt、uq~ngpt、uq以及提案4.8 yieldsZpuq“expzTgpT'sqξpsqds,~nexpzTgpT’，uqξpsqds,“zpuqforall u P D.By[4，Thm.29.4和Prob.30.4]具有非空内部的集合上的动量母函数的收敛意味着收敛不分布，以及（4.15）跟随。A关于凸非线性Volterra方程的一些结果我们给出了关于凸非线性Volterra方程的一些结果，这类结果出现在定理2.6和3.1中。关于非线性，我们施加以下假设：假设A.1。函数H:p'8，wmaxs~nR是连续可微且凸的，在p'8，wmaxs中有唯一的根Hpwq“0。此外，Hpwqa0和Hpwmaxqa0。对于满足假设a.1的函数H，我们设置w“argminwPp'8，Wmaxsphwq；如果最小值不是唯一的（即，如果H有一个fl部分），则Ws应表示最左边的最小值。请注意“wmax，在这种情况下，H在p'8，wmaxs上严格递减；或owawmax，在这种情况下，H在p'8，wq上严格递减，在rw，wmaxs上增加。在任何情况下，wwdwmax都是正确的。此外，以下定义也很有用：定义A.2。设H为满足假设A.1的函数。H的递减包络线为定义灰：”\\Hpwq，wdwHpwq，w p rw，wmaxs。（A.1）很明显，H也满足假设A.1，但除此之外，H还在下降，满足HdH。图1中说明了假设A.1和定义A.2。wwmax=w0w*H1（w）wwmaxw0w*H2（w）H2（w）图1：两个凸函数H的图解，H满足假设A.1。当His单调递减时，His not及其递减包络His也出现了。lem A.3。设H:p'8，wmaxs尼R是满足假设a.1的凸函数；尤其是它的根Hpwq“0。

然后（a）对于任何a P pw，wmaxs函数wTh~nQpw，aq“'awdζHpζq，（A.2）将pw映射到r0，8q上；严格递减，并具有逆q'1pr，aq，将r0，8q映射到pw，as。（b）对于任何A P'8，wq，函数w'Qpw，aq“wadζHpζq，（A.3）将ra，wq映射到r0，8q上；严格递增，并具有逆q'1pr，aq，将r0，8q映射到r0，8q上q至ra，wq。备注A.4。类似于（A.2），我们用Qthe function wTh~nQpw表示，aq“'zawdζHpζq，（A.4），其中H是H.Proof的递减包络。为了显示（A），请注意被积函数'1{Hpζq在pw，aq上严格为正。因此，Qp，aq严格递减，并将pw映射为r0，8q。仍然需要显示该映射的范围涵盖了所有r0，8q。为此，通过凸性，我们可以观察到，对于所有的wp'8，wMaxhPwq，我们有hpwqHpwqpwwwq S，（A.5）和Hpwqa0。因此，我们获得了limw'OwQpw，aq“'awdζHpζq'Hpwqawdζ'w”8.对（b）的证明是类似的；只需考虑p'8上H的不同符号，wq。thm A.5.让κ是定义2.2意义上的L核，让H是满足假设A.1的凸函数；特别是Hpwq“0是其在p'8中的唯一根，wmaxs。对于任何连续函数a:Rě0尼p'8，wmaxs考虑非线性Volterra方程fptq”aptq'tκpt'sqhpfpsqds，t p Rě0。

（A.6）（A）如果A随pw值的增加而增加，则ws（A.6）具有唯一的全局解f，该解满足（A.2）给出的rptq“Q'1'tκpsqds，ap0q'和Qis。（b）如果A随值减少，则f“w”是（A.6）（c）的唯一全局解在第8页，wq then（A.6）有一个独特的全局解决方案f，该解决方案能够满足PTQafptqdrptqaw，@ta0，（A.8）其中rptq“Q'1'tκpsqds，ap0q'和（A.3）中给出的Qis。此外，情况（A）可以扩展到以下更一般的陈述：（A’）如果A随pw中的值增加，wmaxs则（A.6）具有唯一的全局解决方案f，该解决方案满足rptq'fptq'aptq，@t'0，（A.9），其中rptq“Q'1'tκPSQD、ap0q和QI由（A.4）给出.备注A.6。清晰地如果H是递减的（因此w为“wmax”），则情况（a）和（a’）是一致的。在一般情况下（a）给出的f的边界比（a’）更好，但对函数a的假设更具限制性。在证明该定理之前，我们添加了两个推论，它们用于定理2.6、3.1和4.10.cor a.7的顶部。在定理a.5的假设下，考虑非线性积分方程gptq“H^aptq'tκpt'sqgpsqds'，t P Rě0。（A.10）（A）如果A随pw中的值增加，则ws（A.10）具有唯一的全局解决方案g，该解决方案满足eshpaptq'gptq'Hprptqq'0，@ta0。（A.11）（b）如果“w那么g”0是（A.10）的唯一全局解决方案。（c） 如果a随p'8、wq中的值而减小，则（a.10）具有唯一的全局解决方案g，其满足0agptqdHprptqqaHpaptqq，@ta0。（A.12）此外，案例（A）可以扩展到：（A’）如果A随pw中的值增加，那么wmaxs（A.10）具有唯一的全局解决方案g，满足GPTQa0，@ta0。（A.13）在上述任何情况下，gptq“Hpf ptqq，其中f是（A.6）cor A.8的解。让定理A.5的假设与wmax“0”保持一致。

允许 设h是r0的分段连续函数，q至Rd0。考虑非线性积分方程gptq“H^ztκpt'sqgpsqds˙，t P r, 8q，（A.14），初始条件为GPTQ“hptq，t P r0，q、 如果wasκp 那么，sqhpsqds（A.14）有一个独特的全局解决方案g，在Rd0中取值，它满足所有tě0的tκPzsqgpsqds。（A.15）我们从定理A.5的证明开始，它紧跟着[3，Sec.II.7]中Lakshmikantham的比较方法。定理A.5的证明。显然，H可以扩展为所有R上的连续函数，因此从[13，Thm.12.1.1]可以看出，（a.6）在区间r0，Tmaxq和Tmaxa0上有一个局部连续解f。此外，tmax可以选择为最大值，因为在r0、Tmaxq之外，解决方案无法继续。案例（a）：假设a在增加，取pw，ws中的值。设置T：“inf tt P p0，Tmaxq:f ptq“w或f ptq”apTmaxqu（A.16），并注意T0。从（A.6）中可以清楚地看出，fptq“aptq'Tκpt'sqHpfpsqqds\\259aptqdapTmaxq，@T P r0，Tq，（A.17），即（A.16）中的下限w总是在上限apTmaxq之前。此外，使用该内核，我们得到fptq“aptq ` tκpt'sqhpfpsqdsdapT q'tκpt'sqhpfpsqds：”所有0dtdtdt的vpt，t q（A.18）。我们刚刚定义的函数vpt，t q满足了vpt，tq“f ptq（A.19）vp0，t q”aptqěap0q（A.20）和不同的不等式bbtvpt，t“t”tqHpfptqqěκpt'tqHpvpt，t qq。（A.21）在这里，我们使用了（A.18）事实上，H在pw，ws上减少。与初始估计（A.20）以及微分不等式的标准比较原则（参见[22，II.§9]）yieldsvpt，T qěrpt，T q，（A.22），其中bbtrpt，T q“κpT'tqHprpt，T qq，rp0，T q”ap0q。（A.23）我们声称微分方程（A.23）通过pT，T q“q'1^TκpT'sqds，ap0q'来求解。

（A.24）实际上，应用Qp。，ap0qq到（A.24）的两侧产生ztκpT'sqds“Qprpt，t q，ap0qq”'ap0qrpt，t qdζHpζq。利用BBT-导数，我们得到了κpT'tq”Hprpt，t qqBBtrpt，t q，这相当于（A.23）。从（A.18），（A.19）和（A.22）中，我们得到了边界rptq：“limtrpt，t qdtvpt，t q”f ptq（A.25对于所有t P r0，tq。这意味着limT~ntfptqěrpTqaw，（A.26）根据（A.16），这意味着T“Tmax，即我们已经显示了所有T P r0，Tmaxq的边界（A.7）。然而，根据[13，Thm.12.1.1]limt~nTmax | fptq |”8，每当Tmaxa8。我们得出结论，Tmax“8”，因此f是（A.6）的全局解。唯一性来自[13，Thm.13.1.2]。案例（b）：假设为“w”。由于Hpwq“0”，fptq“w显然是（a.6）的全球解决方案。唯一性源自【13，第13.1.2条】。案例（c）：根据假设，a是递减的，取p'8，ws中的值。这种情况可以类似于案例（a）进行处理，并进行以下调整：方程式（a.17）–（a.22）中的低质量符号必须颠倒。在（A.24）中，q必须被Qand代替，在（A.25）和（A.26）中，不等式必须颠倒。案例（a’）：案例（a）的证明适用，但以下修改除外：（a.21）仅在vpt，T qdw时适用，因为H仅在p'8，ws上减少。然而，当vpt，T qaw时，我们可以使用平凡的估计BBTvpt，T q“κpT'tqHpfptqqěκpT'tqHpwq，可与（A.21）intobttvpt，T q“κpT'tqHpfptqqěκpT'tqHpvpt，T qq组合，其中H是H从定义A.2开始的递减包络。情况（A）的剩余证明在用H和q替换H后适用。推论A.7的证明。设f为（A.6）的全局解。将H应用于（A.6）的两侧，我们可以看到gptq：“Hpf ptqq是（a.10）的全局解决方案。接下来，我们展示其唯一性。

为此，假设Rg是r0，T q上（a.10）的局部解，与g和definerfptq不同：“aptq ` tκpt'sqrgpsqds。很明显，r0、t q和hencerf上的rgptq”Hprfptqq是（a.6）的局部解。根据[13，Thm.13.1.2]，该解是唯一的，我们得出结论，rf“f”，因此也是“g”。最后，将H（在p\'8、ws上递减）应用到它们的质量（a.7）和（a.8）产量（a.11）和（a.12）。如果（a’）H的单调性丢失，但所有w P pw的Hpwqa0，wmaxs产生（A.13）。推论A.8的证明。Setaptq：“zκpt ` 'sqhpsqdsand注意a随pw，0s中的值而增加。考虑非线性沃尔特拉方程fptq“aptq ` tκpt ` sqhpfpsqds，（A.27），其具有定理A.5（A）或（A\'）的唯一全局解f。对于tP Rě0setgptq“#Hpfpt'”qq，tP r, 8qhptq tP r0，q、 对于tě 我们有GPTQ“Hpfpt”qq“Hzκpt'sqhpsqds'tκpt'sqgpsqds''H'tκpt'sqgpsqds'，表明g是（a.14）的全局解。从定理a.5的（a）或（a’）情况中，我们得到了边界wf pt'q“ztκpt'sqgpsqds，如所述。为了显示唯一性，假设rg是（a.14）的解，与g不同。设置rfptq：“aptq'tκpt'sqrgps`q我们看到Rf是（a.27）的一个解，并从定理a.5得出结论，Rf“fand因此也是rg”g.B定理2.6，在ρa0的情况下，我们提供定理2.6证明的剩余部分。我们的起点是二次方程（2.26），这是在没有任何ρ符号假设的情况下得到的。在ρa0的情况下，需要额外的论证，因为该方程可能有两个负解。定理2.6，ρa0情况下的“仅当”部分。关于集S“tpt，ωq:Vtpωq‰0uwe setktpτ，ωq”Vtpωqηtpt′τ，ωq，对于τ0。请注意，根据假设2.1τTh~nktpτ，ωq必须是a.e.pt，ωq的递减核。

由于（2.8）在S是dt b dP null集的情况下适用性很小，因此我们可以在不丧失一般性的情况下，假设S不是null集，并在其余的证明中只考虑ypt，ωq P S。插入（2.20）yieldshtpt`τ，uq“aVtzτgpτ，uqktpsqds”aVtèpgèkqtpτ，uq。插入（2.26）并消除vgivespu'uq'gpτ，uq'uρpgèkqtpτ，uq”0，（B.1）是变量pgèkqtpτ，uq中的二次方程，具有两个解q'pτ，uq'ρu'aup\'1q\'u\'2gpτ，uq，（B.2）两者都可能为负。但是，使用gp，τq和求值的连续性（B.1）在τ'O0时产生gp0，uq“pu'uq。插入（B.2）并使用pg媫kqtp0，uq“0，这首先选择了解决方案q'，并显示了对于所有τp r0，Tpuqq，pg媫kqtpτ，uq“q'pτ，uq，uq，其中Tpuq是q'和q'的第一次碰撞时间，即Tpuq：“inf”τ0：gp'，uq“pu uq'uρ*。在间隔r0，Tpuqq上，我们可以按照ρd0的情况进行，并得到ηtpt′τq“aVtktpτq”aVtBBτ^zτq ` pτs，uqπpds，uq˙，τp r0，Tpuqq（B.3），其中π是第一类gpτ，uq的预解。因此，为了完成证明Tpuq可以通过选择合适的u p p0，1q而变得任意大，请注意（B.1）是gp，uq与核ktp的卷积Riccati方程。.q，即gpτ，uq“RVpu，pgèkqtpτ，uqq。应用引理2.13，我们得到了gp，uq是其唯一的连续解，根据推论A.7，它可以写成gpτ，uq”RVpu，fpτ，uqq，其中fpτ，uq求解fpτ，uq“zτktpτsqpu，fps，uqds。（B.4）此外，碰撞时间可以用f asTpuq表示：“inf tta0：f pt，uq”'ρuu。（B.5）通过凸性，我们可以从下面估算RVpu，wq为RVpu，wqěwρ\'pu\'uq。因此，从（B.4）中，我们得到了估算值fpτ，uqěρpktèfqpτ，uq ` pu'uq。