解读经济复杂性

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英文标题：
《Interpreting Economic Complexity》
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作者：
Penny Mealy, J. Doyne Farmer and Alexander Teytelboym
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Two network measures known as the Economic Complexity Index (ECI) and Product Complexity Index (PCI) have provided important insights into patterns of economic development. We show that the ECI and PCI are equivalent to a spectral clustering algorithm that partitions a similarity graph into two parts. The measures are also related to various dimensionality reduction methods and can be interpreted as vectors that determine distances between nodes based on their similarity. Our results shed a new light on the ECI\'s empirical success in explaining cross-country differences in GDP/capita and economic growth, which is often linked to the diversity of country export baskets. In fact, countries with high (low) ECI tend to specialize in high (low) PCI products. We also find that the ECI and PCI uncover economically informative specialization patterns across US states and UK regions.
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中文摘要：
经济复杂性指数（ECI）和产品复杂性指数（PCI）这两个网络指标为经济发展模式提供了重要的见解。我们证明了ECI和PCI等价于将相似图分为两部分的谱聚类算法。这些度量还与各种降维方法相关，可以解释为基于相似度确定节点之间距离的向量。我们的结果为ECI在解释GDP/人均和经济增长的跨国差异方面的经验成功提供了新的线索，这通常与国家出口篮子的多样性有关。事实上，ECI高（低）的国家往往专注于高（低）PCI产品。我们还发现，ECI和PCI揭示了美国各州和英国地区的经济信息型专业化模式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Economics        经济学
二级分类：General Economics        一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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关键词：复杂性 Quantitative economically Interpreting Contribution

解读经济复杂性*J、 Doyne Farmer+Alexander Teytelboym2018年9月18日摘要两项网络指标，即经济复杂性指数（ECI）和产品复杂性指数（PCI），为经济发展模式提供了重要见解。我们证明了ECI和PCI等价于将相似图分为两部分的谱聚类算法。这些度量还与各种降维方法相关，可以解释为根据节点之间的相似性确定节点之间距离的向量。我们的结果为ECI在解释GDP/人均和经济增长的跨国差异方面的理论成功提供了新的线索，这通常与国家出口篮子的多样性有关。事实上，ECI高（低）的国家往往专注于高（低）PCI产品。我们还发现，ECI和PCI揭示了美国各州和英国地区的经济信息专业化模式。*英国牛津大学圣埃德蒙霍尔分校史密斯企业与环境学院牛津马丁学院新经济思维研究所+英国牛津基督教堂学院数学系牛津马丁学院新经济思想研究所英国牛津大学牛津马丁学院新经济思想研究所圣凯瑟琳学院经济学系。1引言全球贸易网络的结构特性可以解释各国经济发展的差异【16、35、5、11、31、33】。

最近引入了一种称为经济复杂性指数（ECI）和产品复杂性指数（PCI）的新的pairof度量方法，以从各国的出口篮子中推断出有关各国生产能力的信息【16，11】。这些指标在解释GDP/人均的跨国差异和预测经济增长方面尤其成功。然而，这些指数的精确数学和经济解释一直难以捉摸。在本文中，我们证明了经济复杂性度量在数学上等价于经典的谱聚类算法，该算法将相似图划分为两个内部相似和外部不相似的平衡分量[32]。ECI和PCI也可以被解释为降维方法，它与DiffusionMaps（27）和对应分析（24、10、37、3、17）有着密切的联系。从降维角度来看，这些方法根据节点之间的相似性确定了图中节点之间的距离。例如，当应用出口数据时，ECI（PCI）将国家（产品）放在一维区间上，这样具有相似出口（出口商）的国家（产品）紧密相连，而具有不同出口（出口商）的国家（产品）相距遥远。我们的数学解释对比了之前对经济复杂性度量的概念描述，这些概念描述倾向于将ECI定义为与一个国家能够有竞争力地出口的产品的多样性（或数量）相关[16、11、26、9]。ECI不仅在数学上与多样性成直角[19]，我们还表明它捕获了多样性没有表现出来的独特、经济上显著的信息。当应用于出口数据时，ECI和PCI揭示了各国惊人的专业化模式。

高ECI国家（往往更富有）专注于高PCI产品，而低PCI国家（往往更贫穷）专注于低PCI产品。此外，高ECI国家的出口篮子比低ECI国家的出口篮子更加同质。因此，虽然多样性提供了关于有多少产品市场具有竞争力的信息，但ECI和PCI揭示了高收入和低收入国家专注于什么类型的产品。我们的结果还允许我们将ECI和PCI扩展到贸易数据以外的数据集。我们提供了有关英国地方当局工业就业集中度和美国各州职业就业集中度的区域数据。我们发现，值得注意的是，英国地方当局和美国各州的ECI与地区人均收入密切相关。此外，我们还表明，ECI和PCI显示出类似的专业化模式，而多样性并不能提供经济信息。2 ECI和PCITH ECI和PCI度量值是使用一种算法计算的，该算法对一个二进制国家产品矩阵M进行运算，矩阵中的元素Mcp由国家c和产品p索引【16】。如果c国在产品p中具有竞争力或显示的比较优势（RCA）>1，则Mcp=1，其中RCA是使用巴拉萨指数[2]计算的，根据CACP=xcp/PPXCPCxCP/PcPpxcp，（1）其中，c国的产品p出口Mcp=0。将M的行和列相加，得出一个国家的多样性（表示为k（0）c）和产品普遍性（表示为k（0）p），定义为ask（0）c=XpMcp（2）和k（0）p=XCMP。（3） ECI和PCI最初是通过一种迭代的、自参考的反射算法来定义的，该算法首先计算多样性和普遍性，然后递归地使用其中一种信息来纠正另一种[16]（参见方法）。

然而，可以看出[5，7]，反射法等同于求矩阵的特征值，矩阵的行和列与国家对应，其条目由FMCC给出≡xpmcpmpcpk（0）ck（0）p=k（0）cxpmcmcpk（0）p.（4）等价地，我们可以用矩阵符号fm=D来写efm-1亩-1M，（5）其中D是由国家多样性值向量形成的对角矩阵，U是由生产普遍性值向量形成的对角矩阵。当应用于国家贸易数据时，人们可以将offM视为一个多样性加权（或标准化）相似矩阵，反映两国出口篮子的相似程度。此外，从式（5）中，我们可以看到fm=D-1S，（6），其中S=μ-1是一个对称的相似矩阵，其中每个元素c表示国家c与国家c的共同产品，通过每个产品普遍性的倒数进行加权。由于CEFM是一个行随机矩阵（其行和为1），其条目也可以被解释为马尔可夫转移矩阵中的条件转移概率【16，19】。ECI定义为与第二大右特征值OFM相关的特征向量。该特征向量确定了由马尔可夫转移矩阵（见SM）描述的随机行走所达到状态的平稳概率之间的“差异距离”。PCI是通过转换国家产品矩阵X M并找到第二大右特征值C M对称定义的，C M=U-1MD-1米。（7） 在本文中，我们用ey[2]表示ECI向量，用ey[2]c表示cis国家的ECI。我们还用d表示多样性向量，其中dc=k（0）cis表示c国家的多样性。此外，我们注意到，ECI通常通过减去平均值并除以标准偏差来进行标准化，以便跨年比较[16，11]。

然而，为了清楚起见，我们在本文中使用了非标准ECI向量。3结果ECI通常以多样性来描述。这源于最初推动这项措施构建的假设：繁荣的国家很可能能够有竞争力地出口多种产品，而很少有其他国家能够有竞争力地出口这些产品【16，11】。最近的论文将ECI描述为“多样性指标”【26，第1页】和“经济多样性衡量指标”【9，第1596页】。然而，ECI在数学上与多样性正交[19]。也就是说，多样性和ECI向量的点积为零。ECI也被描述为“标准特征值中心算法”【26，第1页】。然而，这种描述也不准确，因为与ECI相比，特征向量中心性被定义为与对称邻接矩阵的最大特征值相对应的特征向量，如S.3.1解释为谱聚类。我们现在表明，ECI在数学上等同于用于划分无向加权图的标准谱聚类方法，由邻接矩阵S表示，分为两个平衡分量【32】。光谱聚类是一种广泛应用于社区检测和降维的技术，具有广泛的应用，包括图像识别、网页排名、信息检索和RNA基序分类。谱聚类方法的目标是最小化穿过图分区的边权重总和，同时使两个分量的大小（节点数）相对相似。正如我们下面讨论的，找到这个问题的精确解是NP难的。然而，可以通过最小化归一化切割（normalizedcut，Ncut）标准来获得近似解【32】。

我们证明了ECI等价于这个近似解。对于有向网络（如EFM），由于对应于最大特征值的右特征向量是常数，自然定义是取对应于邻接矩阵最大特征值的左特征向量【28，第178页】（注意，在【28】中，邻接矩阵的阐述是转置的）。此外，由于rowsfM已通过分集进行归一化，左前特征向量（特征向量中心性）将与分集成比例，因此不会为我们已经了解的tfm添加任何进一步的信息。3.1.1 Ncut标准考虑了顶点为V、边为E的无向图G=（V，E）。我们允许图G加权，且权重为非负，因此邻接矩阵条目为Sij≥ 0，其中Sij=Sji。虽然导出矩阵是一个可能的例子，但我们可以将S视为具有这些属性的任何矩阵。顶点i的度数定义为di=Xj∈VSij，（8）和一组顶点的大小或“体积” V可测量为vol（A）=Xi∈Adi公司。（9） （我们的表示法是经过深思熟虑的：正如我们在SM中所示，如果相似图G的邻接矩阵S与出口相似矩阵S=DFM重合，则程度D与一个国家出口的多样性精确对应）。将图划分为两个不相交集的一种方法是解决割问题。目标是将V划分为互补集合a和'a，以最小化两个集合之间的链接数量。切割问题是找到切割（A，’A）=Xi的最小值∈A、 j∈？ASij。（10） 这个目标函数有一个不受欢迎的特性，即它的解常常将一个节点从图的其余部分分割开来。为了避免这个问题，标准化切割（Ncut）标准[32]会惩罚不平衡的解决方案。

目标是以这样的方式划分图，即每个簇包含合理数量的顶点。这可以通过最小化目标函数cut（A，A）=（vol（A）+vol（A））Xi来实现∈A、 j∈？ASij。（11） 设D为Dii=Dian且Di6=j=0的对角度矩阵。然后，找到Ncut的最小值相当于解决优化问题minancut（A，’A）=minyyT（D- S） yyTDy，（12）以yi为准∈1.-卷（A）/卷（A）yTD1=0。由于yi被限制为两个可能值中的一个，这不是一个简单的线性代数问题，找到theNcut标准的真正最小值被证明是NP难的[32]。然而，通过让yi取任何实值，可以通过找到对应于广义特征值方程（D）第二小特征值的特征向量y[2]来获得近似解- S） y=λDy.（13）回想一下LS=D- S被称为S的拉普拉斯矩阵。通过使代换y=D-1/2z，（14）这可以重写为标准特征值方程D-（D）- S） D-z=LSz=λz，（15），其中LS=D-（D）- S） D-是S的归一化拉普拉斯。由于归一化拉普拉斯是一个随机矩阵，其最小特征值为零。与第二小特征值相关的特征向量z【2】称为归一化菲德勒向量，是式（15）中标准特征值方程的解。使用公式（14）将其转换回y，以解决原始问题，得到的解为y【2】=D-1/2z[2]。（16） 解y【2】提供了一个有用的近似解，该近似解最小化了标准化切割准则，并等于标准化菲德勒向量的简单变换【32】。3.1.2 ECI和Ncut标准之间的关系，即FM是矩阵，其对应于第二大特征值的特征向量是ECI。

要查看光谱聚类与ECI之间的关系，请注意，相似度矩阵S=DfM表征国家出口相似度的形式与用于最小化归一化切割标准的形式相同。将等式（15）的两侧乘以D-并重新排列给定的条款-1SD-z=（1- λ） D-z、 （17）替代FM=D-1S给定MD-z=（1- λ） D-z、 （18）Fm的特征值方程为Fm ey=eλey。（19） 现在，比较等式。（18） 和（19），我们可以看到，fm的特征值和igenvectors与LSbyeλ=1的特征值和igenvectors相关- λ、 和（20）ey=D-z、 （21）因此，Ls的第二小特征值对应于Fm的第二大特征值，并且与式（16）的比较清楚地表明，ECI等效于归一化切割准则的谱聚类解，即ey【2】=y【2】=D-z[2]，（22），其中ey[2]表示第二大特征向量offM。也就是说，ECI（ey[2]）等价于使归一化切割准则最小化的近似解（y[2]）。此外，ECI通过一个简单的变换与标准化的菲德勒向量相关。在SM中，我们还介绍了这种解释如何应用于PCI，并描述了ECI和PCI之间的数学关系。3.1.3将谱聚类解释应用于EconomicData我们现在演示了ECI如何在实践中划分相似网络。图1的面板A中显示了一个视觉图示。这里，我们计算了随机生成的具有两个clearcomponents的相似图的ECI。ECI根据节点之间的相似性，在具有正值和负值的间隔上为每个节点分配一个实数。在面板A的左图上，我们按顺序显示与每个节点相关的ECI值。应在ECI为零的位置对图进行分区。

将ECI为正的节点分配给一个集群，将ECI为负的节点分配给另一个集群。在这种情况下，ECI值中的明显差距表明分区非常清楚。在面板A的右图上，我们显示了网络的邻接矩阵s，其中我们还根据递增的ECI值对行和列进行了排序。这里还可以看到ECI排序如何显示图形的两个清晰组件。图1：每个面板在左图上显示ECI向量（升序），在右图上显示关联的相似性矩阵，其中行和列按ECI排序，并按SijValue着色。PanelsCorresponse to similarity networks based:Panela）随机生成具有两个清晰组件的数据；B）2013年高铁6号COMTRADE数据；小组C）英国地方当局不同行业的就业集中度数据；小组D）关于美国各州不同部门就业集中度的数据。在面板B中，我们展示了同样的出口数据（基于2013年HS6 COMTRADEdata）。在左图中，国家/地区ECI值（按升序排序）未显示零阈值之间的明显差距。此外，右侧的曲线图表明，虽然ECI值高的国家在其出口方面具有高度的相似性（如较高的SIJvalue所示），但ECI值低的国家似乎有更多不同的出口组合。因此，这些图表明，导出数据没有完全划分为两个组件。在C组和D组中，我们将ECI应用于根据英国和美国的区域数据构建的其他两个相似性网络。面板C显示了基于2011年英国商业登记和就业调查（BRES）区域数据构建的相似图（可用fromhttps://www.nomisweb.co.uk/).