时空分数扩散驱动的期权定价模型：

在二维中，该过程将toa求和推广到由与被积函数相关联的特征向量确定的子区域ofC。引入的残数通过Cauchy公式的二维模拟计算：Resf（t，t）dt2iπt∧dt2iπt= f（0，0）（50）[，]中引入了该程序。也就是说，特征量（39）推广到非特征向量，在双Mellin-Barnes积分（49）的情况下 =\"-1+γα#（51）规则（41）推广了tof（x，x）=∑[t，t]∈ΠReshf公司*（t，t）x-德克萨斯州-ti（52），其中∏是Cde的子集，由∏定义=nt：=[t，t]∈ C、 Re公司(.s） <R e(.c） o（53）ReCΠ线下Re（t）=（1-γα）（R e（t）- c） +c（54），其斜率为正，因为根据假设γ≤ α. 在这个地区，极点来自函数Γ(-- t+t）和Γ（t），它们在参数的每个负整数值处都是奇异的（见图2）。73根据奇点[]附近Gamma函数的奇异行为和Cauchy公式（50），我们得到了双分数模型下的买入价格序列：Vα，γ（S，K，r，uγ，τ）=Ke-rτα∞∑n=0m=1(-1） nn！Γ(1 - γn-mα）(-[日志]- uγτ）n(-uγτγ）m-nα（55）该计算的全部细节可在[3]中找到。74版本2018年2月28日提交给Fractal Fract。第10页，共15页图2。有助于评估双Mellin-Barnes积分的残留物（49）。4、应用75让我们讨论一下时空分数期权价格级数公式的几种应用。我们证明了它可以用来估计期权价格的市场参数。与其他方法（梅林-巴恩斯表示法、数值模拟法等）相比，期权价格的计算速度非常快。我们还简要讨论了隐含波动率的应用。794.1.

看涨期权价格80当我们在双系列（55）中为then（resp.m）和取上界时，我们剩下的是一个简单系列，它的-（resp.n）部分和很快收敛到期权价格（参见图3，其中参数为3800，K=4000，r=1%，σ=20%，α=1.7，γ=0.9）。我们可以观察到m-和的收敛是单调的，而n-和围绕最终价格振荡。84图3。双分数看涨期权价格序列m和n部分和的收敛性。在图4中，我们研究了期权价格（55）在不同参数作用下的演变。在第一张图中，我们将x=3800，K=4000，r=1%，σ=20%，并绘制不同稳定性参数α下γ价格影响函数的演变∈ [1.5, 2]; 我们选择只考虑γ>0.33 soγ>-时间分馏度的α函数。在图2中，我们让α在1和2之间变化，并注意到当γ≤1那么价格总是稳定性的递减函数，而当γ>1时，价格可能达到最大值。在图3（分别为4）中，我们绘制了期权价格在不同时间分馏度γ下随现货价格（分别为市场波动率σ）变化的曲线，固定稳定性α=1.7；请注意，正如预期的一样，价格始终是现货和价格的单调（增长）函数。结果显示在表中。1，取自【13】。96版本2018年2月28日提交给Fractal Fract。第11页，共15页，表1。时空分式模型。对所有期权进行了估算，并分别对看涨期权和看跌期权进行了估算。我们看到，对于这种情况，γ非常接近1，这并不是从参考文献中得到的。

[13] 而且，可以在那里找到有关估计的更多细节。所有期权参数Black Scholes Lévy稳定双分数α-1.493（0.028）1.503（0.037）γ-1.017（0.019）σ0.1696（0.027）0.140（0.021）0.143（0.030）AE 8240（638）6994（545）6931（553）调用期权参数Black Scholes Lévy稳定双分数α-1.563（0.041）1.585（0.038）γ-1.034（0.024）σ0.140 021）0.118（0.026）0.137（0.020）AE 3882（807）3610（812）3550（828）卖出期权参数Black-Scholes Lévy稳定双分数α-1.493（0.031）1.508（0.036）γ-1.047（0.017）σ0.193（0.039）0.163（0.034）0.163（0.037）AE 3741（711）3114（591）2968（594）4.2。隐含波动性97隐含市场波动性的过程包括发现波动性σA模型驱动期权价格与可观察价格C一致，即当nv（S，K，r，σI，τ）=C（56）时，一个典型的程序是隐含Black-Scholes波动性（通过使用Black-Scholes公式计算价格并通过数值方法求解（56），如牛顿-拉斐逊算法，请参见分析序列（55），可以暗示市场波动，并与高斯波动进行比较。1014.2.1. 在货币波动率102时，当资产处于“货币远期”状态时，即当ns=Ke-rτ（57）那么Black-Scholes公式[5]V（S，K，r，σ，τ）存在近似值√2πσ√τ（58），因此隐含波动率方程（56）的解为σI\'CSr2πτ（59），版本2018年2月28日提交给分形分形。

第12页，共15页图4。在各种参数（时间分馏性参数γ、稳定性参数α、资产（现货）价格和市场波动率σ）的作用下，双分数买入价格的演化。α=（57）[对数]=定价公式（55）变成幂级数（即，只有uγ和τ的正幂）：V2，γ（S，K，r，u，τ）=S“Γ（1+γ）p-uγτγ+O(-uτγ）#（60）使用风险中性参数uγ=-σΓ（1+2γ）（61）在幂级数（60）的一阶项中，我们获得了隐含的分数Black-Scholes波动率（在ATM远期情况下）：σI’2CSΓ（1+γ）rΓ（1+2γ）τγ（62）（59）γ=1（回想一下Γ（）=√π). 在图5中，我们绘制了公式（62）在到期时间τ=1.027和各种行权和看涨期权价格（见表2中的市场数据）的γ函数中的演变。105图5。双分数Black-Scholes模型的货币隐含波动率是时间分数γ的函数。版本2018年2月28日提交给Fractal Fract。第13页，共154.2.2页。波动率Smile106在表2中，我们提供了标普500指数看涨期权的可观察市场买入（报价）价格，2008年底交易了几个行使（行使）价格，报价日期=2008年11月3日，到期日期=2009年1月17日（来源：eurexchange.com）。我们计算了各种时间分数的隐含Black-Scholes波动率和隐含分数Black-Scholes波动率。它们是通过将级数（55）截断为n，m=4和参数μγ的近似值（46）获得的。111表2。

标准普尔500指数看涨期权的隐含波动率罢工看涨价格BS vol f-BS vol（γ=0.8）f-BS vol（γ=0.9）f-BS vol（γ=1.1）900 118.9 0.4708 0.3163 0.3827 0.5900940 92.7 0.4462 0.3066 0.3670 0.5330980 69.5 0.4232 0.2929 0.3493 0.52101020 49.2 0.3976 0.2754 0.3284 0.48911060 32.3 0.3711 0.2557 0.3058 0.45741100 19.5 0.3475 0.2380 0.2857 0.41861150 8.9 0.3279 0.2269 0.2727 0.39381180 5.10.3301 0.2324 0.2789 0.37641220 2 0.3514 0.2514 0.3015 0.36921280 0.25 0.4110 0.2949 0.3544 0.4166 in fig 6我们绘制了表2中获得的0.8的隐含波动率≤ γ ≤1.1. 我们观察到，通常的波动率微笑（即现货价格附近存在一个最小值）得以保持，但当γ>1时，波动率微笑就不那么平滑了。有趣的是，当γ≤1，对于相同的执行价格（与γ无关），可获得最小的隐含波动率。115图6。分数Black-Scholes模型的隐含波动率，（市场价格S=966.3）5。结论116本文讨论了时空分数扩散在期权定价中的应用及其与Black-Scholes模型和有限矩Lévy稳定模型的关系。基于分数扩散的模型能够对风险再分配进行建模，以纳入大幅度下降、记忆效应和异常周期。我们简要介绍了上述所有模型，并基于期权价格和剩余总和股份有限公司的Mellin Barnes积分表示进行了描述。这种数学技术可以克服分数模型的技术困难，这是因为最终价格通常用积分变换（傅立叶、拉普拉斯、梅林）表示，而实际计算非常耗时，只有受过分数阶微积分培训的人才能理解。

2018年2月28日提交给Fractal Fract的任何版本都可以轻松掌握由此产生的系列表示。15名金融从业者中的14名。我们还将这些公式应用于真实金融数据，以证明真实数据中的模型参数、隐含波动率的应用以及波动率微笑的存在。分数模型为金融系统的进一步研究提供了一个富有成果的领域，包括投资组合管理、衍生品定价、商品定价和许多其他可能的应用。边界条件。在某些情况下，例如在分数几何布朗运动的情况下，它将在未来的研究中得到解决。135致谢136捷克科学基金会，批准号17–33812L。M.Abramowitz和I.Stegun，《数学函数手册》。多佛出版社（1972年）。1402.J.-Ph.Aguilar，C.Coste，J.Korbel，《非高斯分析期权定价：利维稳定模型的闭合公式》，2017年，arXiv:1609.00987，提交给暹罗金融杂志1423。J、 -Ph.Aguilar，C.Coste，J.Korbel，《通过时空分数扩散驱动的欧式期权定价公式的系列表示》，2017年，arXiv:1712.04990，提交给FCAA1444。F、 Black和M.Scholes，《期权定价和公司负债》，1973年，《政治经济学杂志》，第5期。M、 Brenner和M.G.Subrahmanyam，《Black-Scholes模型中期权估值和对冲的简单方法》，1994年，《金融分析师杂志》，25-281486。J、 -Bouchaud博士和D.Sornette博士，《数学金融中的Black-Scholes期权定价问题：一大类随机过程的推广和扩展》，1994年，J.Phys。I法国，4863–8811507。五十、 Calvet和A.Fisher，《多重分形波动率：理论、预测和定价》。学术出版社AdvancedFinance，Elsevier（2008）。P.Carr和L。

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