通过计算最优运输和相关套期保值问题

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英文标题：
《Computation of optimal transport and related hedging problems via
  penalization and neural networks》
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作者：
Stephan Eckstein and Michael Kupper
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  This paper presents a widely applicable approach to solving (multi-marginal, martingale) optimal transport and related problems via neural networks. The core idea is to penalize the optimization problem in its dual formulation and reduce it to a finite dimensional one which corresponds to optimizing a neural network with smooth objective function. We present numerical examples from optimal transport, martingale optimal transport, portfolio optimization under uncertainty and generative adversarial networks that showcase the generality and effectiveness of the approach.
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中文摘要：
本文提出了一种通过神经网络解决（多边际，鞅）最优运输及相关问题的广泛适用方法。其核心思想是在对偶公式中惩罚优化问题，并将其简化为有限维问题，这对应于优化具有光滑目标函数的神经网络。我们给出了最优运输、鞅最优运输、不确定性下的投资组合优化和生成对抗网络的数值例子，展示了该方法的通用性和有效性。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Machine Learning        机器学习
分类描述：Covers machine learning papers (supervised, unsupervised, semi-supervised learning, graphical models, reinforcement learning, bandits, high dimensional inference, etc.) with a statistical or theoretical grounding
覆盖机器学习论文（监督，无监督，半监督学习，图形模型，强化学习，强盗，高维推理等）与统计或理论基础
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PDF下载：
--> Computation_of_optimal_transport_and_related_hedging_problems_via_penalization_a.pdf (4.66 MB)

2022-6-8 18:00:20 上传

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关键词：套期保值 Optimization Mathematical Quantitative mathematica

基于惩罚和神经网络的最优运输及相关混杂问题计算*Stephan Eckstein+Michael Kupper2019年1月28日摘要本文提出了一种通过神经网络解决（多边际鞅）最优运输及相关问题的广泛适用方法。其核心思想是在对偶公式中惩罚优化问题，并将其简化为一个有限维问题，该问题对应于优化具有光滑目标函数的神经网络。我们给出了来自最优运输、鞅最优运输、不确定性下的投资组合优化和生成性对抗网络的数值例子，展示了该方法的通用性和有效性。关键词：最优运输、鲁棒套期保值、数值方法、对偶性、正则化、前馈网络、奈特不确定性、分布鲁棒性1简介本文提出了一种惩罚方法，它允许计算φ（f）=supν形式的一类广泛的优化问题∈QZf dν通过神经网络实现。这种泛函最广为人知的代表出现在优化运输问题中，稍后将介绍。更一般地说，这些泛函表现为，例如，一致风险度量的表示【4】是情景概率等级Q上的最坏情况预期损失，表现为非线性预期【41】，或者是未定权益f的无套利价格上限，参见【25】。

为了解决初始问题φ（f），我们将利用它的对偶公式，并将其限制在那些优化问题的子类中，这些优化问题可以实现为最小超边缘价格φ（f）=infh∈H： H类≥fZh du。*我们感谢Daniel Bartl、Fabian Duth、Jens Jackwerth、Mathias Pohl、Stefan Volkwein和两位匿名裁判的宝贵意见。+斯蒂芬康斯坦茨大学数学与统计系。eckstein@uni-康斯坦茨。德国康斯坦茨大学数学与统计系，kupper@uni-康斯坦茨。对于某些u，de∈ Q、 其中H是一组连续且有界的函数H:X→ R、 其中H和Q的关系在第2节开头给出。文献[21]研究了抽象Banach格框架中一类非常相似的优化问题。在充分正则条件下，原问题supν的值∈QRf dν及其对偶问题infh∈H： H类≥fRh du可以显示为一致，有关定价对冲双重性，请参见例如[16]。一个典型的例子是Monge最优运输问题的Kantorovich松弛[36]，其中Q是乘积空间X=X×X上给定边缘u和u的概率测度集，其中H是所有连续和有界函数H（X，X）=H（X）+H（X）和rh du=RXhd+RXhdu的集。这一类中的进一步经常研究的问题包括多边际最优运输和瓦瑟斯坦距离（参见[5，50，51]）、鞅最优运输（参见[7，26，31，33]）、依赖不确定性下的风险值（参见[11，22，44]），或计算最坏情况下的copula值和改进的Fréchet-hoeff界限（参见[6，40]）。此外，φ（f）还可以作为其他几个问题的构建块，如生成性对抗网络（此外，优化包括生成分布，参见。

[3、23、30]）、依赖不确定性下的投资组合选择（此外，投资组合权重得到优化，见[10、43]）或稳健优化的确定性等价物（见[20]）。在这些情况下，本文提出的解决方法仍然适用。方法概述：目标是数值求解φ（f）。实现将基于φ（f）的对偶表示。第一步是进行有限维设置，其中集合H被子集Hm替换：φm（f）=infh∈Hm:h≥fZh du理论上，我们将看一个序列（Hm）m∈N带H H ...  H使得H∞:=∪m级∈从某种意义上讲，NHmis在H中是稠密的。更具体地说，HM可以是一组具有固定结构（但参数值不明确）的神经网络，m测量神经元层的数量。为了允许逐步更新空间Hm的参数（例如通过梯度下降法），不等式约束h≥ f将被处罚。为此，我们在状态空间X上引入了一个参考概率测度θ。直观地说，该度量将用于对不等式约束h≥ f可以测试。此外，我们引入了一个可微且不可减的罚函数β：R→ R+。这导致了惩罚问题φmθ，β（f）=infh∈HmnZh du+Zβ（f- h） dθo。出于理论考虑，我们还引入了φθ，β（f）=infh∈HnZh du+Zβ（f- h） dθo。从理论上讲，我们将再次考虑由近似因子γ参数化的惩罚函数序列（βγ）γ>0，并使用符号φθ，γ（f）：=φθ，βγ（f）和φmθ，γ（f）：=φmθ，βγ（f）。在这里，递增的惩罚因子可以被视为对不等式约束越来越精确的强制执行≥ fφmθ，γ（f）是数值求解的问题。第2章和第3章研究最终实现的这个问题与初始问题φ（f）之间的关系。

至φ（f）（初始问题）φθ，γ（f）（φ（f）的惩罚版本）φm（f）（φ（f）的有限尺寸版本）φmθ，γ（f）（数值求解问题）γ→∞（第2.2节）m→∞（第2.3项）（引理3.3）m→∞（备注3.5）γ→∞（第3.7条）最小{γ，m}→∞（第2.4项，备注3.5）图1：发生的问题及其关系。第2节研究了描述的收敛性，第3节研究了更具体的神经网络背景下的收敛性。为此，我们分析了引入的近似问题在m→ ∞ 和γ→ ∞.图1总结了出现的问题及其关系。值得注意的是，我们只对最优值的收敛感兴趣，而不是对优化器的收敛感兴趣。最后一步是找到φmθ，γ（f）的数值解，这意味着在实践中可以找到网络Hm的最佳参数。为此，我们使用张量流[1]和Adam优化器[38]，因此，这一步主要被视为黑箱。我们将用^φmθ，γ（f）表示数值最优解。实施方法：相关文献对最优运输问题的惩罚进行了多方面的研究（参见[9、14、17、18、27、30、45、46、48]）。熵惩罚法（Entropic penalization）尤其常用，这与薛定谔问题密切相关[39]。Cominettiand San Martín 1994年关于任意线性规划熵惩罚的工作【17】可以应用于纯离散最优运输。[17]中的基本思想是通过惩罚得到一个严格对流问题，该问题可以更快地求解并收敛到初始问题，因为惩罚因子会增加。最近，Cuturi【18】基于熵惩罚和Sinkhorn的矩阵缩放算法，给出了一种计算具有两个边缘的离散最优运输问题的有效算法。Genevay等人【27】和Solomon等人。

[48]在这个方向上更进一步，给出计算具有两个边缘的任意最优传输问题的算法，其中算法（对于连续边缘的情况）分别基于再生核希尔伯特空间方法和离散化。在[27]中，作者已经提到了熵正则化之外的更多一般正则化是可能的。Benamou等人[9]和Schmitzer[45]使用与[18]相关的缩放算法处理更大类别的问题，包括（离散）多边际、约束和不平衡的最优运输。Carlier等人【14】表明熵惩罚的Wasserstein-2距离与非熵惩罚的Wasserstein-2距离收敛。类似的Γ-收敛也是薛定谔问题相关研究的主题【39】，甚至对于更一般的成本函数也是如此。Arjovsky等人[3，30]最近的研究受到了生成性敌对网络的启发，包括基于Lpenalization解决特定的最优传输问题（Wasserstein-1距离）。在这些工作中，通过神经网络对对偶变量进行参数化来解决最优运输问题的数值方法应运而生。Seguy等人【46】将基于神经网络的方法应用于具有两个边缘的任意最优传输问题。他们的理论结果广泛基于熵惩罚、离散化和最优运输问题对边缘的弱连续依赖性。本文给出了基于惩罚和神经网络的φ（f）型问题统一数值解法。

重点在于问题选择的一般适用性，以及解决方法的灵活框架。与现有文献相比，我们的理论结果具有广泛的适用性。现有文献通常只关注φ（f）形式问题中的一个代表性问题（通常是最优输运问题）。类似地，本文中的惩罚方法和由此产生的对偶关系允许许多不同形式的参考测度θ和惩罚函数βγ，而现有文献通常局限于统一或乘积参考测度和指数惩罚函数。我们在定理2.2的理论上和第4节的数值例子中都展示了不同参考测度和不同惩罚函数的影响。在某些示例中，选择适当的参考度量值至关重要，如第4.4节。定理2.2的方程式（2.6）也激励了参考度量的更新程序，以减少惩罚产生的误差，这在第4.5节中得到了应用。文中给出了几个例子，这些例子主要是现有论文中的玩具问题。我们使用玩具问题的原因是为了评估可以基于解析解的数值方法。在第二节中，我们给出了近似和正则化的理论结果。第3节讨论了由多层前馈网络构建HMA的特殊情况。在第4节中，我们用几个例子来说明所提出的方法。所有证明推迟到第5.2节套期保值函数的正则化和近似设P（X）是波兰空间X上所有Borel概率测度的集合，并用Cb（X）表示所有连续有界函数f:X的线性空间→ R

我们考虑超边缘泛函φ（f）：=infnZh du：h≥ f代表一些h∈ f的Ho（2.1）∈ Cb（X），其中u∈ P（X）是一个定价指标，H Cb（X）。在本节中，我们假设H是一个包含常数（即常数函数）的线性空间。为了推导对偶表示，我们假设φ从上面是连续的，即φ（fn）↓ 0对于Cb（X）中的每个序列（fn），使fn↓ 根据非线性Daniell-Stone定理，它有一个表示φ（f）=maxu∈QZf du（2.2）在离散设置中，参考度量通常是均匀分布（参见例如[18]，其中惩罚没有明确包括参考度量。应用的惩罚只是度量的熵，对应于具有均匀参考度量的相对熵）。在非离散设置中，通常使用最优运输问题指定的边缘的乘积度量（参见[27，46]）。对于所有f∈ Cb（X）与非空集Q=u ∈ P（X）：相对湿度du=所有h的相对湿度du∈ H. 特别是u∈ Q、 问题（2.2）和（2.1）是二元的，我们将（2.2）称为首要问题（2.1）称为二元公式。有关详细信息，请参阅附录A。这里概述了对偶如何扩展到无界函数。然而，为了可读性，我们将重点放在B（X）上。以下示例说明了基本设置：示例2.1。设X=Rd，并用∏（u，…，ud）表示所有u的集合∈ 假设Q 6= 它是向前延伸的，以验证相应的超边缘功能从上面开始是连续的。（a） （多边缘）最优传输【36，51】：Q=∏（u，…，ud），H={H∈ Cb（Rd）：h（x，…，xd）=h（x）+。。。

+hd（xd）适用于所有（x，…，xd）∈ Rd和一些hi∈ Cb（R）}（b）鞅最优输运[7，26]：Q={u∈ π（u，…，ud）：Rdis au-鞅}H={H上的正则过程∈ Cκ（Rd）：h（x，…，xd）=dXi=1hi（xi）+dXi=2gi（x，…，xi-1） ·（xi）- xi-1） 对于所有（x，…，xd）∈ Rd和一些hi∈ Cb（R）和gi∈ Cb（Ri-1） }式中，Cκ（Rd）表示与κ（x）相对应的线性增长的所有连续函数的空间：=1+| x |，见附录A。根据Strassen定理[49]，如果边缘u，…，则集Q是非空的，按凸顺序排列。（c） 具有附加约束的最佳传输：Q={u∈ ∏（u，…，ud）：Zgjdu=CJ对于所有j=1。。。，N} H={H∈ Cb（Rd）：h（x，…，xd）=dXi=1hi（xi）+NXj=1λj（gj（x，…，xd）- cj）对于某些hi∈ Cb（R），λj∈ R} 对于某些g，gN公司∈ Cb（Rd）和c，中国大陆∈ R、 关于相关问题，我们参考文献[6]及其参考文献。2.1通过惩罚正则化超边缘泛函我们的目标是通过考虑卷积φθ，γ（f）：=infh来正则化超边缘泛函φ∈Cb（X）φ（h）+ψθ，γ（f- h）= infh公司∈HnZh du+Zβγ（f- h） dθo（2.3），其中ψθ，γ（f）：=Rβγ（f）dθ，用于取样测量θ∈ P（X）和βγ（X）：=γβ（γX）是一个惩罚函数，其参数化为γ>0。我们假设β：R→ R+是一个可微的不可减凸函数，使得limx→∞β（x）/x=∞. 其凸共轭β*γ（y）：=supx∈R{xy- 所有y的βγ（x）}∈ R+，满意度β*γ（y）=β*（y） /γ。常见的例子是（a）指数惩罚函数β（x）=exp（x- 1） 带共轭β*（y） =y log（y），（b）带共轭β的lp惩罚函数β（x）=p（max{0，x}）p*（y） =qyqq，其中q=pp-1对于某些p>1。如果H=R，则函数（2.3）是所谓的优化确定性等价物，见Ben-Tal和Teboulle【8】。在下面的结果中，我们给出了正则化超边函数φθ，γ的对偶表示及其收敛到φ的结果。定理2.2。让f∈ Cb（X）。

假设存在π∈ Q使得π θ和rβ*dπdθdθ<∞.那么φθ，γ（f）=最大u∈QnZf du-γZβ*dudθdθo.（2.4）此外，φθ，γ（f）-β(0)γ≤ φ（f）≤ φθ，γ（f）+γZβ*duεdθdθ+ε（2.5）每当|ε∈ Q是（2.2）的ε-优化器，因此|ε θ和rβ*γduεdθdθ<∞.If^h∈ H是（2.3）的最小值，然后是^u∈ P（X）定义为d^udθ：=βγ（f-^h）（2.6）是（2.4）的最大值。2.2超边缘功能的近似在本小节中，我们考虑序列H H · · · H的子集的，集H∞:=sm∈NHm。每m∈ N∪ {+∞}, 我们通过φm（f）：=infnZh du：h定义近似的超边缘函数≥ f代表一些h∈ Hmo。（2.7）为了用φm（f）近似φ（f），我们需要H上的以下密度条件∞.条件（D）：对于每ε>0和u∈ P（X）每h保持（a）∈ H存在H∈ H∞这样R | h- h | du≤ ε、 （b）存在h∈ H∞这样1Kc≤ handRhdu≤ 一些紧子集Kof X的ε。在第3节中，我们将讨论多层前馈网络中的条件（D）。该条件考虑以下近似结果。提案2.3。假设H∞是一个包含常数的线性空间。在条件（D）下，一个Haslim→∞φm（f）=φ∞（f） =φ（f），对于所有f∈ Cb（X）。如前一小节所述，给定采样测度θ和参数化惩罚函数βγ，我们通过φmθ，γ（f）=inf定义正则化超边缘函数的近似版本∈HmnZh du+Zβγ（f- h） dθo（2.8），对于所有f∈ Cb（X）。作为两个近似步骤φθ，γ（f）的结果→ γ的φ（f）→ ∞ 内孔2.2和φm（f）→ φ（f）表示m→ ∞ 在命题2.3中，我们得到以下收敛结果。提案2.4。假设H∞满足条件（D），对于每一个ε>0，存在一个ε-优化器uε（2.4），使得uε θ和rβ*duεdθdθ<+∞.