时空分数扩散驱动的期权定价模型：

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英文标题：
《Option Pricing Models Driven by the Space-Time Fractional Diffusion:
  Series Representation and Applications》
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作者：
Jean-Philippe Aguilar, Jan Korbel
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper, we focus on option pricing models based on space-time fractional diffusion. We briefly revise recent results which show that the option price can be represented in the terms of rapidly converging double-series and apply these results to the data from real markets. We focus on estimation of model parameters from the market data and estimation of implied volatility within the space-time fractional option pricing models.
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中文摘要：
本文主要研究基于时空分数扩散的期权定价模型。我们简要修改了最近的结果，这些结果表明期权价格可以用快速收敛的双序列表示，并将这些结果应用于实际市场的数据。我们的重点是从市场数据中估计模型参数，以及在时空分数期权定价模型中估计隐含波动率。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Option_Pricing_Models_Driven_by_the_Space-Time_Fractional_Diffusion:_Series_Repr.pdf (1.37 MB)

2022-6-8 18:21:55 上传

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关键词：期权定价模型 期权定价 定价模型 Mathematical Applications

Article时空分割扩散驱动的期权定价模型：序列表示与应用Jean-Philippe Aguilar1，？，扬·科尔贝尔（Jan Korbel2,3,4）巴黎拉贝岛18号（quai de la Rée，Paris）建模部繁殖的大众银行（Banque Popularire），75012；jean-philippe。aguilar@bred.frVienna，奥地利复合科学中心维也纳，Josefst"adterstrasse 39，1080维也纳，布拉格捷克技术大学澳大利亚核科学与物理工程学院；korbeja2@fjfi.cvut。捷克*通信：jean philippe。aguilar@bred.frAcademic编者：名称版本2018年2月28日提交给Fractal Fract。摘要：本文主要研究基于时空分数扩散的期权定价模型。我们简要修改了最近的结果，这些结果表明期权价格可以用快速收敛的双序列表示，并将这些结果应用于实际市场的数据。我们的重点是从市场数据中估计模型参数，并在时空分数期权定价模型中估计隐含波动率。关键词：时空分数扩散、欧式期权定价、梅林变换、多维复杂分析71。引言8衍生工具的定价，尤其是期权的定价，是数学金融中的一个中心主题。它允许市场从业者估计其投资组合的价值，并构建适当的对冲策略。最流行的期权定价模型是Black和Scholes[]引入的模型，因为其简单（例如，期权价格可以用简单的数学函数表示），并且可以用来暗示市场参数，如交易市场价格的波动率曲面。14另一方面，Black-Scholes（BS）模型的简单性也是其主要局限性。

标的资产的动力学由几何布朗运动描述，因此最终的期权价格由高斯分布给出。这种假设不能很好地描述极端市场事件，例如资产价格的突然上涨，这种情况在高斯世界中发生的频率远远高于预期（例如，参见Taleb[]的畅销书）。这使得布莱克-斯科尔斯公式在异常情况或流动性不足的市场中不太可靠。20在过去几年中，引入了几种模型来更真实地描述市场动态；可以提到制度转换多重分形模型[]，随机波动率模型[]或跳跃（Lévy stable）过程[]。最近，引入了一种基于时空分数扩散的模型[，]，可以看作是Lévy稳定模型的推广；该模型的分析分辨率已在[]中以其定价公式的系列表示形式提供。在本文中，我们简要回顾了这些分析结果（尤其是他们是如何提交给分形分形的，第1-15页www.mdpi.com/journal/fractalfractarXiv:1802.09864v1[q-fin.MF]2018年2月27日版本2018年2月28日提交给分形分形。第2页，共15页恢复以前已知的模型），并测试其在实际市场应用中的效率。我们还讨论了货币近似或隐含波动率的相关主题。28本论文的组织结构如下。在下一节中，我们将介绍期权定价中的一些基本概念，以及在风险中性方法下可归结为时空分数扩散问题的主要模型。这包括BS模型（将经典模型简化为时空分数模型）。

在第4节中，我们介绍了理论结果的各种应用：我们计算了看涨期权价格并将其与实际数据进行比较，我们引入了货币波动率，并讨论了波动率微笑的构造。最后一节是结论。期权价格37提前到期的期权的价格是市场参数的函数，如潜在资产价格S、无风险利率r和市场波动率σ。我们将用v（S，K，r，σ，t）表示该价格。就欧式期权而言，其特点是其收益，即其在行权时的价值T；对于欧洲呼叫，该值等于v（S，K，r，σ，T）=max{S- K、 0}：=[S- K] +（1）[K- S] +即确定V（S，K，r，σ，t）的方法。392.1. 风险中性方法40风险中性或无风险方法基于这样一个想法，即可以构建一个投资组合并销售一定数量的产品（待确定）基础价格，因此投资组合的总价值为∏=V- 因此：d∏=dV- dS（2）另一方面，假设市场不提供套利机会，也就是说，任何无风险投资组合的收益率将与以无风险利率资本化的收益率相同：d∏=r∏dt（3）（2）（3）解一个具有终端条件的偏微分方程。42从更理论的角度来看，在风险中性方法中，价格可以表示为最终收益的贴现预期[20]：V（S，K，r，u，τ）=e-rτEQ[S]- K]+（4） 其中，我们引入了到期时间τ=T- t、 这些期望值将在风险中性测量值下进行，该测量值与原始概率测量值通过Radon-Nikodym导数进行关联：dQtdPt=eSt-ut（5）风险中性参数u可以表示为u=-log EPheSt=1i（6）版本2018年2月28日提交给Fractal Fract。

[10,13]中提供了15个详细信息中的3个。432.2. Black-Scholes模型44在BS模型中，基础资产价格假设为几何布朗运动：dSt=r Sdt+σS dWt（7）。根据It^o引理[19]，期权价格的总差为：dV=五、tdt公司+五、SdS+σS五、Sdt（8） =五、第（7）（2）（3）条五、t+σS五、S+rS五、S- rV=0吨∈ [0，T]V（S，K，r，σ，T=T）=[S- K] +（9）众所周知，随着变量的变化x：=对数S+（r-σ） ττ：=T- tV（S、K、r、σ、t）：=e-rτW（x，K，r，σ，τ）（10）然后Black-Scholes PDE（9）恢复到扩散（或热）方程Wτ-σWx=0（11），这是时间分馏度γ=1，空间分馏度α=2的双分数扩散（22）的特例。众所周知，（11）的格林函数是热核（x，K，r，σ，τ）=σ√2πτe-x2στ（12）Black-Scholes PDE的解（在调用情况下）：V（S，K，r，σ，τ）=e-rτ+∞Z-∞[Se（r-σ） τ+y-K] +g（y，K，r，σ，τ）dy（13）对积分（13）的基本操作屈服值v（S，K，r，σ，τ）=SN（d+）- Ke公司-rτN（d-) d±=σ√τlogSK+rτ±σ√τ（14），其中（.）是正态分布函数；方程式（14）是著名的布莱克-斯科尔斯欧式足球方程式。因此，相应的风险中性参数为uBS=-σ（15）版本2018年2月28日提交给分形分形。第4页，共152.3页。

有限矩Lévy稳定模型45stdst=rStdt+σStdLα，β（t）（16），其中Lα，β（t）是Lévy过程[]。α ∈ [0，2]和β∈ [-1，1]是所谓的稳定性和不对称性，α，β（xt）β=-分布α，-1： =gα在负轴上有一条重尾，在正轴上有另一条尾，一旦α>1，则指数衰减，并且有限的指数动量-λSti=e-λασ√αcosπα（17）这些特殊的Lévy分布有时被称为Lévy Pareto分布；自20世纪60年代曼德尔布罗特（Mandelbrot）和法玛（Fama）的工作以来，人们就知道它们在金融建模中的相关性[，]。已知它们满足空间分数方程：gα（x，t）τ+uDαgα（x，t）=0（18），其中Dα：=α-2Dα是θ=α的Riesz-Feller算子（24）的特例-2、条件θ=α-2是概率条件β=-注意，当α=2时，方程（18）退化为简化的BS方程（11）；相应的看涨期权价格为nVα（S，K，r，u，τ）=e-rτ+∞Z-∞[Se（r+u）τ+y-K] +gα（y，τ）dy（19），其中风险中性参数u来自（17）：u=σ√αcosπα（20）u=-σα=以买入价格（19）方程（18）的快速收敛级数表示形式在[]中提供（见[16]）：如果x>0，则gα（x，τ）=αxc+i∞Zc公司-我∞Γ(1 - t） Γ（1-tα）x(-uτ)α!tdt2iπ0<c<1（21）2.4。时空期权定价模型46，可表示为*Dγt+u[θDαx]g（x，t）=0（22）版本2018年2月28日提交给分形分形。第5页，共15页α∈ (]γ ∈ (α]θ|θ| ≤ 最小值{α，2-α}.*Dγt表示Caputo分数导数，定义为*tDνtf（t）=Γ（dνe- ν） Zttfdνe（τ）（t- τ)ν+1-dνedτ（23）和θdαxdenotes Riesz-Feller分数导数，通常通过其傅里叶图像asF[θdνxf（x）]（k）=-θψν（k）F[F（x）]（k）=-u| k |νei（signk）θπ/2F[f（x）]（k）（24）让我们描述（22）中包含的各种财务模型。

FMLS模型虽然比BS模型更通用，但仍然可以被视为限制性太强；这是因为最大β=-θ = α -市场（尤其是非流动性市场，其中金融资产通常表现出几乎对称的重尾）。然而，由于β6=-1已知期望值（6）存在分歧[]。风险中性参数isLévy过程的事实。在这种情况下，引入了风险最小（而非风险中性）方法（见[]）；推广FMLS模型并保持在风险中性框架内的一个有趣的可能性是，允许时间导数在等式（18）中也是分数的（在Caputo意义上）：*Dγtgα，γ（x，t）+μγ[2-αDα]gα，γ（x，t）=0（25）相应的看涨期权价格现在读取svα，γ（S，K，r，uγ，τ）=e-rτ+∞Z-∞[Se（r+uγ）τ+y-K] +gα，γ（y，τ）dy（26）格林函数也以梅林-巴恩斯线积分的形式已知[16]：gα，γ（x，τ）=αxc+i∞Zc公司-我∞Γ(1 - t） Γ（1-γαt）x(-uγτ)α!对于anyx>0，tdt2iπ0<c<1（27）。与利维稳定价格（19）的主要区别在于，风险中性参数uγ现在取决于时间分馏度γ，与利维稳定情况（20）中的分析结果不同。在[]中，推导出了风险中性参数的有效且简单的级数展开式，以及看涨期权价格的快速收敛级数展开式（26）。在下一节中，我们将详细讨论这些结果，并在实际市场条件下对其进行测试。513.时空分数扩散下定价公式的级数表示52现在，让我们为分数扩散驱动的看涨期权提供一个分析定价公式（25）（详细证明见[3]）。我们假设1<α≤ 2和0<γ≤ α.543.1.

风险中性参数55（6）概率密度gα，γ（y，τ），即：μγ=-日志∞Z-∞eygα，γ（y，τ=1）dy（28）版本2018年2月28日提交给分形分形。第6页，共15页，可通过书写（详见[12]）：gα，γ（x，τ）将计算恢复到非时间分数情况=∞Zgγ（τ，l）gα（l，x）dl（29），其中gγ和gθα是单个分数阶扩散方程的解56gγ（t，l）l=*Dγtgγ（t，l）（30）gα（l，x）l=Dαxgα（l，x）（31）3.1.1。风险中性参数57的梅林-巴恩斯表示已知卡普托方程（30）的解为【11】：gγ（τ，l）=τγMγlτγ（32）其中Mν（z）是Wright类型的函数，允许以下Mellin-Barnes表示[17]：Mν（z）=c+i∞Zc公司-我∞Γ（s）Γ（νs+1-ν） z-sds2iπc>0。（33）在（28）中插入（29）和（33），在积分中间插入（17），我们获得了风险中性参数的Mellin-Barnesrepresentation：μγ=-日志αc+i∞Zc公司-我∞Γ（s）Γ（1-sα）Γ（γs+1-γ） us-1αds2iπ0<c<1。（34）其中u=σ√αsecπα是Lévy稳定情况下的风险中性参数（γ=1），参见公式（20）。583.1.2. 风险中性参数的级数表示59在被积函数在单位时间内快速下降的条件下，可以将垂直线（34）上的积分表示为其分析连续性的剩余值之和。对于Gammafunction，该条件由著名的斯特林近似[1]Γ（x+iy）确定~|x个|→∞|y型|→∞√2π| y | x-e-π| y | x，y∈ R（35）由（35）得出，对于Γ（as+b）型线性变元的伽玛函数，a，b∈ R、 其在实际中的行为取决于a的符号，即：a>0 |Γ（as+b）| s|→∞-→ 0参数s∈ (3π, -π） a<0 |Γ（as+b）| s|→∞-→ 0参数s∈ (-π、 π）（36）版本2018年2月28日提交分形分形。第7页，共15页（36页），很容易推广到线性变元伽马函数乘积的比率。

让我们假设函数f允许梅林变换f*形式：f*（s） =Γ（as+b）。Γ（ans+bn）Γ（cs+d）。Γ（cms+dm）aj、bj、ck、dk∈ R（37）和Mellin变换收敛于一些非空条{Re（s）∈ （c，c）}，所以梅林反演公式成立：f（x）=c+i∞Zc公司-我∞f*（s） x个-sds2iπc∈ （c，c）（38）介绍特征量: =n∑j=0aj-m级∑k=0ck（39）从（36）可以得出 控制f的渐近行为*（s） : > 0 | f*（s） | | s|→∞-→ 0参数s∈ (3π, -π) < 0 | f*（s） | | s|→∞-→ 0参数s∈ (-π、 π）（40）因此，将留数定理应用于反演公式（38）得出： > 0 f（x）=∑Re（s）<cResf*（s） x个-s < 0 f（x）=-∑Re（s）>cResf*（s） x个-s（41）其中{Re（s）>c}或{Re（s）<c}的选择由| x|-在所选的半平面内，sgoes为0。在梅林-巴恩斯表示（34）的情况下，特征量为 = 1.-α- γ（42）且当γ>1时为负值-α（43）根据规则（41），可以将（34）表示为右半平面中的残留物之和（我们之所以选择它，是因为us-当|u|<1时，该半平面中的1α在单位处变为0，这是所有Γ（1）中的情况-sα）每个负整数值-nof它的参数，即在类型的每一点=+αn，n∈ N众所周知，伽马函数在负整数处的余数-nis公司(-1） nn！[]，因此我们得到：μγ=-日志∞∑n=0(-1） nΓ（1+αn）n！Γ（1+γαn）un（44）版本2018年2月28日提交给分形分形。第8页，共15页图1。在第一张图中，我们绘制了不同稳定性参数α下μγ随γ函数的演变∈ [1.6，1]和市场波动率σ=20%。我们只考虑γ>0.38，因此条件γ>-αuγ市场波动率和稳定性参数。，对于不同的分馏度γ值。一旦条件（43）完全满足。

（44）的一个有趣近似值可以很容易地从泰勒近似对数（1+u）“u:61uγ=-日志1.-Γ(1 + α)Γ(1 + γα)u+ . . .\'Γ（1+α）Γ（1+γα）u（45），如预期，当γ=1时，与Lévy稳定风险中性参数u一致。作为一种特殊情况，我们获得了分数Black-Scholes模型（α=2）中风险中性参数的良好近似值：uγ\'-σΓ（1+2γ）（46），恢复到众所周知的高斯参数-σ当γ=1.62时，在图1中，我们绘制了u随参数γ、σ和α的变化曲线；由于序列（44）的指数收敛性，只需考虑序列的前几项即可获得高精度。653.2. 期权价格66[对数]：=logSK+rτ（26）写入：[Se（r+uγ）τ+y-K] +=K[e[对数]+μγτ+y-1]+(47)3.2.1. 期权价格的梅林-巴恩斯表示67（26）（26）格林函数的梅林-巴恩斯表示（27）；第二，我们在（47）中为指数项写了一个梅林-巴恩斯表示：e[对数]+μγτ+y=c+i∞Zc公司-我∞(-1)-tΓ（t）（[对数]+μγτ+y）-tdt2iπc>0（48）版本2018年2月28日提交给分形分形。15绿色变量上的积分是Bêta积分的一种特殊情况，它是向前计算的，可以得到期权价格的表示：Vα，γ（S，K，r，uγ，τ）=Ke-rταc+i∞Zc公司-我∞c+i∞Zc公司-我∞(-1)-tΓ（t）Γ（1- t） Γ(-1.- t+t）Γ（1-γαt）×(-[日志]- uγτ）1+t-t型(-uγτγ)-tαdt2iπ∧dt2iπ（49）向量c：=[c，c]是c多面体的一个元素：={（t，t）∈ C、 0<Re（t）<1，Re（t-68t）>0}，推广了一维梅林变换收敛条的概念。693.2.2. 期权价格的级数表示70双Mellin-Barnes积分（49）也可以表示为余数之和。在一个类似的例子中，我们对风险中性参数进行了计算，其中积分（34）是通过对余数进行右加和来获得序列（44）。