有限流动性下指数期权的静态套期保值定价

正如预期的那样，增加σ会导致投资组合在尾部产生更高的收益（一个跨座），而ν=20则基本上是高斯分布，尾部更细，因此最优投资组合在中位数附近有更高的收益，而尾部的收益更低。基本情况-2.1499σ=0.40-3.5121ν=20-2.2339表4：对应于以下三种不同模型的目标值对数1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600标准普尔500指数-8-6-4-202468支付105Nu=4.83548，sigma=0.0553835nu=20，sigma=0.0553835nu=4.83548，sigma=0.401000 1200 1800 2000 2200 2600标准普尔500指数012345678Nu=4.83548，sigma=0.0553835nu=20，sigma=0.0553835nu=4.83548，sigma=0.40图3：基本情况（实线）、ν=20（虚线）和σ=0.40（虚线）下的基础（底部）和最佳支付（顶部）分布。所有其他模型参数保持不变。0.150.125Sigma0.10.0750.05-0.1-0.050Mu0.05-3.6-3.4-3.2-3-2.8-2.6-2.4-2.20.1Disutility-3.4-3.2-3-2.8-2.6-2.4图4：当ν=∞表4给出了使用图3中的三个基础模型获得的目标值的对数。期望指数效用的对数称为熵风险测度；参见例[5]。我们发现，在根据历史数据估计模型参数的基本情况下，可以获得最高的目标值。对此的一种解释可能是，模型中使用的期权价格与市场参与者对标的资产未来行为的看法相对应。

如果我们使用与这些价格“不一致”的模型，期权价格似乎过于有利的交易机会。为了更系统地探索这一现象，我们用ν=∞ 平均u和波动率σ随时间间隔变化。图4绘制了相应的对数目标值，即熵风险度量作为u和σ的函数。风险似乎是（u，σ）的函数，最大值在（u，σ）=(-0.05, 0.08). 最大值为-2.289.5不同的优先级将（P）的最佳值表示为Д（w，c）：=inf{Ev（c-Xj公司∈JPj（xj））| x∈ D、 Xj公司∈JSj（xj）≤ w} 。对于财务状况为（\'w，\'c）的代理人，出售索赔c的差异价格由πs（\'w，\'c；c）给出：=inf{w |Д（\'w+w，\'c+c）≤ ^1（\'w，\'c）}。这是代理人在不改变其财务状况的情况下出售索赔c的最低价格，以（P）的最佳值衡量。类似地，购买c的差异价格由πb（\'w，\'c；c）：=sup{w |Д（\'w）给出- w、 \'\'c- c）≤ ^1（\'w，\'c）}。我们有πb（\'w，\'c；c）≤ 只要πs（\'w，\'c；0）=0，πs（\'w，\'c；c）就会立即出现。实际上，很容易检查功能C 7→ πs（\'w，\'c；c）是凸的，所以πs（\'w，\'c；0）≤πs（\'w，\'c；c）+πs（\'w，\'c；-c） 而πs（\'w，\'c；-c） =-πb（\'w，\'c；c），定义。我们将差异价格与πsup（c）：=inf{Xj确定的索赔c的超边际成本和分边际成本进行比较∈JSj（xj）| x∈ D、 Xj公司∈JPj（xj）- c≥ 0 P-a.s.}，πinf（c）：=支持{-Xj公司∈JSj（xj）| x∈ D、 Xj公司∈JPj（xj）+c≥ 0每年}。超边际成本是超边际投资组合的最小成本，而次套期保值成本是通过进入超边际c的负值的头寸所能获得的最大收入。

虽然索赔的不同价格取决于我们的财务状况、观点和风险偏好，分别由（w、c）、P和v描述，但超额和分边际成本独立于此类主观因素。在完全市场中，所有索赔c的次级和次级边缘成本都相等，但一般来说，超级和次级边缘成本相差太大，不能被视为索赔的竞争报价。回想一下，如果c:R+→ R是凸函数的差分，那么它的右导数是有界变差的，我们有c（XT）=c（0）+c（0）XT+Z∞（XT）- K） +直流电（K）。这可能表明，支付c可以通过零息票债券的c（0）个单位、基础债券的c（0）个单位以及根据Borel测度（与BV函数c相关）加权的连续看涨期权的买入和持有组合来复制。即使可以任意行使期权的买卖，也不太现实。然而，假设存在所有罢工的报价，c的复制成本将为c（0）PT+c（0）X+Z∞C（K）adc+（K）-Z∞C（K）bdc-（K） ，其中c+和c-分别表示C（K）带C（K）带的正变化和负变化，用strikeK表示买入和卖出价格。鉴于实际市场中报价的数量有限，上述公式可用于设计近似的复制策略。我们将指出，针对差异定价优化的套期保值与上述复制方法的建议大相径庭。差异定价的目标不是近似复制，而是根据给定的报价、风险偏好和给定的基础概率描述优化投资组合。5.1差别价格的数值计算差别价格的定义涉及问题（P）的最优值函数Д，很少能准确评估。

但是，如果我们将最佳值替换为我们能够以数字方式找到的最佳值，那么定义仍然有意义。除了代理人的财务状况、未来观点和风险偏好外，差异价格还取决于代理人在投资组合优化方面的专业知识。在下面的计算中，我们将用第4.1节中所述的数值技术得出的近似值来代替Д。然后，对差异价格的评估转向对w的一维搜索。这可以通过线搜索算法进行数值计算。上边和下边成本的计算归结为求解线性规划问题，其中约束条件要求代理的终端位置在每个场景中都是非负的；参见【7】。在看跌期权和看涨期权的背景下，约束可以用许多线性不平等约束来表示，因为我们知道，连续执行价格之间的净头寸将是线性的。5.2奇异期权定价我们在三种“奇异”期权的定价中使用第3节的优化模型来说明差异定价，即一种带payoff c（XT）=（10000，如果XT≥ K、 如果XT<Ka“二次前进”，且c（XT）=XT，则为0- K |和一个c（XT）=100000 ln（K/XT）的“前向记录”，所有的K=2050。对数远期已用于方差掉期的对冲；参见例[4]。为了与simper期权相比，我们还为具有相同行使权的欧洲看涨期权定价。为了使最后一个案例不重要，我们将调用从hedginginginstruments集中移除。我们计算差异销售价格时假设“w=100000”和“c=0”，也就是说，假设代理人的初始头寸只有100000单位现金。表5给出了差异价格以及超边缘和分边缘成本。在间隔【1005000】上施加过磨边。

很明显，用给定的对冲工具将二次和对数远期与XT的所有正值进行叠加是不可能的。表5中报告的数字是该区间的对冲成本【1005000】。索赔分档买入价卖出价SuperEdgingCall 51.2333 51.7338 51.7399 53.0483数字通话5280.00 6082.35 6160.65 6885.71二次远期20383.68 20979.84 22044.92 24542.01log-forward 322.28 358.49 404.67 499.69表5：差异价格，以及超分档成本。图5-8说明了相应的对冲策略。每个配置在出售期权之前和之后，将最优投资组合与“对冲投资组合”的支付一起作为到期时基础的函数。套期组合定义为差异x- 其中，x和x是期权出售前后的最佳投资组合。1600 1700 1800 1900 2000 2100 220001020Calls 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200罢工-4-202数量（合同）PutsCash0510151042048.75-505Forwards1600 1700 1900 2000 2100 220001020Calls 2048.75-505ForwardsCash0510151041600 1700 1800 1900 2000 2100 2200罢工-4-202数量（合同）Puts1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200标准普尔500指数-2000024004000600080000100012000014000000支付（美元）套期保值投资组合的回报一份履约2050年的看涨期权合约的回报图5：看涨期权出售前（左下）和出售后（右下）的最优投资组合。

顶部面板给出了对冲投资组合的收益（实线）以及定价索赔的收益（虚线）。1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 230001020Calls1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300Strikes-505Quantity（contracts）Puts2048.75-505ForwardsCash0121051500 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300S&P 500 index-4000-200002400600080001012000回报（美元）对冲投资组合的回报带有strike20501500 1600 1700 1800 1900 2000 2200 2200230001020Calls2048.75-505ForwardsCash0121051500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300Strikes-505Quantity（contracts）PutsFigure 6：数字期权出售之前（左下）和之后（右下）的最佳投资组合。顶部面板给出了hedgingportfolio的收益（实线）以及正在定价的索赔的收益（点线）。1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600-20020调用1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 Strokes-1001020数量（合同）Puts2048.75-10-50现金012105Forwards1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600标准普尔500指数202468101214支付（美元）105对冲投资组合的支付一份方形远期合约的支付20501000 1200 1400 1600 2000 2200 2400260001020Calls2048.75-505ForwardsCash0121051000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600Strokes-505Quantity（contracts）PutsFigure 7：出售二次远期之前（左下）和之后（右下）的最佳投资组合。

顶部面板给出了hedgingportfolio的收益（实线）以及正在定价的索赔的收益（点线）。1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 260001020调用1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600Strokes-505Quantity（contracts）Puts2048.75-10-505ForwardsCash0121051000 1200 1600 1800 2000 2200 2400 2600标准普尔500指数-4-2024681012回报（美元）104对冲组合的回报1000 1200 1600 1800 2000 2200 2400260001020Calls2048.75-505ForwardsCash0121051000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600Strokes-505Quantity（contracts）PutsFigure 8：原木期货出售前（左下）和出售后（右下）的最佳投资组合。顶部面板给出了对冲投资组合的收益（实线）以及定价索赔的收益（虚线）。5.3敏感性本节研究差异价格对一些模型参数的敏感性。图9将2000年行使的看涨期权的不同价格绘制为“波动率”σ的函数（因为我们用t分布对基础进行建模，所以对数价格的方差为σν/（ν-2)). 同样，在计算价格时，我们已经从hedgingixtures集合中删除了正在定价的看涨期权。当σ接近其历史估计值0.0554时，差异价格不是单调的，而是达到其最小值。根据看涨期权中间报价，采用经典Black-Scholes模型计算得出的隐含波动率为0.1478.0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2Sigma8585.58686.58787.5买入和卖出最佳买入和卖出价格的无差异价格表9：无差异价格作为波动率的函数。

虚线给出了最佳的出价和询价，而虚线给出了超高和分高成本。图10将差异价格绘制为风险规避的函数。随着风险厌恶情绪的增加，差别价格之间的差距扩大。卖出看涨期权的差别价格对风险规避更为敏感。这似乎很自然，因为做空一个看涨期权会导致无限的下跌风险，除非该看涨期权具有超强的优势。0 0.5 1 1.5 2.5 3风险规避10-58585.58686.58787.5买入和卖出最佳买入和卖出价格的无差别价格单位和次级套期保值成本图10:strike 2000作为风险规避函数的看涨期权的无差别价格。图11说明了差异价格对管理层初始头寸的依赖性。虽然在早期的案例中，代理的初始头寸被假定为仅包含现金，但在这种情况下，我们考虑一个代理同时拥有与定价的相同类型的现金和看涨期权。图11将差别价格绘制为代理人在交易前持有的认购期权数量的函数。正如人们所预料的那样，一个已经拥有期权敞口的经纪人会给期权定价更高。阿塞勒将增加期权支出的风险敞口，而对于买家来说，期权将是一种自然对冲，因此值得支付更高的价格-30-25-20-15-10-5 0 5 10 15 20 25 30看涨期权（合同）的初始头寸8585.58686.58787.5买入和卖出的价格（美元）最佳买入和卖出价格的无差异价格每股和次级套期保值成本图11：以2000履约为初始头寸函数的看涨期权的无差异价格，以说明无差异价格作为我们计算了通话的不同倍数M的价格。

图12将每个期权的差异价格绘制为乘数M的函数。该图还绘制了市场模型中的差异价格，其中假设最佳报价是无限数量的。随着乘数的减小，数量限制变得具有约束力，从而恶化了价格。0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200数量（合同）85.4985.585.5185.5285.5385.5485.5585.5685.5785.5885.59每个选项的价格（美元）无数量限制购买的无差异价格有数量限制购买的差异价格0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200数量（合同）86.386.486.586.786.98787.1每个选项的价格（美元）无差异价格对于无数量限制的销售，有数量限制的销售差价图12：每单位看涨期权的差价作为交易数量的函数。左边是买入价，右边是卖出价。当忽略数量限制6进一步开发时，实线给出了价格。开发的差异定价框架应仅作为可用于投资组合优化的计算技术的说明。该模型可以在实践中以各种方式进行扩展。例如，只要保证金要求作为投资组合的显式凸约束给出，就可以直接将保证金要求作为投资组合约束包含在模型中。人们还可以通过将相关到期日纳入基础概率模型来研究不同到期日的期权。这样一个多周期模型，也可以用于企业动态交易策略的标的和现金。参考文献【1】MOSEK ApS。MATLAB MOSEK优化工具箱手册。版本7.1（第28版）。，2015年【2】H.B–uhlmann。风险理论中的数学方法。

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