通过计算最优运输和相关套期保值问题

从这个角度来看，人们可以对神经网络解决方案给予更高的信任，即使我们没有分析参考值来比较它。最初，我们在本文方法的基础上加入了第四种方法，但使用了多项式代替神经网络。然而，这表现非常糟糕（至少在使用标准单项式基础时），因此我们省略了此表中的结果。4.3鞅最优运输在鞅最优运输中，通过在边际约束之上施加鞅约束来扩展最优运输问题。维数被视为离散时间步，Q中的测度是离散随机过程的分布（Xt）t=1，。。。，d具有固定的边际分布以及过程是鞅的条件。这里，我们考虑一个d=2的简单示例，其中已知解析解。此示例摘自[2]。设X：=[-1, 1] × [-2，2]，θ：=U（X）和setQ：=ν = ν K：ν=U([-1，1]），ν=U([-2，2]），x=Z-2yK（x，dy）保持ν-a.s。.对于f=-|x个- y |ρone得到φ（f）=-对于所有ρ>2，为1。我们用ρ=2.3来实现这个问题，其中我们对γ的不同值使用Lpenalty函数。结果如图3所示。我们可以看到，当γ值达到1280左右时，最佳值的行为近似于定理2.2中的方程式（2.5）所预测的，即如果γ增加了2倍，则误差大约减少了2倍。然而，对于较大的γ值，会出现数值不稳定，优化器无法找到真正的最优值。这可以通过以下事实来表明：值^φmθ，γ（f）isaboveφ（f）=-1.4.4投资组合优化考虑一个有两项资产的市场，其中给出了每项资产的回报分布，但没有给出联合分布。

投资者希望通过投资这两项资产来最大限度地发挥其最坏情况下的效用。在这里，投资者的效用以均值方差目标为特征。虽然平均值完全以边缘分布为特征，但最糟糕的图3：鞅最优运输：平均数值最优值和95%的密度界限，超过100次不同γ值的独立运行（Lpenalization）。该网络已训练20000次迭代，批大小为1024。unEnabledProblem的真正最佳值是-1。案例考虑了投资组合的所有可能差异，这些差异取决于资产的联合分布。下面的示例取自[43]：设X=[0，1]×[0，2]。设θ=U（[0，1]），θ=U（[0，1]）o φ-1，式中Д（x）=2x。设Q={ν∈ P（X）：ν=θ，ν=θ}。我们将解决以下稳健均值-方差投资组合优化问题SUPX∈[0,1]- φ(-fx）：=supx∈[0,1]infν∈QZ（1- x） ξ+xξ- λ(1 - x） ξ+xξ- (1 - x） Zζθ（dζ）- xZζθ（dζ）ν（dξ）。式中λ≥ 0表示风险厌恶。大括号内期限的积分是投资组合的方差。解析解见【43】例1。我们通过两种方式实现了上述问题。首先，我们选择参考度量θ（1）=θθ. 对于第二个，我们使用参考度量θ（2）=0.5θ（1）+0.5U（[0，1]）o （Id，^1）-1.,i、 e.一半是产品度量，一半是完全相关度量。第二个版本可能符合我们的直觉，即最优耦合应该包括正相关。更准确地说：参考度量θ的选择总是有一个隐式目标，即导致定理2.2中等式（2.5）中的狭窄边界。

在本例中，如果假设一个最佳度量ν*∈ Q的质量接近完美相关对角线，选择一个将质量置于该区域的参考度量值是有意义的，就像θ（2）一样。Id表示标识映射。图4：依赖不确定性下的投资组合优化：作为参考指标，我们可以采用产品指标或正相关指标。我们使用γ=160的lpenalization。该网络使用批量大小2进行40000次迭代的训练。结果如图4所示。正如预期的那样，第二个版本的结果更接近分析溶液。4.5相依随机变量和分布的界限在本节中，目标是确定概率P（X+X+…+Xd）的界限≥ s） 对于somes∈ R、 其中夏尔的个别分布已知，但不知道其联合分布。这个问题与计算依赖不确定性下风险的最坏和最佳情况值密切相关，另请参见【20、22、44】。设X=Rd.对于给定的边缘u。。。，ud∈ P（R）和Q=∏（u，…，ud），问题陈述为φ（f）：=supν∈QZ{x+…+xd≥s} ν（dx，…，dxd）。为简单起见，我们考虑情况d=2，ui=U（[0，1]）。设s=1.9。每个最优度量ν∈ Q为线段{（x，1.9）均匀地提供质量1/10- x） ：0.9≤ x个≤ 1} ，而只要满足边缘条件，质量剩余值就无关紧要。这导致了最佳值φ（f）=0.1。对于参考度量θ=U（[0，1]）的自然选择，每个最优度量都是关于θ的奇异度量，因此可以通过惩罚来期望高误差。使用此参考测量和γ=320的线性化的实施导致^φmθ，γ（f）≈ 0.0881.更新参考度量：为了获得更精确的值，我们使用定理2.2中的方程式（2.6）。

回想一下，优化器∈ φθ的Q，γ（f）由d^νdθ=β（f）给出-^h），其中^h是φθ，γ（f）的对偶优化器。将^ν作为参考度量而不是θ只能通过惩罚来减少误差，因为φ^ν，γ（f）≥ φθ，γ（f）由β的凸性决定*γ. 由于真正的优化器^h未知，并且网络训练了20000次迭代，批次大小为1024，因此必须将^ν作为参考度量来实现问题。图5：因变量和分布的界限：数值最优测量ν的采样点*以及相应的经验边际分布。替换为数值最优解。我们用ν表示数值获得的最佳测量值*.实施φmν*,γ（f）要求从ν开始取样*. 这很重要，因为ν*只有givenbydν*dθ。我们通过【24】中所述的验收-拒收方法实现了这一点。这是非常低的，因为拒绝的数量随着氡-尼科德姆导数的最大值而增加。在这种情况下很难进行有效取样，有关现有方法和拟议新方法的概述，请参见示例[34]。图5说明了最佳度量ν*. 度量值ν*看起来与φ（f）的最优解相当，同时被推向参考度量θ。一个获得^φmν*,γ（f）≈ 0.0982，接近真正的最佳值0.1。在下文中，我们简要讨论了针对这类问题定制的重排算法[22，44]。与所提出的依赖于从所涉及的边缘分布中采样的方法相比，重排算法主要依赖于边缘的累积分布函数的倒数。重排算法在高维设置和不同边缘（如Pareto边缘）下实现了类似甚至更好的精确度。

更高维度的情况与这里采用的方法很好地匹配。然而，低维中的基时间比重排算法的基时间高，并且进一步的重尾边缘（如帕累托分布）会导致精度较低。4.6生成性对抗网络（GAN）GAN的目标是从度量值u中创建新的样本点，其中只有经验分布u已知（参见[3，29]）。通常，度量u可能是指在一些非常大的图像集上的均匀分布。然后，集合|u就是这些图像的所有子集上的均匀分布。目标是对给定子集中尚未出现的新图像进行采样，但这些图像可能是来自度量u的样本。为了继续，我们首先采用一些潜在概率测度τ。目标是获得一个函数，使得u和前推度量τo G-1非常接近（从某种意义上说是特定的），因此可以通过从τ中采样并应用G来获得u的伪样本。要从一类函数G中找到此类函数G，只能使用|u而不是u（因此u不进入正式的问题陈述）。σu和τ的接近度o G-1通过不同的距离测量。在Wasserstein GAN中，使用了第一个Wasserstein距离W（·，·）（参见示例[51]），目标为Arg minG∈GW（τo G-1, ~u).上述情况可以推广到任意传输距离，而不是第一个Wassersteinstance。为了将其应用到我们的设置中，让G有一组映射到X的函数。让X=X×X，表示G∈ G定义QG：={ν∈ P（X）：ν=τo G-1, ν= ~u}.

对于成本函数c，任意运输类型的GANs可以通过Arg-minG表示∈G-φG(-c） =arg minG∈Ginfν∈QGZc dν如果c是一个度量，则上述对应于Wasserstein GAN。由于很难客观地评估GAN设置，我们在本节中省略了数值结果。感兴趣的读者可以在GitHub上看到代码，其中[30]中出现的玩具问题是针对不同的函数实现的c.5证明5.1定理的证明2.21）我们首先通过验证φθ，γ是实值且从Cb（X）的上方连续来显示（2.4）。为此，如附录A所示，有φ*（u）=suph∈H（相对湿度du-Rh du）适用于所有u∈ P（X），因此u∈ Q如果且仅当所有h的ifZh du=Zh du∈ H、 （5.1）自βγ（x）起≥ xy型-γβ*（y） 对于所有x∈ R和y∈ R+，则zβγ（f- h） dθ≥采埃孚- h dπ-γZβ*dπdθ我们所指的dθhttps://github.com/stephaneckstein/transport-and-related，其中实施了本节中问题的不同规范（包括帕累托边缘）。对于实现，我们只调整了https://github.com/igul222/improved_wgan_training我们的方法。再次查看https://github.com/stephaneckstein/transport-and-relatedsoφθ，γ（f）=infh∈HnZh dπ+Zβγ（f- h） dθo≥Zf dπ-γZβ*dπdθdθ>-∞对于所有f∈ Cb（X）。这表明φθ，γ是Cb（X）上的实值。此外，设（fk）是Cb（X）中的序列，使得fk↓ f每小时∈ H单调收敛定理表示rβγ（fk-h） dθ→Rβγ（f-h） dθ，所以φθ，γ（fk）↓ φθ，γ（f）。因此，从非线性丹尼尔-斯通定理（见命题A.1）可以看出，φθ，γ（f）=maxu∈P（X）nZf du- φ*θ、 γ（u）或全部f∈ Cb（X），其中凸共轭由φ给出*θ,γ(u) = φ*(u) + ψ*θ、 γ（u）=（γRβ*dudθdθifu∈ Q和u θ∞ 其他的实际上，卷积inff的凸共轭∈Cb（X）{φ（f）+ψθ，γ（·）- f） }表示凸共轭φ的和*和ψ*θ,γ. 根据（5.1），一个具有φ*（u）=0如果u∈ Q和φ*(u) = +∞否则

此外，ψ*θ、 γ（u）=supf∈Cb（X）nZf du-Zβγ（f）dθo=supf∈Cb（X）nZfdudθ- βγ（f）dθo=Zβ*γdudθdθifu θ和ψ*θ,γ(u) = +∞ 否则2） 我们下一个节目（2.5）。一方面，有φθ，γ（f）=infh∈HnZh du+Zβγ（f- h） dθo≤ infh公司∈H： H类≥fZh du+βγ（0）=φ（f）+β（0）γ。另一方面，对于每个ε-优化器uε∈ （2.2）的Q，使得u θ1有φ（f）≤Zf duε+ε≤Zf duε- φ*θ,γ(uε) + φ*θ,γ(uε) + ε ≤ φθ，γ（f）+γZβ*duεdθdθ+ε与约定-∞ + ∞ = +∞.3） Let^h∈ H是（2.3）的最小值，即φu，γ（f）=R^H du+Rβγ（f-^h）dθ。定义hλ：=任意h的^h+λh∈ H、 一阶条件ddλλ=0Zhλdu+Zβγ（f- hλ）dθ= 0简化ZH du-Zβγ（f-^h）h dθ=0。这表明概率测度^u与Radon Nikod'ym导数^udθ：=βγ（f-^h）对于所有h，满足度du=相对湿度du∈ H、 鉴于（5.1）满足∈ Q、 积分恒等式βγ（x）=xβγ（x）- β*γ（βγ（x）），x=f-^h w.r.t.θ，一个得到szβγ（f-^h）dθ=Zf-^h d^u-Zβ*γd^udθdθ表示φθ，γ（f）=Z^h du+Zβγ（f-^h）dθ=Zf d^u-Zβ*γd^udθdθ。因此，^u∈ Q是（2.4）的最大值。5.2命题证明2.3Fix f∈ Cb（X）。那个limm→∞φm（f）=φ∞（f）≥ φ（f）源自H的定义∞. 此外，对于每个ε>0，条件（D）保证h∈ H∞和K X使1Kc≤ h和RH du≤ ε. 因此，φ∞（1Kc）≤相对湿度du≤ ε和Dini引理意味着φ∞从Cb（X）上的上方连续。根据命题A.1，可以得出φ∞（f） =最大u∈P（X）nZf du- φ∞*（u）o.与（A.2）类似，其凸共轭由φ给出∞*（u）=suph∈H∞Zh du-Zh du≤ suph公司∈HZh du-Zh du= φ*(u).还有待证明的是，对于h∈ H和u∈ P（X）带RH du-Rh du>0存在h∈ H∞这样Rhdu-Rhdu>0。但这直接来自概率度量u+u的条件（D）的第一部分。

实际上，在H中存在一个序列（hn）∞这样hn→ h inL（u）和in L（u），表示Rhndu-n足够大时，Rhndu>0。5.3命题2.4的证明观察φm（f）+βγ（0）≥ infh公司∈Hm:h≥fnZh du+Zβγ（f- h） dθo≥ φmθ，γ（f）≥ φθ，γ（f）当第一个不等式使用βγ增加时，第二个不等式只是降低了约束条件≥ f，第三个不等式来自Hm H、 固定ε>0。根据条件（D）和定理2.2，存在m∈ N和γ>0，使得φm（f）≤ φ（f）+ε和φ（f）≤ φθ，γ（f）+ε，对于所有m≥ mandγ≥ γ. 这表明φ（f）+ε+β（0）γ≥ φm（f）+βγ（0）≥ φmθ，γ（f）≥ φθ，γ（f）≥ φ（f）- ε表示所有m≥ mandγ≥ γ、 这表明φmθ，γ（f）→ φ（f）每当min{m，γ}→ ∞.5.4 Hornik引理3.3（a）的证明[35]表明，对于每一个ν，Nlj，dj在Cb（Rdj）中相对于L（ν）是稠密的∈ P（Rdj）和所有j=1。。。，J、 根据三角形不等式和ej的有界性，条件（D）的第一部分如下。（b） 如果X是紧的，则条件一般满足。因此，假设X=Rd=Rd×。。。×RdJandπj=prj，对于j=1，…，ej=1。。。，J≤ J、 其中，prjis是从Rdj到Rdj中第J个边缘分量的投影。设ε>0和ν∈ P（X）。我们首先定义j，用ν（j）表示：=νo 公共关系-1 JAND表明存在hj∈ Nlj、DJ，以便1Kcj≤ hjandRRdjhjdν（j）≤ 2ε，对于一些紧子集kjof Rdj。在不丧失一般性的情况下，假设lj=1。这总是可以做到的，因为函数hj将是紧值的，因此对于多个层，第一层以外的其余层可以简单地近似于上确界范数中的单位函数。FixKj=[-c、 +c]dj，使得ν（j）（Kcj）≤ ε/（4dj）。根据假设，对于每个i∈ {1, . . .

，dj}存在ai，bi，ai，bi∈ R使得Д（aixi+bi）+Д（aixi+bi）(≤ xi的ε/（2dj）∈ [-c、 c]≥ 1.- ε表示xi6∈ [-c- 1，c+1]。Thenhj：=djXi=1Д（aixi+bi）+Д（aixi+bi）+ε∈ N1、dj、2dj N1，djsatis 1Kcj≤ HJ对于紧凑型▄Kj：=[-c- 1，c+1]dj，以及Zrdjhjdν（j）≤ZRdjεKj+2d1Kcjdν（j）+ε≤ε+2dν（j）（Kcj）+ε≤ 2ε.现在，定义h：=Pdj=1hjo prj公司∈ H∞和K：=QJj=1Kj X，它是紧凑的。然后一个立即得到1摄氏度≤ handRhdν≤ 2Jε。5.5命题3.71）的证明，对于one fix网络Nlj，dj，m，映射ξ7→ Nlj，dj，m（ξ）是逐点连续的，即它保持ξn→ ξNlj，dj，m（ξn）（x）→ Nlj，dj，m（ξ）（x），对于所有x∈ Rdj，因为Д是连续的。此外，由于我们假设φ是有界的，函数Nlj，dj，m（ξn）是一致有界的，因此由支配收敛得到Nlj，dj，m（ξn）→ Nlj，dj，m（ξ）in L（ν），对于所有ν∈ P（Rdj）。通过三角不等式，这种连续性转移到映射（ξ，…，ξJ）7→PJj=1ejNlj，dj，m（ξj）o πj。因此，我们可以写ehm={η（A）+A:A∈ 我是一个∈ R} 其中A 7→ η（A）在L（u）和L（θ）中是连续的，并且是紧致的。2） 对于每个ε>0，存在η（A）+A∈ HM，η（A）+A≥ f使得φm（f）+ε≥Zη（A）+A du=limγ→∞nZη（A）du+A+Zβγ（f- η（A）- a） dθo≥ lim supγ→∞φmθ，γ（f）自0起≤Rβγ（f- η（A）- a） dθ≤ βγ(0) =γβ(0).另一方面，设（γn）是R+中的一个序列，其中有γn→ ∞. 我们的目标是证明φm（f）≤ lim信息→∞φmθ，γn（f）。我们假设lim infn→∞φmθ，γn（f）<∞ 否则就没有什么可证明的了。

对于每n∈ N存在∈ 阿曼德·安∈ R使得φmθ，γn（f）+n≥Zη（An）du+An+Zβγnf- η（An）- 一dθ≥Zη（An）du+Zf- η（An）+c dθ（5.2）更准确地说，一层给出的函数hjas将是其余层的第一个分量的输入，其余层近似于连续函数[-z、 z]m3 x 7→ xin是SUPREMUM范数，如[35]所示。自βγn（x）≥ 所有n的x+c∈ N表示某些常数c∈ R、 特别是lim infn→∞φmθ，γn（f）取值为7→射频- η（A）+cdθ是紧Am上的连续函数。通过传递到一个序列，我们可以假设limn→∞φmθ，γn（f）=lim infn→∞φmθ、γn（f）和An→ A.∈ Amsuchthatη（An）→ η（A）in L（θ）和θ-A.s.以及rη（An）du→Rη（A）du。接下来我们证明（an）是有界的。假设通过矛盾的方式→ -∞. 自limx以来→∞β（x）/x=∞ andf公司- η（An）一致有界于Am的紧性，因此zη（An）du+An+βγnf- η（An）- 一→ +∞此外，鉴于（5.2）顺序Zη（An）du+An+βγnf- η（An）- 一-在L（θ）中一致可积。因此，从Fatou引理可以看出+∞ =Zlim信息→∞Zη（An）du+An+βγnf- η（An）- 一dθ≤ lim信息→∞nZη（An）du+An+Zβγnf- η（An）- 一dθo≤ lim信息→∞φmθ，γn（f）<∞这是我们想要的矛盾。这表明（an）是有界的，并且通过传递给子序列→ 一∈ R、 最后，它来自Fatou的引理thatlim infn→∞φmθ，γn（f）=lim infn→∞nZη（An）du+An+Zβγnf- η（An）- 一dθo≥Zη（A）du+A+Zβ∞f- η（A）- 一dθ=Zη（A）+A du≥ φm（f），其中β∞（x） =0如果x≤ 0和β∞（x） =∞ 如果x>0。第二个不等式如下，因为η（A）+A≥ fθ-a.s.作为第一个不等式f，η（a）的结果∈ Cb（X）和θ是严格正的。Daniell-Stone定理的非线性版本让X是一个波兰空间。