限价订单市场中随机波动的交易策略

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英文标题：
《Trading Strategy with Stochastic Volatility in a Limit Order Book Market》
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作者：
Wai-Ki Ching, Jia-Wen Gu, Tak-Kuen Siu and Qing-Qing Yang
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this paper, we employ the Heston stochastic volatility model to describe the stock\'s volatility and apply the model to derive and analyze the optimal trading strategies for dealers in a security market. We also extend our study to option market making for options written on stocks in the presence of stochastic volatility. Mathematically, the problem is formulated as a stochastic optimal control problem and the controlled state process is the dealer\'s mark-to-market wealth. Dealers in the security market can optimally determine their ask and bid quotes on the underlying stocks or options continuously over time. Their objective is to maximize an expected profit from transactions with a penalty proportional to the variance of cumulative inventory cost.
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中文摘要：
本文采用赫斯顿随机波动率模型来描述股票的波动性，并应用该模型推导和分析证券市场中交易商的最优交易策略。我们还将我们的研究扩展到存在随机波动的股票期权的期权做市。从数学上讲，该问题被表述为一个随机最优控制问题，受控状态过程是经销商的市值财富。证券市场上的交易商可以在一段时间内连续不断地确定其对基础股票或期权的买卖报价。他们的目标是从交易中获得最大的预期利润，并根据累计库存成本的差异按比例进行处罚。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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关键词：交易策略 Quantitative Transactions proportional Mathematical

限价订单市场中随机波动的交易策略*贾文古+Tak Kuen SiuQingqing Yang§Abstracts本文采用赫斯顿随机波动率模型[13]来描述股票的波动性，并应用该模型推导和分析证券市场中交易商的最优交易策略。我们还将我们的研究扩展到期权市场，即在存在随机波动的情况下，股票期权的制作。数学上，该问题被表述为一个随机最优控制问题，受控状态过程是经销商的市值财富。证券市场的交易商可以在一段时间内连续不断地确定其对基础股票或期权的买卖报价。他们的目标是最大化交易的预期收益，并根据累计库存成本的差异按比例收取罚金。关键词：买卖价格、动态规划（DP）、汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程、限价指令簿（LOB）、市场影响、期权、随机波动率（SV）模型。1、简介20世纪90年代末，对限价订单簿（LO B）市场中经销商的最优交易策略进行了广泛研究，详细调查见【12】。Ho和Stoll（1981）[14]提供了一项关于垄断经销商在单一股票情况下行为的早期研究。Avellaneda和Stoikov（2008）[3]提出了*通讯作者。香港薄扶林道香港大学数学系高级建模和应用计算实验室。电子邮件：wching@hku.hk.+丹麦哥本哈根大学数学科学系。电子邮件：jwgu。hku@gmail.com.澳大利亚新南威尔士州悉尼麦格理大学商业与经济学院应用金融与精算研究系，邮编2109。

电子邮件：ktksiu2005@gmail。com§香港薄扶林道香港大学数学系高级莫德林和应用计算实验室。电子邮件：kerryyang920910@gmail.com.LOB通过利用其统计特性以及Ho和Stoll的效用框架。Gu’eant et al.（2012）[9]提供了当领导者愿意清算投资组合时，最优报价的简单且易于计算的表达式。关于期权做市，最近的研究包括，例如，[11]和[18]。由于具有可分割性、理论和经验吸引力，似乎大多数研究（参见示例[18，22]）可能基于以下假设，即基础证券的波动性随时间保持不变，或者独立于基础证券价格水平的变化。然而，经验特征，例如杠杆效应、时间尺度方差、波动率微笑、均值回复和波动率聚类，对市场微观结构背景下波动率的稳定性提出了质疑。有一些研究，如[5]详细调查，研究了波动率的建模，如[6、1、2、17、20、21]，其中主要讨论了非恒常波动率模型的类别，包括1。依赖于时间的确定性波动率σ（t），2。局部波动率：波动率取决于股票价格σ（St），3。随机波动率：由附加随机过程σ（w）驱动的波动率。本文采用Heston的均值回复随机波动率模型（对应于算术布朗运动）来建立我们的模型dSt公司=√νtdWtdνt=θ（α- νt）dt+ξ√νtdbt其中wt和bt是相关的标准布朗运动。

在此背景下，我们主要研究限制订单簿（LOB）市场中最优交易的三个不同方面。首先考虑具有随机波动性的LOB中的经销商报价策略。我们采用渐近展开和线性近似相结合的方法，将得到的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程简化为一系列偏微分方程（P.D.E.s），可以使用Feynman-Kac公式求解。研究和讨论了精确值函数和近似值函数以及引号之间的差异。其次，通过考虑市场影响，我们将模型扩展到更一般的情况。分析了三种不同类型的市场影响模型，以阐明交易策略与市场影响之间的关系。第三，研究了随机波动率下的期权做市策略。赫斯顿的模型与其他随机波动率模型不同，因为存在一个考虑股票价格和波动率之间相关性的欧式期权解析解[13]。在这种情况下，由于波动来源的不确定性，市场是不完整的。在考虑随机波动引起的风险的市场价格后，将最优控制问题转化为求解HJB方程的问题，然后使用相同的方法获得近似解。在期权做市的情况下，与Stoikov和Saglam【18】的工作不同，随机波动模型中的无套利价格用于设定期权的中间价格。然后根据期权中间报价确定期权的最优买入价和卖出价。我们注意到，股票波动率模型中的市场是不完整的，期权有不止一个无套利价格，因此，期权中间报价。

在其他wo r D中，期权中间报价取决于风险的市场价格，由期权中间报价确定的最优买卖报价也是如此。这篇论文的组织结构如下。在第二节中，我们介绍了一个随机波动的基本模型，在此模型下我们研究了股票做市环境下的最优交易策略。然后，在第3节中，通过将市场影响因素（也可以视为逆向选择）纳入其中，对该模型进行了推广。本文分析了三种不同类型的模型，以探讨最优交易策略与市场影响之间的关系。在第4节中，我们重点讨论了随机波动性金融市场中期权的最优交易策略。本节研究了股票做市和同时在股票上写入期权的情况，以及Delta对冲期权的做市情况。第5.2节给出了最终结论。技术创新彻底改变了交易商的角色，特别是随着纳斯达克Inet等电子交易所的发展。订单放在自动和电子订单驱动的平台上，等待限额订单簿（LOB）执行。2.1模型设置在本节中，我们考虑一个模型来研究随机波动性对交易商最佳交易策略的影响。我们假设股票的中间价随着时间的推移按照随机波动的算术布朗运动演化。更具体地说，此处采用了赫斯顿均值回复随机波动率模型：（2.1）dSt公司=√νtdWtdνt=θ（α- νt）dt+ξ√νtdBt。这里，dνt建模过程或起源于CIR兴趣区过程[4]。在托氏微分方程中，θ、α和ξ是正常数。

和{Bt}和{Wt}是两个标准布朗运动，具有常数相关系数ρ，因此Wt=ρBt+p1- 其中{Bt}和{Bt}是两个独立的布朗运动。在[12]和其中的参考文献中，指出在巴黎交易所[6]、富时100指数[21]和纽约证券交易所[20]等多种市场中，已观察到实际的中间价格波动率之间存在强烈的负相关，即杠杆效应，我们的随机波动率模型可以很好地捕捉这一特征。在公式（2.1）中，漂移项为零，这意味着我们没有关于实际价格变动方向的信息。事实上，在短期内，这种漂移通常并不显著。设（St，νt，Wt，Bt）=（s，ν，0，0）为初始状态。随机波动率模型的一些特点如下：（i）虽然等式（2.1）不存在闭式解，但该模型可以确保波动率始终为非负。直觉上，当νtreaches为零时，dBtvanishes和正漂移项的系数将推动波动性返回到正territor y。当考虑长期策略时，重要的是考虑几何而不是算术布朗运动。然而，我们关注的是LOB中的交易策略，即高频和短期交易。因此，总的分形价格变化很小，算术和几何布朗运动之间的差异可以忽略不计。（ii）标准计算得出：（2.2）Et[νu]=e-θ（u-t） ν+α1.- e-θ（u-t）.特别是，我们有Limu→∞Et【νu】=α，即α是长期波动率的平均值，θ是波动率r相对于其长期平均值的速率。

我们还有（2.3）Var[νu | Ft]=ξθνe-θ（u-t）- e-2θ（u-t）+αξ2θ1.- 2e类-θ（u-t） +e-2θ（u-t）.特别是，我们有Limu→∞Var[νu | Ft]=αξ2θ。有关这些备注中标准计算的更多详细信息，请参阅附录A1.2.2状态反馈控制问题。在本节中，我们将使用上述设置来分析股票市场中投资者的最佳交易策略。2.2.1国家和控制部门考虑LOB市场中的活跃经销商，除了规定的最低价格外，还应在时间t报出投标价格PBT和要价patat nocost。经销商承诺以这些价格分别购买和出售一股股票。当有买卖订单时，现金财富Xt就会跳跃，（2.4）dXt=patdNat- pbtdNbtwhere Nbtand nater表示经销商在时间t之前买卖的股票数量。假设它们是独立的泊松过程，分别为λbt和λa。持有的股票数量由qt=q+Nbt给出-纳特。此外，到达经销商的买卖订单的到达率取决于与当前市场价格δat=pat的距离-s和δbt=s-pbt，这可以解释为经销商在LOB市场上出售和购买一个单位股份的前提条件。

Avellanda和Stoikov（2008）[3]汇总了LOB的所有统计信息，并得出了交易强度，其参数形式如下：λb（δ）=λa（δ）=a exp(-kδ）。按市值计价的财富，Xt+qtSt，然后是d（Xt+qtSt）=δatdNat+δbtdNbt |{z}+qtdSt |{z}。（收入）（发明人y值）注意，E【qtdSt】=0，E【Xt+qtSt】=E【δatdNat+δbtdNbt】，即交易的预期收入等于按市值计价财富的预期超额回报（更多详情，请参阅附录A2）。表示dzt=δatdNat+δbtdnbt和dIt=qtdst，其中{Zt}，{It}分别表示交易收入和存货价值。2.2.2 LOB市场的目标是在t时间（A短时间）之前清算q股订单。如果q订单在时间T未完全执行，则他必须以市场价格出售未执行的订单，并支付一定的清算费用，β/股。我们假设经销商将最大化预期的按市价计价财富，并因库存价值的不确定性而产生一个惩罚条款。在任何时候，我们都可以通过解决以下优化问题来找到最佳策略：max（δau，δbu）u∈[t，t]净[ZT- βqT]-γVar[IT | Ft]o实际上是一个随机状态反馈控制问题，而{IT}的鞅性质为我们提供了一种进一步简化该优化问题的方法。因此，我们可以找到ZT的最佳策略- βqt+最大值（δau，δbu）u∈[t，t]EtZTt（δau+β）dNau+（δbu- β） dNbu公司-γZTtquνudu.模型中的一个关键量是（2.5）V（qt，νt，t）=max（δau，δbu）u∈[t，t]EtZTt（δau+β）dNau+（δbu- β） dNbu公司-γZTtquνudu.我们将其表示为我们的值函数。

即使实际值函数为Zt- βqt+V（qt，νt，t），给出截至时间t，Zt的所有信息-βqt没有提供任何关于未来状态的有用信息，所以我们只在这里定义这个术语。模型中的另一个关键量是（2.6）（δ*,au，δ*,bu）u∈[t，t]=arg max（δau，δbu）u∈[t，t]EtZTt（δau+β）dNau+（δbu- β） dNbu公司-γZTtquνudu这是一个与时间和状态相关的最优反馈控制过程。命题2.1假设值函数（2.5）是充分光滑的，（即V∈ C1,2）。然后，值函数满足以下g HJB方程：（2.7）Vt+θ（α- ν） Vν+ξνVν-γqν+λa处的最大δ（δat）[δat+β+V（q- 1，ν，t）- V（q，ν，t）]+最大δbtλb（δbt）[δbt- β+V（q+1，ν，t）- V（q，ν，t）]=0，边界条件V（q，ν，t）=0。证明：见附录B1。推论2.2任何时间t的最优控制由（2.8）（δ）给出*,at，δ*,bt）（qt，νt，t）=-λatλat/δat- β+V（qt，νt，t）- V（qt- 1，νt，t），-λbtλbt/δbt+β+V（qt，νt，t）- V（qt+1，νt，t）其中v值函数v（q，ν，t）满足以下PDE（2.9）Vt+θ（α- ν） Vν+ξνVν-γqν-（λat）λat/δat-（λbt）λbt/δbt=0，边界条件V（q，ν，T）=0。证明：取式（2.7）中的一阶最优性条件。2.3最优报价在本节中，我们重点讨论最优控制的计算，这可以通过直观的两步程序得出。首先求解公式（2.9），然后求解公式（2.8）。主要的计算困难在于求解公式（2.9），因为它不仅包含连续变量t和ν，还包含离散变量q。然而，由于我们选择了“均值-方差”目标函数，我们能够通过库存变量q中V（q，ν，t）的无符号展开来简化问题，库存变量q是一个近似的二次多项式。

在解决问题之前，我们首先分析一个极端情况。示例2.1对于在标记e中没有任何限制命令的非活跃经销商，其仅持有q s toc k s库存，直到终端时间T，w e有dZt≡ 0和Qt≡ q、 n，由公式（2.5）（2.10）V（qt，νt，t）=-γEtZTtqνudu= -γZTtqtEt[νu]du=-γqt2θ（νt- α)1.- e-θ（T-t）-γqtα（T- t） 它与ξ无关。我们注意到当ξ=θ=0时，我们有dSt=√νdWtand（2.11）V（q，ν，t）=-limθ→0γqt2θ（νt- α)1.- e-θ（T-t）+γqtα（T- t）= -γqtνt（t- t） 。这是LOB中最简单的交易策略。通过本节，我们将采用该策略作为与其他策略进行比较的基准。定理2.3假设到达交易方的买卖订单到达率呈指数形式：λa（δ）=λb（δ）=a exp(-kδ）对于主动决策者，导出的最优询价和报价（δa，*t、 δb，*t） 可近似为（^δa，*t、 ^δb，*t） 在[3]中的近似处理下，由^δa，*t=k- β -γ2θ（νt- α)[1 - e-θ（T-t） ]+γα（t- t）（2夸脱- 1） ，δb，*t=k+β+γ2θ（νt- α)[1 - e-θ（T-t） ]+γα（t- t）（2qt+1）。此外，|δa，*t型-^δa，*t |<< 1和|δb，*t型-^δb，*t |<< 1、近似值函数i由▄V（qt，νt，t）=-γqtνt（t- t） 这等于非活动经销商的价值函数和活动经销商的实际价值函数满足度（qt，νt，t）≤ V（qt，νt，t）≤V（qt，νt，t）+c（t- t） 其中c i是一个正常数。证明：见附录B2。例2.2让我们把一个非正规经销商作为一个e x样本来承担风险。