有限流动性下指数期权的静态套期保值定价

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英文标题：
《Pricing index options by static hedging under finite liquidity》
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作者：
John Armstrong, Teemu Pennanen, Udomsak Rakwongwan
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We develop a model for indifference pricing in derivatives markets where price quotes have bid-ask spreads and finite quantities. The model quantifies the dependence of the prices and hedging portfolios on an investor\'s beliefs, risk preferences and financial position as well as on the price quotes. Computational techniques of convex optimisation allow for fast computation of the hedging portfolios and prices as well as sensitivities with respect to various model parameters. We illustrate the techniques by pricing and hedging of exotic derivatives on S&P index using call and put options, forward contracts and cash as the hedging instruments. The optimized static hedges provide good approximations of the options payouts and the spreads between indifference selling and buying prices are quite narrow as compared with the spread between super- and subhedging prices.
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中文摘要：
我们开发了一个衍生品市场无差异定价模型，其中报价具有买卖价差和有限数量。该模型量化了价格和对冲组合对投资者信念、风险偏好和财务状况以及价格报价的依赖性。凸优化的计算技术允许快速计算对冲投资组合和价格以及各种模型参数的敏感性。我们使用看涨期权、看跌期权、远期合约和现金作为套期工具，对标准普尔指数上的奇异衍生品进行定价和套期保值，以说明这些技巧。优化的静态套期保值提供了期权支付的良好近似值，无差异卖出和买入价格之间的价差与超级和次级价格之间的价差相比非常窄。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Pricing_index_options_by_static_hedging_under_finite_liquidity.pdf (975.69 KB)

2022-6-8 20:32:04 上传

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关键词：套期保值 流动性 Indifference Quantitative Optimisation

有限流动性下静态对冲指数期权定价John Armstrong、Teemu Pennanen、Udomask Rakwongwan*伦敦国王学院数学系，Strand，London，WC2R 2LS，United Kingdom 2018年3月8日摘要我们开发了一个衍生品市场中的差异定价模型，其中报价具有买卖价差和有限数量。该模型量化了价格和对冲组合对投资者信念、风险偏好和财务状况以及报价的依赖性。凸优化的计算技术允许快速计算对冲投资组合和价格以及各种模型参数的敏感性。Weill通过使用看涨期权、看跌期权、远期合约和现金作为对冲工具对标准普尔指数的奇异衍生工具进行定价和对冲来说明这些技术。优化的静态套期保值提供了期权支付的良好近似值，无差异卖出和买入价格之间的价差与超级和次级价格之间的价差相比非常窄。1简介在不完全市场中，代理机构提供的金融产品价格取决于主观因素，如对潜在风险因素未来发展的看法、风险偏好、财务状况以及*乌多姆萨克。rakwongwan@kcl.ac.uktrading代理人的专业知识。代理人的价格还取决于代理人可以交易其他金融产品的价格，因为这会影响销售产品时（部分）对冲的成本。差异定价原则为将上述因素纳入定价模型提供了一致的方法。关于交易成本下未定权益的不同定价的经典参考文献是[6]。

在保险行业，市场完整性将是一个不现实的假设，差异定价似乎有更长的历史；参见例[2]。[3]中提供了更多参考文献。差异定价建立在最佳投资模型的基础上，该模型描述了金融市场的相关部门以及代理人的财务状况、观点和风险偏好。现实模型通常很难解决，就像它们描述的投资问题一样。本文开发了一个计算框架，用于S&P500指数上欧式期权的差异定价。与通常的指数和现金账户动态交易不同，我们将指数期权作为对冲工具。为了便于实施，我们在期权中只考虑买入并持有策略，但我们将实际市场报价作为交易成本。对于最接近到期日的债券，大约有200个具有相当流动性报价的债券。这导致了一个具有一维不确定性但有400多个决策变量的对流随机优化问题。该模型采用离散化和凸优化内点求解器进行数值求解。给定支出的差异价格在几秒钟内就能找到，因此很容易研究代理人对差异价格的看法、风险偏好和财务状况的影响。与Breeden–Litzenberger公式非常相似，差异定价提供了对所报看涨期权价格的自动校准。虽然Breeden–Litzenberger公式仅在实际市场中提供启发式近似值，只有有限的罢工次数和有限的流动性，但在报价、代理观点和偏好的情况下，差异法可以找到最佳的静态对冲。此外，差异法可以明确控制不完全市场中的对冲误差。

与Breeden-Litzenberger公式所建议的不同，我们发现，在存在买卖价差的情况下，最优对冲通常是非常压缩的期权组合，仅在少数几次交易中持仓。在实践中实施对冲时，这是一个巨大的好处。虽然Breeden–Litzenberger公式仅适用于支付与基础凸函数不同的期权，但差异定价同样适用于不连续支付，如数字期权。2市场我们研究具有共同到期日和付款的或有交易所交易债权，这些付款仅取决于T时标准普尔500指数的价值。这包括看跌期权和看涨期权、远期合约和现金。一般来说，现金的借贷利率是不同的，因此现金的支付与所持头寸无关。同样，市场上可用的远期利率取决于做多还是做空。另一方面，对于期权，持有的每单位支出与头寸无关。持有x的报酬∈ 表1给出了资产的R单位。资产支付，x个单位heldCash min{eraTx，erbTx}Forward min{（XT- Ka）x，（XT- Kb）x}调用max{（XT- K） ，0}xPut max{（K- XT），0}XT表1：持有x个资产单位的收益。这里，Ra和Rb以及借贷利率分别是到期时的基础价值，Ka和Kb分别是多头和空头头寸的远期价格，K是期权的执行价格，而期权的支付在头寸中是线性的，进入头寸的成本取决于单位x。对于多头头寸x>0，一方支付要价，而对于空头头寸，一方获得出价。购买x单位现金的成本仅为x，而远期则为零。对于每份合同，市场报价都有明确的数量。

对于最近的到期日，人们可以在标准普尔500指数上找到约400个期权的报价。表2给出了2016年4月8日14:55:00对2016年6月17日到期的合同的报价示例。股票类型买入数量买入价格卖出价格卖出数量M6指数远期258 2048.75 2049 377SPX US 2016年6月17日C2095指数看涨623 26.90 28.20 506SPX US 2016年6月17日P2095指数卖出27 72.60 74.70 22表2：2016年4月8日14:55:00的远期市场报价、2016年6月17日到期的看涨期权和看跌期权。对于远期，买入和askprice报价分别是进入空头或多头头寸的远期价格。数据摘自彭博社。3投资组合优化模型对于给定的初始财富和现金、远期和期权报价，我们的目标是找到一个在到期时具有最佳净回报的投资组合。一般来说，支付效率将取决于到期时基础资产的价值，因此，最优水平将取决于我们对不确定支付的风险偏好。投资组合的最优水平还取决于我们的财务状况，这可能涉及到时间T的不确定现金流。我们将用w表示我们的初始财富∈ R并假设我们的财务状况要求我们在时间T支付c单位的现金。所有交易资产（现金、远期、期权）的集合用J表示。购买X资产J的成本∈ J由J（xj）给出：=（sjaxjif xj≥ 0，sjbxjif xj≤ 0，其中sjb≤ SJARE是j的出价和要价。如果j是现金，我们只需要sjb=sja=1，而对于远期合约，sjb=sja=0。最佳报价的有限数量意味着xjone在最佳可用性条件下可以接受资产j的头寸分别有上下限Qja和qjb。

例如，表2中远期合约的报价意味着qja=377，而qjb=-我们将表示持有资产j的xjunits的支出∈ Pj的J（xj）。函数Pjare如表1所示。我们将到期时的基础价值XT建模为随机变量，以便在远期和期权的情况下，Pj（xj）也将是随机的。我们将假设交易前的财务状况要求我们在到期时交付随机金额的现金。用预期效用对我们的风险偏好建模，投资组合优化问题可以写成最小化Ev（c-Xj公司∈JPj（xj））超过x∈ D主题toXj∈JSj（xj）≤ w、 （P）式中：=Yj∈J[qjb，qja]是可行投资组合的集合，E表示期望值，v（c）：=-u型(-c） u是效用函数。在[5]的术语中，v:R→ R是aloss函数。v的论点是索赔c中未加对冲的部分。除了可用数量外，还可以在限制条件中包括各种保证金要求。很明显，问题（P）是高度主观的。其最佳价值和解决方案取决于我们的o初始现金w和负债c所描述的财务状况，o概率模型所描述的基本XT观点，o损失函数v所描述的风险偏好。将在以下章节中对依赖性进行数值研究。在未定权益定价中，主观因素将反映在我们愿意进行权益交易的价格中。主观性是实际交易背后的驱动力，但它被传统的风险中性定价模型所忽视。（P）的另一个重要特征是，只要损失函数v是凸的，它就是一个凸优化问题。凸性仅仅意味着我们厌恶风险。

凸性在（P）的数值解以及基于（P）最优值的差异价格的数学分析中至关重要。4数值投资组合优化问题（P）数值解的第一个挑战是，目标是以积分的形式给出的，一般来说，积分不允许数值优化例程处理的闭合形式表达式。然而，在负债c仅取决于到期时基础价值的应用中，积分是一维的，可以很容易地用积分求积来处理。在下面的应用程序中，我们将研究以到期时的基础价格为条件的债券定价和套期保值。我们将通过高斯-勒让德求积近似期望值，从而得出一个目标，即投资组合向量x的凸函数的有限和。我们将通过将每项资产中的头寸写为多头和空头头寸之和，将预算约束重新表述为两个线性不等式约束。也就是说，xj=xj+- xj公司-, 其中xj+和xj-被限制为正值。这导致了一个目标和约束由光滑函数表示的不等式约束凸优化问题。该问题有884个变量和1769个约束。由此产生的问题用MOSEK[1]的内点解算器求解，该解算器适用于大规模凸优化问题。

在MATLAB中建立优化问题的站姿平均需要11.20秒，在装有Intel（R）Core（TM）i5-4690 CPU@3.50GHz处理器和8.00 GB内存的PC上用MOSEK解决该问题需要4.30秒。4.1报价、观点和优先权我们使用2016年6月17日到期的标准普尔500指数期权报价。该报价于2016年4月8日下午2:55:00pm从彭博社获得，当时标准普尔500指数为2056.32。最佳报价中的可用数量按批次大小给出，其中货代为50，选项为100。借贷利率分别为0.0043和0.03，相当于当时提供最优惠利率的1个月伦敦银行同业拆借利率和约克郡银行的借款利率。作为一个基本情况，我们利用学生t分布和尺度参数σ以及自由度ν（根据25年的每日历史数据估计）对标准普尔指数的对数进行建模。平均u设置为零。稍后将研究改变参数的影响。uσν0.0000 0.0554 4.8355表3：用于模拟成熟度指数值的学生t分布参数。对于目标，我们使用损失函数v（c）=eλc/w，其中w是初始财富，λ>0是风险规避参数。换句话说，风险偏好是用指数效用来描述的。应该注意的是，一般来说，到期时的净头寸可以是正值也可以是负值，这会阻止使用具有恒定相对风险规避的效用函数。示例中使用的初始财富w=100000美元。4.2结果图1说明了使用两种不同的TRISK厌恶，λ=2（蓝线）和λ=6（红线）获得的优化投资组合。底部的面板显示了最佳投资组合，其条形图对应于资产中的最佳头寸。

左上角绘制了相应的支付函数作为到期指数的函数，右上角绘制了支付函数分布的核心密度估计值（使用10000000个到期指数模拟值计算）。正如预期的那样，较高的风险厌恶会导致带有较细左尾的支付分布。与风险厌恶程度较低的代理人的投资组合相比，增加风险厌恶程度会导致最优投资组合中的数量减少。1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600-505200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600罢工-101数量（合同）Puts2048.75-2-101现金12012105转发1200 1600 1800 2000 2200 2400 2600标准普尔500指数-10123456支付105风险规避=0.00002风险规避=0.00006-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5标准普尔500指数X10500.20.40.60.8110-4风险规避=0.00002风险规避=0.000061200 1800 20002200 2400 260001020Calls2048.75-505ForwardsCash0121051200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600Strikes-505Quantity（合同）PutsFigure 1：风险规避分别为λ=2和λ=6时获得的最佳投资组合（底部），最优投资组合的收益作为到期指数的函数（左上）和最优投资组合的收益分布的核密度估计（右上）。最优投资组合的一个有趣的特征是，在400多个报价期权中，它们是稀疏的，最优投资组合在不到10个期权中具有非零头寸。这可以通过报价、买入价和卖出价之间的价差来解释。为了进一步说明这一点，我们通过优化问题的两个变量，重复了风险规避λ=2的优化。在第一种情况下，我们通过在所有交易中增加10%的交易成本来增加买卖价差，在第二种情况下，我们将买入价和卖出价都设置为中间价。结果如图2所示。

交易成本的增加使得最优投资组合只发生了轻微的变化，而消除买卖价差则产生了巨大的影响，因为在几乎所有的报价期权中都有大量头寸。对于许多选项，采取可用的BID/ask数量所允许的最大位置是最佳的。0 500 1000 1500 2000 2500-200002000调用0 500 1000 1500 2000 2500罢工-200002000数量（合同）Puts2048.88-400-20002000现金051015104转发0 500 1000 1500 2000 2500标准普尔500指数5051015200支付1051000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2600标准普尔500指数10123456支付1051000 1200 1800 2000 2200 2600-1001020调用1000 1200 1600 1800 2000 2200 2400 24002600Strokes-2-101数量（合同）Puts1833 1833.5 1834-5000500Cash012105Forwards图2：所有交易增加10%交易成本时的支付和最优投资组合（左），以及通过将买入价和卖出价设置为中间价（右）来忽略买卖价差时的支付和最优投资组合，以研究观点对最优投资组合的影响，在改变基础t分布的参数后，我们重新优化了投资组合。风险厌恶保持在λ=2。图3绘制了三种情况下最优投资组合的支付。第一个是图1所示的基本情况。第二个if通过将比例参数σ增加到0.40获得，第三个if通过将自由度ν增加到20获得。