季节性随机波动与农业中的萨缪尔森效应

（7） 这种θ的参数形式可以在Geman和Roncoroni（2006）中找到，在那里它被用来模拟跳跃过程的时变强度。图1显示了这些季节模式的曲线图，t=。0 1 2 3 4 5 60.10.20.30.40.50 1 2 3 4 5 60.10.20.30.40.50 1 2 3 4 4 5 60.10.20.30.40.50 1 2 3 4 5 60.10.30.40.50 1 2 3 4 5 60.10.20.30.40.5图1：θ（t）的海洋模式示例，如等式（3）-（7）所定义，t=。左上：正弦模式（a=0.2 5，b=0.15）。右上：指数正弦模式（a=0.20，b=0.6 8）。左中：锯齿状图案（a=0.10，b=0.30）。右中：三角形图案（a=0.10，b=0.60）。下：尖峰图案（a=0.10，b=0.30）。指数正弦模式（4）在商品建模中是一种流行的选择，因为从数值角度来看，它平滑且易于处理。与正弦模式（3）相反，它始终是严格正的。与（3）相比，一个更微妙的优势可能是，相对而言，由于指数函数的凸性，它在低水平上“花费更多的时间”，而在高水平上“花费更少的时间”，并且这一特性更真实地反映了波动率的行为。这种行为的极端情况是尖峰模式；然而，这种季节性函数并非处处都是可区分的。锯齿模式（5）是波动性在收获前逐渐增加，然后在播种或种植新作物前的收获日期下降的一个例子。在第5节中，我们对这些季节性波动率规格进行了统计比较，看看哪些规格最适合agiven农业期货市场。在下一节中，我们将在一些表达式（如特征函数）中遇到θ的r积分变换^θ。对于T>0和λ∈ R、 ^θ由^θT（λ）=ZTθ（T）eλtdt给出。

（8） 在附录C中，我们给出了上述三个函数的^θt的闭式表达式。3利用季节性随机波动率和萨缪尔森效应对商品期货进行建模3.1风险中性测度qn中的模型我们首先给出了风险中性测度Q下模型的数学描述。Letn≥ 1是整数，让BQ。。。，Q下的BQ2nbe布朗运动。设tM为给定期货合约的到期日。时间t，0时的期货价格F（t，Tm）≤ t型≤ Tm，假设遵循托卡斯蒂克微分方程（SDE）dF（t，Tm）=F（t，Tm）nXj=1e-λj（Tm-t） qvj（t）dBQj（t），F（0，Tm）=Fm，0>0。（9） 过程vj，j=1。。。，n、 假设季节均值回归水平随时间变化的随机方差过程遵循SDEdvj（t）=κj（θj（t）- vj（t））dt+σjqvj（t）dBQn+j（t），vj（0）=vj，0>0。（10） 季节平均回归水平函数θj:R的各种可能性+→ 第2.2节介绍并讨论了R+。请注意，初始期货曲线F（0，Tm），m=1，2。。。，在我们的模型中是外生的，因此可以适应未来精灵显示的任何季节模式。对于c相关，我们假设hdbqj（t），dBQn+j（t）i=ρjdt，-1<ρj<1，j=1。。。，n、 （11）否则，布朗运动BQj，BQk，k6=j，j+n，相互独立。正如我们将看到的，这种假设的结果是，特征函数将因子分解为n个单独的期望，从而保持模型在分析上的可处理性。对于固定Tm，Q fo下的期货对数价格ln F（t，Tm）允许SDEd ln F（t，Tm）=nXj=1e-λj（Tm-t） qvj（t）dBQj（t）-e-2λj（Tm-t） vj（t）dt, ln F（0，Tm）=ln Fm，0。（12） 从时间0到时间T，T的内光栅（12）≤ Tm，给定F（T，Tm）- ln F（0，Tm）=nXj=1ZTe-λj（Tm-t） qvj（t）dBQj（t）-nXj=中兴通讯-2λj（Tm-t） vj（t）dt。

（13） 我们定义了到期日为TmasXm（T）：=ln的期货合约在0到T之间的对数回报率F（T，Tm）F（0，Tm）.3.2联合特征函数在期权定价等金融应用中，两个对数收益的联合特征函数φX（T），X（T）起着重要作用。对于u=（u，u）∈ C、 φ由φ（u）=φ（u；T，T，T）=EQ“expiXk=1ukXk（T）！#。（14）期货原价ln F（T，T），ln F（T，T）的联合特征函数Φ由Φ（u）=expiXk=1ukln F（0，Tk）！·φ（u）给出。（15）请注意，我们模型中的期货价格不是均值回复，并且在timet时的原价ln F（T，Tm）和原价回报ln F（T，Tm）- lnf（t，Tm）是独立的随机变量。在下面的命题中，我们展示了如何通过两个普通微分方程（ODE）系统给出联合特征函数φ，从而给出单个特征函数φ。命题3.1时间T的关节特征函数φ≤ T、 T对于两个到期日为T的期货合约的对数收益X（T），X（T），由φ（u）=φ（u；T，T，T）=nYj=1exp给出-iρjσjfj，1（u，0）vj（0）+κj^θj，Texp（Aj（0，T）vj（0）+Bj（0，T）），其中fj，1（u，T）=Xk=1uke-λj（Tk-t） ，fj，2（u，t）=Xk=1 KE-2λj（Tk-t） ，qj（u，t）=iρjκj- λjσjfj，1（u，t）-(1 - ρj）fj，1（u，t）-ifj，2（u，t），^θj，t=ZTθj（t）eλjtdt，函数Aj：（t，t）7→ Aj（t，t）和Bj：（t，t）7→ Bj（t，t）满足两个微分方程Aj公司t型- κjAj+σjAj+qj=0，北京t+κjθj（t）Aj=0，其中Aj（t，t）=iρjσjfj，1（u，t），Bj（t，t）=0。时间T的单一特征函数φ≤ T通过在联合特征函数中设置u=0，给出了到期期货合约的对数回报X（T）。我们在附录B中证明了这一结果。注意，函数A的Riccati不依赖于θ。

在此之前，可以使用与Schneider和Tavin（2018）中相同的A闭式解d。当然，如果θ是一个常数函数，那么上面给出的联合特征函数与e相同。还请注意，积分θj通常取决于海洋性函数θJandt的规格成熟度T，而不是u。因此，它们的值可以计算一次，然后存储，避免了在重复调用特征函数时进行格雷格计算。3.3期权价格欧洲期货合约上的期权可以使用傅里叶反演技术进行定价，如d inHeston（1993）和Bakshi a and Madan（2000）所述。设K表示履约，T表示到期日为Tm的期货合约F上的欧式看涨期权的到期日≥ T该技术所需的函数是期货日志价格ln F（T，Tm）的单一特征函数Φ，由Φ（u）=eiu ln F（0，Tm）φ（u）给出，φ（u）从命题3.1中获得。欧洲看跌期权可通过看跌期权平价定价- P=e-rT（F（0，T）- K） 。日历传播选项在农业市场也很受欢迎。它们的支付取决于同一种商品的两份期货合约的价格差异，但期限不同。Caldana和Fusai（201 3）提出了一个风险中性估值公式，以防两个基础期货合约的联合特征函数Φ已知。该公式以一维傅里叶反演的形式给出，可与所提出的多因素模型一起简单有效地使用。3.4物理测量中的模型为了在物理测量下呈现模型，我们遵循Casassus和Collin Dufresne（2005）的“完全有效”规范。Doran和Ronn（2008）、Trolle和Schwartz（2009）以及Chiarella等人（2013）也使用了这种设置。

期货价格风险的市场价格和波动性风险的市场价格由dbpj（t）=dBQj（t）给出- πFjqvj（t）dt，（16）dBPn+j（t）=dBQn+j（t）- πvjqvj（t）dt，（17）对于参数πFj，πvj，j=1，n、 对于固定Tm，P下的期货价格F（t，Tm）遵循SDEdF（t，Tm）=F（t，Tm）nXj=1e-λj（Tm-t） qvj（t）dBQj（t）（18）=F（t，Tm）nXj=1πFje-λj（Tm-t） vj（t）dt+e-λj（Tm-t） qvj（t）dBPj（t）, （19） 方差过程vjsdedvj（t）=κj（θj（t）- vj（t））dt+σjqvj（t）dBQn+j（t）（2 0）=κj（θj（t）- vj（t））+σjπvjvj（t）dt+σjqvj（t）dBPn+j（t）。（21）P下的期货对数价格ln F（t，Tm）遵循SDEd ln F（t，Tm）=nXj=1e-λj（Tm-t） πFjvj（t）dt+e-λj（Tm-t） qvj（t）dBPj（t）-e-2λj（Tm-t） vj（t）dt, （22）ln F（0，Tm）=ln Fm，0。从时间0到时间T，T的内光栅（22）≤ Tm，给定F（T，Tm）- ln F（0，Tm）=nXj=1πFjZTe-λj（Tm-t） vj（t）dt（23）+nXj=1ZTe-λj（Tm-t） qvj（t）dBPj（t）-nXj=中兴通讯-2λj（Tm-t） vj（t）dt。4模型的状态空间表示4.1状态变量在本节中，我们以状态空间的形式呈现我们的模型，以便我们可以运行Ka-lman滤波器，并通过最大化对数似然函数来估计模型的参数。我们将观测到的对数期货价格表示为一组状态变量和一个模型参数向量的函数。我们的方法与Chiarella等人（2013）的方法相似，我们的符号遵循Tsay（2010）。我们在这里给出了n因子模型的状态间隔表示；然而，在第5节的实证研究中，我们将使用单因素模型。具有n个因子rs的模型由8n个参数的向量参数化，用ψ=（ψ，…，ψn）表示，其中ψj=（λj，κj，σj，ρj，vj，0，aj，bj，tj，0），j=1，n、 从方程（23）中，我们得到F（t，Tm）- ln F（0，Tm）=nXj=1πFjZte-λj（Tm-s） vj（s）ds（24）+nXj=中兴通讯-λj（Tm-s） qvj（s）dBPj（s）-nXj=中兴通讯-2λj（Tm-s） vj（s）ds。我们定义了状态变量，对于j=1。

，n，ass1，j（t）：=中兴通讯-λj（t-s） qvj（s）dBQj（s）=πFjZte-λj（t-s） vj ds+中兴通讯-λj（t-s） qvj（s）dBPj（s），s2，j（t）：=中兴通讯-2λj（t-s） vj（s）ds，s3，j（t）：=vj（t）=s3，j（0）+κjZtθj（s）- s3，j（s）ds+σjZtqs3，j（s）dBQn+j（s）=s3，j（0）+κjZtθj（s）- s3，j（s）ds+σjπvjZts3，j（s）ds+σjZtqs3，j（s）dBPn+j（s）状态变量的动力学由ds1给出，j（t）=-λjs1，j（t）dt+qs3，j（t）dBQj（t）=-λjs1，j（t）dt+πFjs3，j（t）dt+qs3，j（t）dBPj（t），（25）ds2，j（t）=-2λjs2，j（t）dt+s3，j（t）dt，（26）ds3，j（t）=κj（θj（t）- s3，j（t））dt+σjqs3，j（t）dBQn+j（t）=κj（θj（t）- s3，j（t））+σjπvjs3，j（t）dt+σjqs3，j（t）dBPn+j（t）。（27）我们可以将期货对数价格（24）表示为前两个状态变量ln F（t，Tm）=ln F（0，Tm）+nXj=1e的线性ar函数-λj（Tm-t） s1，j（t）-nXj=1e-2λj（Tm-t） s2，j（t）。为了简单起见，我们从这里开始关注一个单因素模型，但很容易将这些结果扩展到一般的n因素情况。在时间t，状态变量的向量由t给出=s（t）s（t）s（t）.4.2跃迁和测量方程离散时间内的跃迁（或状态）方程由方程（25）、（26）和（27）的欧拉离散格式给出+△t=dt+Ttst+Rtηt，（28）带ηt~ N（0，Qt）。其中DT=κθ（t）△t型, Tt=1.- λ△t 0πF△t0 1- 2 λ△t型△t0 0 1- (κ - σπv）△t型,Rt=ps（t）1 00 00 σ, Qt=△tρ△tρ△t型△t型.请注意，向量dt依赖于函数θ，因此与时间相关，而矩阵rtends依赖于当前挥发度yps（t）=pv（t），并且与状态相关。测量（或观测）方程提供了可观测量和状态变量之间的联系。

大小为k的期货市场数据的计量方程是：t=ct+Ztst+et，（29）带et~ N（0，Ht），其中Ht是测量误差et，yt的协方差矩阵=ln F（t，Tm）。。。ln F（t，Tmk）, ct=ln F（0，Tm）。。。ln F（0，Tmk）, （30）Zt=e-λ（Tm-t）-e-2λ（Tm-t） 。。。。。。。。。e-λ（Tmk）-t）-e-2λ（Tmk-t）. （31）或者，我们可以使用期货对数收益率^yt，而不是使用公式（30）中的期货对数价格yto=ln F（t，Tm）- ln F（t- △t、 Tm）。。。ln F（t，Tmk）- ln F（t- △t、 Tmk）. （32）在这种情况下，需要删除转移矩阵Ttin（28）对角线上的前两个1，并将所有t的向量ctin（29）设置为零。4.3对数似然函数使用条件概率密度函数编写联合密度函数asL（y；ψ）=TYt=1p（yt | Ft-1） ，其中p（yt | Ft-1） 表示给定Ft的YT分布-1： ={y，…，yt-1}. 对数似然函数ln L可以用过滤变量asln L（y；ψ）=-kTln 2π-TXt=1ln | Vt |-TXt=1v′tV-1tvt，其中T是时间序列的长度，k是每个时间步观察到的价格或回报的数量，vt：=yt- yt | t-1YT给定Ft的e cast错误提前1步-1，a和Vt：=Var（Vt | Ft-1） =Var（vt）是误差r vt.5模型估计的方差矩阵，使用Kalman Filter5.1数据集描述。在本节中，我们考虑五种农业商品：玉米、棉花、大豆、糖和小麦。对于每种商品，我们使用的数据集涵盖从2007年11月1日至2017年11月13日的十年每日期货价格。这些合约包括CBOT上交易的玉米期货、ICE上交易的棉花2号期货、CBOT上交易的大豆期货、ICE上交易的糖11号期货和CBOT上交易的芝加哥SRW小麦期货。这些合同都是实物交付的。

关于玉米、棉花和小麦，我们有十份合同，有效期从2个月到2年。对于大豆，我们有13份合同，有效期为2个月至2年。对于糖业，我们有七份合同，有效期从2个月到1.75年。这些数据集都是从路透社Eikon上的Thoms获得的。访问数据（RIC）的代码为Cc1，玉米Cc10，CT c1，棉用CT c10，Sc1，大豆Sc13，Y Oc1，Y Oc7表示糖，a和W c1，小麦为W c10。相应的交易合同适用于以下日历月：玉米（C）和小麦（W）：3月、5月、7月、9月、12月；棉花（CT）：3月、5月、7月、10月、12月；大豆：1月、3月、5月、8月、9月、11月；糖（YO）：3月、5月、7月、10月。表1总结了我们数据集的特征，包括每种商品的最低、最高和平均价格以及合同的平均波动率。图2绘制了每种商品的最短和最长到期合同的价格时间序列以及相应的对数回报。我们的数据集从一个高度波动的时期开始，大约相当于前两年，在整个十年中，每个市场都在连续波动和反向波动之间移动。可以看出，到期时间最长的期货的波动性低于到期时间最短的期货，这符合萨缪尔森效应。在十年的数据中计算出的每种商品的平均波动率非常相似，大致相当于25%。在表2中，我们报告了样本中每个期货系列的平均波动率。随着到期时间的增加，期货的平均波动率降低。这一行为在所有五种商品中都可以清楚地观察到，并且很好地显示了我们的数据集中发现的萨缪尔森效应。

这也是一种衡量其幅度的方法：对于玉米和小麦，上一份合约的波动率比前一份合约的波动率低8到10个百分点；对于大豆来说，这一差异只有大约6个百分点；然而，对于棉花来说，它几乎达到了12个百分点，而对于糖来说，它几乎达到了12个百分点。因此，从第一次分析中，我们可以预计，在估计我们的模型时，大豆的波动阻尼参数λ值较低，棉花和糖的波动阻尼参数λ值较高。在表3中，我们报告了每个社区第一份期货合约每个日历月的平均波动率。此外，我们确定了波动率最高的两个日历月。对于玉米、棉花和大豆，我们可以看到，连续两个月的波动性更大：玉米和棉花为6月和7月，大豆为8月和9月。在这两个月内，波动率大约比其他日历月的平均波动率高出五个点，这为第一份合同的波动率存在季节性行为提供了证据。对于糖和小麦，结果很清楚，因为波动性最高的两个日历月并不连续：糖的3月和10月，小麦的3月和6月。因此，我们预计模型中玉米、棉花和大豆的季节性成分的大小将大于糖和小麦。就波动性何时达到峰值而言，我们预计玉米和棉花的波动性会稍有减弱，大豆的波动性会稍有减弱。

对于糖和小麦来说，不太容易得出先验结论。名称日期开始日期结束日期期货最低价格最高价格平均价格平均体积玉米2529 01/11/07 13/11 10 293.50 838.75 485.16 25.07%棉花2528 01/11/07 13/11/17 10 39.14 215.15 77.16 23.24%大豆2529 01/11/07 13/17 13 783.50 1771.00 1120.96 21.53%糖2528 01/11/07 13/17 7 0.10 0.35 0.18 27.43%W热量2529 01/11/07 13/17 10 361.00 1282.50 656.46 27.55%数据集（名称、日期数量、开始和结束、期货数量、最小/最大值和平均价格、平均价值）。