有效风险估计的多级嵌套模拟

这是一个伽马为负的三角洲对冲投资组合模型，在极端情况下，发生巨大损失的可能性非常低。问题设置。定义，对于τ1，P（y，z）：=-τ1/2y+（1-τ）1/2z= -τy- 2τ1/2(1-τ）1/2yz- (1-τ） z，我们将计算以下（3.1）η=EhHEhP（eY，Z）i- E[P（Y，Z）| Y]- Lηi、 其中EY、Y和Z是独立的标准正态随机变量，Lη是常数。在金融应用中，η对应于短期风险期τ内投资组合损失超过给定损失水平Lη的概率，投资组合损失定义为当前和未来风险中性投资组合预期之间的差异。或者，我们稍后将指定η 1，并使用关系式（3.1）确定相应的损耗水平Lη。注意，只有（3.1）中的第二个内部期望是以外部随机变量Y的样本为条件的。当近似给定Y的内部期望值时，我们可以使用E[P（eY，Z）]=-1并设置X：=-1.-P（Y，Z）-Lη。然而，方差为Var【X | Y】=4τ（1-τ） Y+2（1-τ） =O（1）。我们还可以使用Z的独立样本来计算hp（eY，Z）和E[P（Y，Z）| Y]，设置X：=P（eY，eZ）-P（Y，Z）-Lη表示独立标准正态变量Z、eZ和y。然后，方差为Var[X | Y]=2（1-τ)+4τ (1-τ） Y+2=O（1）。相反，我们在估计两个内部期望时使用相同的Z样本。此外，为了增加方差减少，我们还使用了一个相反的控制变量，基于EY是相同分布的事实-eY。总之，我们为agiven Y设置，（3.2）X：=P（eY，Z）+P(-eY，Z）- P（Y，Z）- Lη=τ（Y-eY）+2τ1/2（1- τ） 1/2 Y Z- Lη。风险估计的多级嵌套模拟17这里，eY和Z也是独立的标准正态随机变量。

这种情况下的方差减小为σ=Var[X | Y]=2τ+4τ（1-τ）Y=O（τ）。我们还可以计算出解析的yd=| E[X | Y]|=τY- 1.- Lη.随机变量E[X | Y]的累积分布函数（CDF）为（3.3）P[E[X | Y]≤ x] =PhEhP（eY，Z）i- E[P（Y，Z）| Y]- Lη≤ xi=P“| Y |≤τ+x+Lητ1/2#= 1 - 2 Φ-1+x+Lητ1/2!,式中，Φ是标准正态CDF，其中我们将E[P（eY，Z）]=-1 andE[P（Y，Z）| Y]=-τY-(1 -τ ). 特别是，η=P[E[X | Y]≥ 0] = 2 Φ-1+Lητ1/2!.感兴趣的读者可以参考补充材料，了解有关此模型问题的更多动机和讨论。图2-（a）显示了E[X | Y]的CDF，并从（3.3）中CDF的定义中可以看出，其在X附近的平方根行为=-τ -Lη。这种平方根行为导致E[X | Y]密度和ρ（δ密度）的平方根逆奇异性，如图2-（b）所示。备注3.1（一个简单的模型问题）。通过依赖一维随机变量δ及其近似值bδ，我们在第2.1节中的分析包括以下情况：X是许多随机变量的函数，Y是多维的，例如，X是投资组合中超过某个阈值的期权到期损失之和，Y是标的股票的价值。另一方面，我们构造的数值例子中，Y是一个简单的一维正态随机变量，X是Y的一个简单函数，因此很容易采样。此示例有意简单，旨在展示将自适应采样与MLMC相结合的优势，而不会带来处理大型投资组合所需的额外复杂性，例如，由于大量资产而产生的评估X的成本或复杂资产的模拟成本。验证假设。

如图2-（b）所示，尽管逆平方根奇点接近3.5，但密度ρ有界接近0，因此假设2.1为18 M.b.GILES，A.HAJI-ALI-0.2-0.1 0.0 0.1 0.20.00.20.40.60.81.0(0, 1-η)(-τ -Lη，0）x（a）0.0 1.0 2.0 3.0 4.00.00.20.40.60.81.01.21.4δ（b）图2：（a）E[x | Y]的累积分布函数，其中x为（3.2）中定义的x，Y为标准正态变量。该图说明了x=-τ -Lη。（b） 显示δ=d/σ的密度ρ。该图表明密度在0附近有界，因此假设2.1是满足的，即使ρ在δ=3.5附近有一个平方根反奇异性。对于这两个图，我们使用τ=0.02和Lη≈0.0805，使η=0.025。另一方面，为了验证假设2.4，我们将κq=supy（E|十、- E[X | Y]| qσqY=Y)= 苏皮耶2τ1/2(1-τ）1/2Zy- τ（eY- 1)qi（2τ+4τ（1-τ）y）q/2≤ supyq公司-1qτq/2（1-τ）q/2yqE[| Z | q]+2q-1τqEheY公司- 1.qi（4τ（1- τ） y+2τ）q/2≤ 第2季度-1E[| Z | q]+2q/2-1EheY公司- 1.qi<∞,对于任何q>0。对偶估计量。（2.4）中的MLMC估计量使用X的独立样本，条件是Y值相同，用于每个MLMC水平上条件内部期望的精细和粗略估计量。我们可以用一个常数因子来减少差异的方差，而不是使用对偶估计量[8，9]。对偶估计使用相同的独立样本集来计算粗近似和细近似。

对于确定数量的内部样本，N`=N`，我们观察到，与使用单独的独立样本进行细估计和粗估计相比，方差折减系数约为3.5。为了在使用算法1返回的自适应内部样本数时呈现对偶估计量，首先请注意，由于算法1返回N，这是风险估计的多层嵌套模拟19 N的倍数`-1反之亦然，则两者均为最大值（N`，N`-1） /N\'和最大值（N\'，N`-1） /不适用`-1是整数。对偶估计量可以写成（3.4）bη：=LX`=0M` M` Xm=1bH（`，M）`，N`（y（`，M））-bH（`，m）`，N`-1（y（`，m）），其中，最大值（N`，N`-1） 级别校正的样本被分为大小N和N的子集`-1给出估值器BH（`，m）`，N（y）：=Nmax（N`，N`-1） 最大值（N`，N`-1） /NXi=1HbE（`，m）N，i（y）,带BH0，N-1（·）：=0，与（2.5）类似，我们定义（3.5）bE（`，m）N，i（y）：=NNXn=1x（`，m，（i-1） N+N）（y）。这里{x（`，m，n）（y）}max（n`，n`-1） n=1是以Y=Y为条件的X的i.i.d.样本。此外，这些样本独立于（`，m）6=（`，m）和任何n.起始MLMC级别的X（`，m，n）。（3.4）中的MLMC估计值包括0、1、…、，五十、 然而，在某些情况下，这可能是次优的。要了解这一点，请表示“（y）=bH”，N“（y）-bH`，N`-1（y），设V`=Var[G`（y）]，Vf`=Var[bH`，N`（y）]。此外，让W`=E[N`]表示预期的内部样本数，在我们的例子中，这是计算G`样本所需的平均工作量。回想一下，为了用RMS误差ε近似一个感兴趣的量，MLMC的总功约为[8]ε-2qVf“W”+LX“=”+1pV“W”！，对于0≤`< 五十、 这里，我们假设我们只包括`，LMC估计器中的L。如果（3.6）R`:=qVf`W`+pV`+1W`+1qVf`+1W`+1，则在MLMC估计量中包含水平`是最佳的≤ 否则，放弃该级别并从“+1”开始将产生更少的计算工作量。

注意，如果Vf`=Vf和W`∝ 2γ“对于所有”，则之前的不等式简化为v`+1≤1.- 2.-γ/2Vf。例如，对于γ=1，拟包含在MLMC估计器中的一级差异V`+1的方差应比感兴趣数量的方差小11倍以上。为了解决这个问题，我们的MLMC算法从某个级别开始，`，并使用少量外部样本来近似`和`+1级别的方差估计和平均工时。然后，如果（3.6）不满足要求，则丢弃“级别”，并重新启动MLMC算法，第一级为“+1”。重复该过程直到（3.6）满足要求。20 M.B.GILES，A.HAJI ALIResults。我们采用确定性和自适应采样的MLMC。对于N=32，使用N`=N`或N`=N`运行确定性采样算法。另一方面，自适应采样算法使用不同的值R=1.25、1.5和1.75运行，相同的值Nand和置信常数C=3。在自适应算法的每一次迭代中，我们对d和σ分别使用（2.19）和（2.20）中定义的相同估计量。我们关于自适应采样方法的理论要求q>2r/（2）时有界q归一化矩κq-r） ，回顾定理2.7中的（2.18）。在我们的测试中，我们使用r=1.25、1.5和1.75，这分别要求q>4.45、12和56，但是，回想一下，对于我们的模型问题，κqis以allq为界≥ 如图2所示，我们设置τ：=0.02和Lη≈ 0.0805，因此我们的目标是估算η=0.025。图3-（a）显示了不同方法每级使用的内部样品的平均数量。对于自适应算法，内部样本的平均数量大约是确定性算法中使用的N′的10倍，但如定理2.7所示，内部样本的增长速度与N′相同。另一方面，图3-（b）绘制了V`:=Var[G`]和Vf`:=Var[bH`，N`（Y）]与`。

该图表明，采用自适应抽样的MLMC水平的方差与采用N`=N`的确定性抽样时的方差相同，即方差收敛如O（2-`) 在这两种情况下，正如定理2.7所证明的那样，即使具有自适应采样的思想MLMC平均每个级别使用较少的内部样本。N`=N`的确定性算法的方差收敛速度为O（2）-`/2） ，如命题2.2所证明。还请注意，感兴趣的数量Vf的方差随着“增大”而略有减小，但对于所有方法而言，对于足够大的方法，都会收敛到相同的值。图3-（c）图E`:=| E[G`]|和Ef`:=| E[bH`，N`（Y）]|与`。该图绘制了与方差图3-（b）相同的相对图。然而，回想一下，当使用自适应采样时，MLMC的复杂性是O（ε-2 | logε|），不依赖于E `的收敛速度，因为方差V `，在平均内部样本数E[N `]增加的速度下收敛。另一方面，对于确定性算法，由于N`=N`，V`=O（2-`/2） E`=O（2-`), MLMC的复杂度为O（ε-5/2). 当使用N`=N`时，MLMC具有相同的复杂性。图3-（d）绘制了（3.6）中定义的比率R`，与`。该图显示了不同方法的MLMC估算中应包含的第一级，即R `<1的第一级。因此，对于自适应方法，`=4是最优的，而对于确定性算法，当N`=N`时，`=2，当N`=N`时，`=7是最优的。最后，图4-（a）显示了多个公差的不同方法使用的内部样品总数。

该数字对应于每个方法的总工作量，包括用于计算MLMC估计器的样本和自适应算法中使用的样本（如算法1所述）。该图和显示总运行时间的图4-（b）验证了实际工作符合所考虑的每种方法的预测工作复杂性。模拟的运行时间是使用自适应算法的C++实现以及Y和X的采样器获得的。此外，使用CUDA在3584核的特斯拉P100 GPU上并行计算内部和外部样本。风险估计的多层嵌套模拟21N`=N`N`=N`r=1.25 r=1.5 r=1.750 2 4 6 8 10 12 14 16``（a）0 2 4 6 8 10 12 16-5.-4.-3.-2.-1`-`实心V“虚线Vf”（b）0 2 4 6 8 10 12 14 16-8.-7.-6.-5.-4.-3.-2.-1`-2 `实心E `虚线Ef`（c）0 2 4 6 8 10 12 140.40.60.81.01.21.41.6`（d）图3：（a）平均样本数，（b）第3节所述模型问题的MLMC估计值E[H（E[X | Y]）的方差和（c）每级绝对误差，使用不同r值的确定性和自适应采样。请注意，自适应方法中的平均样本数增加如O（2`），而方差减少如O（2-`).4、超越概率。使用我们在前一节中开发的自适应方法，并表示随机变量L：=E【X | Y】，对于X：=P（eY，Z）+P(-eY，Z）- P（Y，Z），我们可以估计η=P[L>Lη]=E[H（L- Lη）]，22 M.B.GILES，A.HAJI-ALIN`=N\'N`=N\'r=1.25 r=1.5 r=1.75-4.-3.-2.-1归一化ε-2 | logε|ε-5/2（a）-4.-3.-2.-1.-7.-6归一化ε-2 | logε|ε-5/2（b）图4:MLMC估计器的（a）总工时和（b）总运行时间E[H（E[X | Y]）]与多个误差公差，通过精确值进行归一化，即η，具有确定性和自适应采样。

我们还根据理论预测，绘制了每种情况下的预期工作复杂性。对于给定的Lη，误差容限ε，复杂性为O（ε-2 | logε|）。使用这些估计，我们可以解决反问题，以确定给定η的Lη，即计算（1-η） -分位数。在金融应用中，Lη被称为金融投资组合的风险价值（VaR）。找到Lη可以表示为找到f（Lη）=η的根-P【L>Lη】。为此，我们可以使用随机寻根算法，如随机近似方法[1，15]及其多级扩展[5，6]。相反，由于X是一维的，并且P[L>Lη]相对于Lη单调递减，因此我们在当前工作中使用了算法2中列出的简化算法。该算法从Lη的估计开始，用bLη表示，然后根据bη：=P[L>bLη]相对于η的位置，调整bLη。考虑到bη只能用特定的RMS误差容限进行估计，当bη接近η时，RMS误差容限减半。我们将根查找算法的分析以及与文献中其他算法的比较留给未来的工作。从数值上看，该算法的复杂度似乎接近于O（ε-2 | logε|），见图5。另一个需要计算的重要量是给定η的E[L | L>Lη]。在金融应用程序的上下文中，该数量是条件风险价值（CVaR），也称为预期缺口，即投资组合的预期损失，前提是损失超过（1-η） -给定η的分位数。在【16】中，通过表示f（x）：=x+ηE【max（L-x、 0）]，CVaR可以写为E[L | L>Lη]=f（Lη）=infxf（x），因为对于累积分布函数，f（x）：=P[L<x]，风险估计的多级嵌套模拟23算法2：随机寻根算法。数据：η，ε，λ，L，h>ε/2结果：bLηs.t。

|bLη-Lη|≤ εbLη：=L；λ := λ;计算bη≈ P[L>bLη]，均方根误差λ；h：=hsign（bη- η);而2 | h |>εdobLη：=bLη+h；计算bη≈ P[L>bLη]，均方根误差λ；如果h符号（bη- η） <0然后：=-h/2；endif | bη-η|<3λ然后设置λ：=λ/2；endendreturnbLη；-5.-4.-3.-2.-1归一化ε-2 | logε|（a）-5.-4.-3.-2.-1.-8.-7.-6归一化ε-2 | logε|（b）图5：算法2计算满足给定η的Lη=P[L>Lη]的复杂性。在（a）中，总功是X的生成样本总数，以及相应的概率密度函数，%：=dFdx，我们得到df（X）dx=1-ηE[H（L- x） ]=1-1.- F（x）η，df（x）dx=ddF（x）1.-1.- F（x）ηdF（x）dx=η%（x）≥ 0，和df（x）dxx=Lη=0。因此，如果使用算法2将Lη近似为bLη，并且CVaR值f（Lη）近似为f（bLη），则误差24 M.B.GILES，A.HAJI ALIis | f（Lη）- f（bLη）|=OLη-bLη.也就是说，VaR，Lη的近似值存在O（ε1/2）误差，其中ε-1 |对数ε|复杂性在CVaRf（Lη）=E[L | L>Lη]的近似值中产生O（ε）误差。为了通过计算f（bLη）来近似给定的CVaRη，我们仍然需要近似期望EhmaxE[X | Y]-bLη，0i其中，外部期望是相对于Y的，而内部条件期望是相对于X的。在不损失一般性的情况下，我们可以通过定义Xnew：=Xold来设置lη：=0-bLη。由此产生的问题，即计算E[最大值（E[X | Y]，0）]，类似于（1.1），但使用最大值函数而不是阶跃函数。因此，我们可以再次使用MLMC方法，如第2.2节所述，使用对偶取样器，如备注2.3所述，并解释第3节。使用第3节中的符号，我们设置（4.1）bH（`，m）`，N（y）：=Nmax（N`，N`-1） 最大值（N`，N`-1） /NXi=1maxbE（`，m）N，i（y），0.注意，对于给定的y，每当估计值be（`，m）N`，i（y）和be（`，m）N`-1，i（y）对所有i都是正的，那么（cf。

（3.5））bH（`，m）`，N`（y）=最大值（N`，N`-1） 最大值（N`，N`-1） Xn=1x（`，m，n）（y）=bH（`，m）`，n`-1（y），因此差异bh（`，m）`，N`（y）-bH（`，m）`，N`-1（y）为零。类似地，ifbE（`，m）N`，i（y）和be（`，m）N`-1，i（y）对于所有i均为负值，那么差值为零。使用确定数量的样本N`=N`会导致错误O（2-`/2） 在估计内部预期时，E[X | Y]。因此，这两个估计值bE（`，m）N`，i（y）和bE（`，m）N`-当精确值E[X | y]为O（2）时，1，i（y）可能有不同的符号-`/2). 因此，MLMC差异的方差为O（2-3`/2），其绝对期望值为O（2-`).这在下面的定理中更加精确。定理4.1。假设假设2.1和2.4成立，并进一步假设E[σ]<∞ 存在σ，因此σ≤σ给定δ<δ。然后表示“：=bH”，N“（Y）-bH`，N`-1（Y），其中bh`，在（4.1）中定义，N`=N`，我们有e[| G`.]=O（N-1`）和E[G`]=O（N- 最小值（3，q）/2`）。议论该证明遵循了[9，定理5.2]中的相同思想，其中针对时间离散化推导了对偶估计量的类似结果。在[3，定理2.3]中也采用了相同的证明思想，其中显示了此处考虑的相同对偶估计量的结果，即更通用的分段线性函数，X是伯努利随机变量。用于风险估计的多级嵌套模拟25Proof。因为N`=2N`-1，对偶估计量isG`=max0，Xi=10 bN`-1，我（Y）！-Xi=1最大值0，bEN`-1，i（Y）对于给定的Y，确定伯努利随机变量b=1 | bEN`-1,1（Y）-E[X | Y]|≥|E[X | Y]|∨|本`-1,2（Y）-E[X | Y]|≥|E[X | Y]|，即B=1本`-1，i（Y）-E[X | Y]≥|E[X | Y]|表示i=1或2，否则为零。然后，对于p=1或2，E[| G` | p]=E[| G` | pB]+E[| G` | p（1- B） 】。考虑到第二项，当B=0时，我们得到了`-1,1和Ben`-1,2共享相同的符号。