仿射前向方差模型

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英文标题：
《Affine forward variance models》
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作者：
Jim Gatheral and Martin Keller-Ressel
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We introduce the class of affine forward variance (AFV) models of which both the conventional Heston model and the rough Heston model are special cases. We show that AFV models can be characterized by the affine form of their cumulant generating function, which can be obtained as solution of a convolution Riccati equation. We further introduce the class of affine forward order flow intensity (AFI) models, which are structurally similar to AFV models, but driven by jump processes, and which include Hawkes-type models. We show that the cumulant generating function of an AFI model satisfies a generalized convolution Riccati equation and that a high-frequency limit of AFI models converges in distribution to the AFV model.
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中文摘要：
我们介绍了一类仿射前向方差（AFV）模型，其中常规Heston模型和粗糙Heston模型都是这类模型的特例。我们证明，AFV模型可以用其累积量母函数的仿射形式来表征，其可以作为卷积Riccati方程的解来获得。我们进一步介绍了一类仿射前序流强度（AFI）模型，其结构类似于AFV模型，但由跳跃过程驱动，包括Hawkes型模型。我们证明了AFI模型的累积量母函数满足广义卷积Riccati方程，并且AFI模型的高频极限在分布上收敛于AFV模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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关键词：Mathematical Differential Applications Conventional Quantitative

一个有效的远期方差模型jim Gatheral，纽约大学巴鲁克学院，jim。gatheral@baruch.cuny.edu，马丁·凯勒·雷塞尔，杜德累斯顿，马丁。凯勒-Ressel@tu-德累斯顿。2018年10月31日摘要我们介绍了一类有效的前向方差（AFV）模型，其中传统的赫斯顿模型和粗糙的赫斯顿模型都是特例。我们表明，AFV模型可以用其累积量母函数的一种形式来表征，它可以通过卷积Riccati方程的解来获得。我们进一步介绍了一类正向序流强度（AFI）模型，其结构类似于AFV模型，但受跳跃过程驱动，其中包括霍克斯型模型。我们表明，AFI模型的累积量母函数满足广义卷积Riccati方程，并且AFI模型的高频极限分布收敛于AFV模型。MKR感谢DFG对ZUK 64和KE 1736/1-1的财政支持。我们感谢Masaaki Fukasawa和两位匿名裁判的深刻评论。1简介【5】中介绍的一类过程由所有连续时间马尔可夫过程组成，其值以Rmě0^Rn表示，其对数特征函数在某种程度上取决于过程的初始状态向量。事实证明，流程对于财务建模特别方便，通常会使用易于处理的金融债权价值公式建立模型；长期流行的赫斯顿模型只是这种模型的一个（也许是最著名的）例子。在本文中，我们介绍了一类AFV模型，其中经典的马尔可夫随机波动率模型是一种特例。

通过将我们的模型写成前向方差形式，我们能够提供一类更广泛的随机波动率模型的独特特征，其中包括非马尔可夫模型，如[7]中的粗糙赫斯顿模型，或更一般地说，由[1]意义上的a ffenvolterra过程驱动的随机波动率模型。我们的贡献是为（非马尔可夫）随机波动率模型提供必要和充分的条件，从而为[1]的结果增加一个相反的方向，并使其更简单。本质上，粗糙的赫斯顿模型是唯一具有一个矩母函数的随机波动率模型，这取决于内核的选择。受原始推导的粗糙赫斯顿模型（作为序流简单纯跳跃模型的一个限制）的启发，我们进一步介绍了一类正向序流强度（AFI）模型。这些模型在结构上类似于正向方差模型，并通过允许任意的订单大小分布和订单流量自激的更普遍的衰减，推广了[7]的简单订单流量模型。我们定义了一个高频限值，在该限值中，此类模型会产生连续的正向方差模型。在sodoing中，我们推广和简化了以前的此类推导。此外，我们证明的AFV和AFI模型的结果之间存在着明显的结构相似性，这为订单流微观结构模型和随机波动性模型之间的联系增加了见解，并对其进行了推广，这些模型在【16】和【17】中首次被揭示。我们的论文进行如下。在第2节中，我们介绍了一类前向方差模型，并表明前向方差模型具有一个必要的生成函数（CGF），当且仅当它可以以非常特殊的形式编写时。

我们进一步证明，CGF可以作为卷积Riccati方程的唯一全局解，该方程与[1]的VolterraRiccati方程密切相关。在第3节中，我们介绍了一类AFI模型，表明此类模型的CGF求解了一个广义卷积Riccative方程。在第4节中，我们展示了AFI模型在高频限制下成为AFV模型，在高频限制下，订单到达非常频繁，订单量非常小。2 A ffne向前方差模型2.1向前方差模型设置概率空间pOhm, F，Pq具有右连续过滤pFtqtě0，并给出了两个独立的、自适应的布朗运动W和wk。仅由W生成的过滤用pFWtqtě0表示。我们的出发点是一个广义到短期波动率模型pS，V q，其中即期波动率V由一个FWadapted连续可积，非负过程和价格过程由DST“StaVt'ρdWt'a1'ρdWKt'，（2.1）其中一些简化是由于我们将自己限制在（实值）矩母函数，而不是（复数）特征函数，这在[7]中进行了研究对于某些相关参数ρP r'1，1s。关键的是，我们不认为v是一个Ito过程，甚至不是一个半鞅。相反我们关注前向方差过程ξtpT q的族（以Ta0为索引）：“E rVT | Fts“E”VT | FWt‰，（2.2），通过定义，它们是具有终值ξtpT q”VT的FW适应鞅。根据鞅表示定理，对于每个Ta0，存在一个具有sTηspT qdsa8 a.s的可预测过程ηtpT q，例如dξtpT q“ηtpT qdt qdt，T rqdwt 0，T s.（2.3）我们参考（2.1）与（2.3）一起作为前向方差形式的随机波动率模型，或简单地作为前向方差模型。

使用对数价格X“log S”而不是S通常很方便，我们注意到，从（2.1）中可以看出，X满足SDEdXt“Vtdt\'aVt\'ρdWt\'a1\'ρdWKt”。（2.4）我们还将X和过程族pξ。pT qqTa0称为前向方差模型，并用pX，ξq表示。此外，我们使用以下约定：对于tat，定义ξtpT q：“vttηtpT q：“0.这与（2.2）一致，并允许将（2.3）扩展到所有tě0。最后，我们对被积函数η引入以下假设。pT q：假设2.1。（a）对于dtbdP几乎所有pT，ωq，它认为τThИηtpt′τ，ωqis在p0，8q上非负，递减和连续。（b）对于任何ta0，可积条件ztztηrpsqdr 1{2dsa8（2.5）几乎可以肯定。我们将展示在一类有效的前向方差模型中，被积函数ηtpT q必须作为ηtpT q？VtκpT'tq因子，其中κ是一个确定性函数。为了描述容许函数，我们引入以下定义：定义2.2。对于1dpa8，Lp核是一个函数κ：Rě0ěRě0，它在p0、8q上连续，并且满足所有Ta0的κTκptqpdta8。备注2.3。（a）如果ηtpT q作为ηtpT q因子“ZtκpT'tq转化为非负连续随机过程Z和确定性函数κ，则假设2.1相当于κ是定义2.2意义上的递减L-核。（b）乘以（2.1）S是非负局部鞅，因此是超鞅，因此E rSts”E“eXt‰S.这意味着Jensen的不平等性表明，所有u P r0，1s的矩都是有限的；这一事实将被后续使用。2.2一个明确的前向方差模型的特征定义2.4。

我们说，前向方差模型pX，ξq有一个由gpt，uq，如果其条件累积生成函数的形式为log E“eupXT\'XtqˇFti”TtgpT\'s，uqξtpsqds，（2.6），对于所有u P r0、1s、0dtdt，其中gp，uq是Rd0值且在r0上连续的，对于所有ta0和u P r0，t s。备注2.5。或者，我们可以考虑（2.6）用虚参数u“iz”表示z P R，即一个有效的对数特征函数如【7】所示. 这对将傅立叶定价应用于模型pX，ξq特别有兴趣。为了显示分布收敛的结果（这将是第4节的主题），使用累积量生成函数是很有效的，而且限制到实参数会简化许多数学参数。卷积积分，如（2.6）的指数，将经常出现在以下计算中，因此引入卷积运算pf媫gqptq是很自然的：“stfpt'sqgpsqds。对于具有多个参数或下标的函数，我们使用卷积作用于第一个参数（不包括下标）的约定。其他参数或下标传递给结果。使用此约定（2.6）可简明扼要地写成“eupXT'XtqˇFti”exp'pgèqtpT，uq”。（2.7）以下结果给出了具有有效CGF的所有正向方差模型的特征。其证明见第2.4节，其中一些部分归为附录B.thm 2.6。在假设2.1正向方差模型pX下，ξq具有有效neCGF当且仅当ηtpT q“aVtκpT'tq，（2.8）对于确定性的、递减的L-核κ。此外，gp。，uq:Rě0d0in（2.6）是卷积Riccati方程gpt，uq“RV'u，ztκpt'sqgps，uqds“RV'u，pκ'gqpt，uq'，tě0（2.9）的唯一全局连续解，其中rvpu，wq“pu'uq'ρuw'w.（2.10）备注2.7。

或者，gpt、uq可以写为gpt，uq“RVpu，fpt，uqq，其中f pt，uq是非线性Volterra方程fpt，uq“ztκpt'sqRVpu，fps，uqqds的唯一全局连续解。（2.11）有关非线性Volterra方程的进一步讨论以及方程（2.9）和（2.11）的等效性，请参见附录A.我们引入了γ预解核的有用概念：lem 2.8。设1dpa8，k为Lp核。那么对于任何γě0，都存在唯一的Lp核r，因此，r'κ“γpκèrq。（2.12）如果logκ是凸的，那么该断言也适用于γa0。我们称r为κ证明的γ预解式。如果γ“0”，则表明r'κ和引理变得微不足道。在所有其他情况下，'γr是'γκ的所谓的第二类预解式（见[13]），并且r的性质直接遵循Thm。2.3.1（存在性和唯一性），Thm。2.3.5（局部Lp可积性），属性。9.5.7（连续性），支柱。9.8.1（γě0q的正性）和9.8.8（γa0的对数凸性下的正性）；allin【13】。在进行拉普拉斯变换时，spκ，prκ，r，预解方程（2.12）变成了r'pκ'γppκ¨prq，（2.13），可用于从给定κ显式确定r。备注2.9（与一个有效Volterra过程的关系）。请注意，AFV模型的瞬时方差过程Vt“ξtptq”可以写成Vt“ξptq'tκpt'sqaVsdWs，（2.14），这表明V在[1]的意义上是一个有效Volterra过程. 我们强调，表示（2.14）不是唯一的。实际上，设λa0和Д为κ的λ-预解式。然后，使用例如[1，Lem.2.5]，因此，vt“ξptq'λztИpt'sqVsds'tzpt'sqaVsdWs，（2.15）具有ξ”ξ'pД'ξq，并出现均值回复漂移项。相反，如果给出了形式（2.15）的过程，并且如果Д具有p'λq-预解式κ，则前向方差的形式为ξtpT q“E rVT'Fts”ξpt q'tκpt sqavsdsdsds bs，含ξ“～ξ'λpκ媫ξq，cf。

[1，Lem.2.5]。2.3两个示例：Heston和rough Heston模型示例2.10（Heston模型）。Heston模型【15】由DST“Statt'ρdWt'a1'ρdWKt'（2.16a）dVt'λpVt'θqdt'ζaVtdWt.（2.16b）给出。简单计算表明ξtpT q“E rVT'Fts”θ'1'E'λpT'tq'E'λpT'tqVt。因此，dξtpT q“ζE'λpT'tqavtdwt，因此，Heston模型可以作为一个具有核κpxq的有效前向方差模型编写“ζe'λx和初始前向方差ξpT q”θ\'1'e'λT'e'λTV”V'pθ'VqλTκpsqds。请注意，根据备注2.9，κ是常数核ζ的p'λ{ζq-预解。要获得通常形式下赫斯顿模型的Riccati ODEs（参见示例[18]），请将ψp.，uq设为C函数，使gpt，uq“bb TψpT，uq`λψpT，uq和ψp0，uq“0.通过部分积分，我们得到pκ媫gqpt，uq”ζzte'λpt'sqgps，uq”ζψpt，uq。插入到卷积Riccati方程（2.9）中，yieldsBBtψpt，uq“pu'uq'pζρu'λqψpt，uq'ψpt，uq，ψp0，uq”0，符合[18]。此外，很容易证明\'Vtψpt\'t，uq，带φpt，uq“λθstψps，uqds。”示例2.11（粗糙Heston模型）。在[7]中引入的粗糙Heston模型中，（2.16b）替换为vt“V′pαq′tpt′sqα′1λpθ′Vsqds′ζpαq′tpt′sqα′1aVsdWs（2.17），其中αp p1{2，1q与V路径的“粗糙度”相关。注意，这是一个有效的Volterra幂律核φpowptq“ζtα'1{pαq.In[8]的过程（2.15）结果表明，粗糙Heston模型中的正向方差满足ξtpT q“κpT'sqaVtdWt，核κpxq”ζxα'1Eα，αp'λxαqand其中Eα，βpxq表示广义Mittag-Le'er函数（参见[9]，[19，第1.2节]）。因此，粗糙Heston模型是定理2.6意义上的一个有效的正向方差模型。初始正向方差由（参见[8，第3.1节]）给出ξpT q“V`pθ'VqλzTκpsqds.以获得分数Riccati方程（参见[7，等式。

（24）]）对于粗糙Hestonmodel集ψpt，uq“ζpκ媫gqpt，uq”Γpαqztpt'sqα'1Eα，αp'λpt'sqqgps，uqds。由[7，Lem.A.2]ψpt，uq满足αψpt，uq'λψpt，uq“gps，uqdα表示α阶的黎曼-刘维尔分数导数。插入到卷积Riccati方程（2.9）中u'λqψpt，uq'ζψpt，uq，ψpt；0q“0，根据【7，等式（24）】. 用Iαf“Γpαqspt'sqα'1fpsqds thereimann Liouvilleα阶分数积分表示，并为常数值1的函数写1。可以将（2.6）中的指数转换为：φgp's，uqξpsqds“Vpg媫1q'pθ'Vqλpg'κ'1q”“Vppgλψq'θλpψ'1q”“VpDαψq'1'θλz.ψps，uq““VI1'αψ'θλz.ψps，uq，与[7，Eq（23）]相同。或者，可以检查拉普拉斯变换pφpowpzq”ζz'α和pκpzq”ζ{pzα'λq满足与γ'λ的关系（2.13）{ζ.2.4证明特征化结果为定理2.6的证明做准备，我们引入以下符号：给定一个从Rě0到R的连续函数族gp，uquPr0,1，我们设置gt“pgèξqtpT，uq”TtgpT\'s，uqξtpsqds，（2.18）Mt“exp puXt”Gtq。（2.19）如果pX，ξq有一个由gpt，uq确定的有效CGF，则它遵循（2.6）M是鞅。相反，如果M是鞅，则（2.6）遵循条件期望。因此，pX，ξq的a ffene性质可以用M的鞅性质来表征。为了将It^o\'s公式应用于M，我们将G表示为It^o过程。该计算类似于Heath-Jarrow-Morton模型中的漂移计算（参见[10，Ch.6]），并使用随机Fubini定理来交换随机积分和Lebesgue积分。lem 2.12。设G和M如（2.18），（2.19）所示，并设向前方差模型pX的假设2.1，ξq保持不变。

然后，G可以写在It^o过程形式asGt“zTgpT'，uqξpsqds'zTgpT'，uqVsds'thspT，uqdWs中，其中htpT，uq“pgèηqtpT'，uq”TtgpT'r，uqηtprqdr。（2.20）此外，M是一个It^o过程，可以分解为DMTMT“loc.mg”（2.21）`“pu'uqVt'gpT'，uqVt'u”ρaVthtpT，uq\'htpT，uq*dt.Proof.Fix ta0和u P r0，1s。紧跟着[10，P.94]，我们计算“zTtgpT\'s，uqξtpsqds”“zTtgpT\'s，uqξpsqds `zTtztgpT\'s，uqηrpsqdWrdsstoch.F ub。”“zTtgpT\'s，uqξpsqds ` tzTtgpT\'s，uqηrpsqds dWr”“ztgpT\'s，uqξpsqds ` tzTrgpT\'s，uqηrpsqds dWr''''''''''''''''PT\'s，uqξpsqds'tzTrgpT\'s，uqηrpsqds dWrstoch.F ub。”“zTgpT\'s，uqξpsqds\'tzTrgpT\'s，uqηrpsqds dWr''''zTgpT\'s，uq^ξpsqds\'sηrpsqdWr˙looooooooooooooooooooooooooooooon”VSD。为了证明以[21，Thm.2.2]的形式应用随机富比尼定理，我们必须检查whetherIt：“zTtzTgpT\'s，uqη”rpsqdr˙1{2所有t P r0，t s的定义。由于gp，uq是连续的，因此有一个有限常数puq：“suptPr0，T s | gpt，uq |。使用假设2.1，我们发现，对于所有T P r0，T s，ItdgpuqzTzTηrpsqdr,1{2dsa8，我们有理由应用随机富比尼定理。为了说明（2.21），我们将It^o公式应用于Mt”exp puXt ` gtq，并使用（2.1）和（2.3）得出T\'udrX，Xst\'u drX，Gst\'drG，Gst“（2.22）”loc.mg``“pu'uqVt'gpT't，uqVt'uρaVthtpT，uq'htpT，uq*dt，如所声称的。lem 2.13。设κ为递减L-核。然后，对于任何u P r0，1s，卷积Riccati方程（2.9）具有唯一的全局连续Rd0值解gp，uq。此外，gpT，uq”RVpu，fpt，uqq，其中fp，uq是（2.11）的唯一全局连续解。证明。修复u P p0，1q并设置Hupwq“RVpu，wq，RVpu由（2.10）给出。