基金经理的最佳合同，包括注资和

引言中解释了这种表述的原因：一方面，我们希望在合同启动后允许（积极）注资，另一方面，我们不想对注资的时间或规模强加任何概率结构。在这种稳健的表述中，管理下的资本可能在任何给定时间以“不可预测的方式”发生变化（增加），这自然会迫使代理人改变其战略。然而，定义1确保，即使进行注射，试剂的最佳策略仍然由相同的随机字段给出（仅从不同的级别开始）。因此，在存在未知注资的情况下，合同只能将代理人的最优策略确定为一个随机领域。这使得很自然地将校长的目标定义为此类随机领域的函数。第4节描述了导致当前类型非最优合同问题的具体示例。值得一提的是，在该问题的经典公式中，如果我们假设无资本注入，并将策略视为随机过程，初始财富固定，则最优合约问题通常会简化为所谓的“第一最佳”类型，具有三级解。这是因为，在非退化市场中，可以从财富过程的终值（视为随机变量）推断交易策略。第4.2小节给出了此类琐碎构造的示例。然而，从财富到战略的映射（被视为一个随机过程）取决于初始资本，因此，由此产生的微不足道的解决方案不是稳健的w.r.t.注资。上述最佳合同（第4.3小节中有一个示例）是稳健的w.r.t.此类注射，在经典配方中也是最佳的。

因此，特别是它为经典问题提供了另一个非平凡的解决方案。同样重要的是，J（π）可能以更一般的方式依赖于π，而不仅仅是通过xπ。否则，在许多感兴趣的情况下，问题变得微不足道，如第4.2小节所示。正如引言中所讨论的，我们考虑π的一般依赖性的主要动机是存在内生约束。也就是说，我们假设委托人不希望代理人投资某些股票，但不能简单地将其包括在合同中，因为代理人的策略无法直接观察到。基金经理的最佳合同7备注2。请注意，我们允许委托人的个人目标J和合同C相当笼统。然而，校长的总目标以相加的方式将它们结合在一起：J- C、 从经济的角度来看，将代理人的费用包括在第J项中可能更为自然，但当前的设置不允许这样做。尽管如此，随后的章节显示，最优合约被构造为C（x）=CT（x），其中C是一个充分的随机变量，因此我们可以定义C（xπT）=C（x）+ZTd CT（xπT）。由于我们假设没有折扣（相当于，我们使用折扣单位），上述表述可以解释为委托人向代理人支付的金额。由于这些付款分布在整个时间间隔[0，T]，因此有可能在委托人的目标中以累加形式证明其存在。备注3。代理人的风险中性假设可以通过假设其费用的预期效用U（C）最大化来放宽。然而，在这种情况下，我们必须将委托人目标中的C替换为U（C），否则代理人的参与约束必须根据预期费用（相对于其费用的预期效用）来制定，这一切都不是很自然的。

此外，我们不考虑代理人目标的努力成本。为了能够使用我们的解决方案方法，我们必须接受这些限制。我们将更普遍的偏好和成本结构留给未来的研究。备注4。本文构建的最优契约也是稳健的w.r.t.成熟度。也就是说，我们的方法允许我们构造一个完整的最优合约族，{CT}，所有到期日T>0。因此，我们还解决了一个更一般的最优合同问题（所谓的“第三好”类型），在该问题中，代理人可以选择时间范围（合同开始时），委托人不知道代理人代表的时间范围，因此，她为他提供了所有可能的时间范围的合同菜单。备注5。合同的一个非常可取的特点是其有限责任：即条件C≥ 0、请注意，我们在定义可接受合同时不要求有限责任，我们的一般结果也不能保证该财产符合最佳合同。然而，第4节中构建的最优合同确实满足有限责任条件。3、解决方案让我们试探性地概述解决方案。首先，我们注意到，如果C是一个可容许的合同，并且π*是C-最优的，具有相关的最优财富X*, 合同（6）~C：=提示C（X*T） 8 SERGEY NADTOCHIY和THALEIA ZARIPHOPOULOUis也可以接受，并且▄C-最优策略集与C-最优策略集相同。此外，EC（X*T） =u。因此，对于每一个C-最优π，将候选合同C限制为EC（Xπ）=u的可容许合同不会失去最优性。

这意味着我们可以在委托人的目标中放弃对代理人的预期付款，并解决放松的问题：找到一个随机场π*以及相关的最佳财富X*（初始条件为（X，0）），s.t.π*（十）*) ∈ argmax E J（π），其中最大化在所有π上执行∈ A（X，0）。主要思想是，对于给定的π*, 可容许契约C，s.t.π*是唯一的C-最优策略。如（6）中的规格化C，我们得到了期望的最优契约。因此，最优契约的构造归结为解决以下逆问题：给定一个策略π*（视为随机字段），为任何（ξ，τ）找到可接受的合同C，s.t∈ X和任意π∈ A（ξ，τ），EC（Xπ，ξ，τT）| Fτ≤ EC（X*,ξ、 τT）| Fτ, a、 只有当π=π时，等式才可能成立*（十）*,ξ、 τ）对于随机区间[τ，t]中的a.e.（t，ω）。幸运的是，所谓的前向性能SPDE为此类问题提供了解决方案。在本节剩余部分中，我们将描述此解决方案，由随机场（Ut（x））t给出≥0，x>0，并表明c（x）=uUT（x）U（x），是期望的最优契约。3.1. 正向性能SPDE。回想一下，经典效用最大化问题中的值函数，至少在形式上解决了Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程。以下SPDE是非马尔可夫情况下HJB方程的模拟：（7）dUt（x）=kxUt（x）λt+（σTt）+σTtxat（x）kxxUt（x）dt+aTt（x）dWt，t∈ [0，T]，x>0，其中at（x）是渐进可测随机函数的d维向量，在x中连续可微，称为前向性能过程的波动性。It^o-Ventzel公式的应用证明了以下事实（参见[8]、[15]、[4]、[5]）。提案1。

假设a=（at（x））t∈[0，T]，x>0，U=（Ut（x））T∈[0，T]，x>0分别是一次和两次连续可微随机流（在[7]的意义上），满足（7），并且使得U在x中严格凹（a.s.始终）。然后，以下内容成立。基金经理的最优合同9（1）对于任何（ξ，τ）∈ X和任意π∈ A（ξ，τ），过程美国犹他州Xπ，ξ，τtt型∈[τ，T]是一个localsupermartingale（在这个意义上，存在一个使其成为一个permartingale的局部化序列）。（2） 假设存在一个渐进可测量的随机场π*, 满足a.s.，对于所有t∈ [0，T]，（8）σTπ*t（x）=-λtxUt（x）+（σTt）+σTtxat（x）xxUt（x），x>0，并且对于任何初始条件（ξ，τ）∈ 十、 存在唯一（强）解决方案X*,ξ、 τ至（9）dX*,ξ、 τt=σtπ*t（X*,ξ、 τt）Tλtdt+σtπ*t（X*,ξ、 τt）TdWt，t∈ [τ，T]，X*,ξ,ττ= ξ.然后美国犹他州十、*,ξ、 τtt型∈[τ，T]是局部鞅。（3） 假设前两项的条件满足，并且上述局部鞅和局部超鞅分别是真鞅和真超鞅。然后，对于任何（ξ，τ）∈ X和任意π∈ A（ξ，τ），EUT（X*,ξ、 τT）| Fτ≥ EUT（Xπ，ξ，τT）| Fτa、 只有当π=π时，等式才可能成立*（十）*,ξ、 τ）对于随机区间[τ，t]中的a.e.（t，ω）。证明：如上所述，定理的证明很容易从It^oVentzel公式应用到Ut（Xπ，ξ，τt）开始。直接计算验证了前两项索赔。对于最后一种说法，我们只需要注意Ut的漂移（Xπ，ξ，τt）是严格负的，除非πt=π*（Xπ，ξ，τt），带π*由（8）给出。然后，通过条件期望，我们得到了期望的不平等。上述定理的最后一项意味着π*（十）*) 在所有容许策略上最大化标准EUT（XπT），前提是其本身是容许的。

当然，要建立这一点，需要（i）求解SPDE（7），（ii）确保π的存在*和X*, （iii）在超鞅和鞅性质中去掉“局部”。确保localsupermartingale（Ut（Xπt））t≥0是一个真正的超鞅，是构造U，使得inft，xUt（x）从下面被一个绝对可积的随机变量所限定，并将initialwealth限制为绝对可积的随机变量。然后，我们也可以通过一个标准在整篇文章中显示，这种过程总是由w.r.t.过滤（Fτ∨t） t型∈[0，T]，其在[0，τ]上的值为Uτ（ξ）。10 SERGEY NADTOCHIY和THALEIA ZARIPHOPOULOUargument认为局部鞅（Ut（X*t） ）t≥0是真鞅，当且仅当其期望值在任何时候都与其初始值一致时。当然，还有其他方法可以解决（iii）。要解决（i）和（ii），需要解决（7）。然而，后一个方程存在着与其非线性性质相关的诸多困难，更重要的是，它“时间在错误的方向上运行”（参见[9]，对后一个问题进行了更详细的讨论）。到目前为止，一般形式的解To（7）不存在唯一性或存在性结果。然而，在下一小节中，我们选择了波动过程a的一种特定形式，并展示了如何为任何给定的（足够规则的）策略π构建（7）的唯一解决方案*, 作为随机字段给出。此外，如果（iii）被解析为dπ*（十）*) 是可容许的，我们得到了第2.2小节中公式化的最优契约问题的解。的确，如果π*是委托人的最优策略（即她希望代理人遵循的策略），相关的UT（x）经过适当的规范化，产生期望的最优合同。3.2. 求解正向性能SPDE。

假设我们得到一个随机场π*: （R+×）Ohm × (0, ∞), PB（（0，∞))) → （R，B（R）），其中P是逐步可测集的西格玛代数。像往常一样，我们抑制对ω的依赖∈ Ohm. 我们假设π*是一个充分平滑的随机场，精确假设如下。在这一小节中，我们构造了（7）的一个解，使得（8）在给定π下成立*.假设U在（x）处求解（7）和（10）=a（t，x，Ut，xxUt）：=在（(R)x）- λt（Ut（x）- Ut（(R)x））-Zx'xσtπ*t（y）yyUt（y）dy，其中\'x>0是固定常数，且（在（\'x））t≥0是Rd中的任意局部平方可积过程。有了这样的选择，我们有：（11）xat（x）=-σtπ*t（x）xxUt（x）- xUt（x）λt。然后，回顾σtar的列是线性独立的，我们得到（12）xUt（x）λt+（σTt）+σTtxat（x）=-σtπ*t（x）xxUt（x）和（7）变为ut（x）=kσtπ*t（x）kxxUt（x）dt（13）+在（(R)x）- λt（Ut（x）- Ut（(R)x））-Zx'xσtπ*t（y）yyUt（y）dyTDWT以下推导（直到假设1）是启发性的，旨在激发本小节命题2的主要结果。介绍Vt（x）：=xUt（x），我们，形式上，基金经理的最优合约11微分上述方程，得到dvt（x）=x个kσtπ*t（x）kxVt（x）dt公司- （σtπ*t（x）xVt（x）+λtVt（x））TdWt。（14） 接下来，我们介绍Rt（x）：=-xVt（x）=-xxUt（x），并正式微分上述方程，以获得drt（x）=x个kσtπ*t（x）kxRt（x）+ x个kσtπ*t（x）kxRt（x）+xx号kσtπ*t（x）kRt（x）dt公司- [σtπ*t（x）xRt（x）+（λt+σtxπ*t（x））Rt（x）]TdWt，（15）具有确定性初始条件R（x）=-xxU（x）。假设1。假设，几乎可以肯定的是，对于每个t≥ 0，函数π*t（·）是五次连续可微且supz∈RkXj=1σijt(z） m级e-zπ*jt（ez）≤ ξt，m=0，5，i=1。

，d，对于一类具有局部有界路径的渐进可测随机过程ξ。对于任意函数φ：R→ R、 m次弱可微，我们定义了标准φkm：=mXj=0ZRr（z）φ（j）（z）dz！1/2，带（16）r（z）：=expη√1+z,有一些常数η>1。在[6]之后，我们将加权Sobolev空间Wm（由从R到R的m次弱可微函数组成）定义为C∞（R） 在k.kmnorm中。假设2。假设Uis是严格凹的，xxU（exp（·）），日志(-xxU（exp（·）））∈W、 λ具有局部可积路径。现在，我们给出了本文的主要结果之一。提案2。Letπ*, U、 σ和λ满足假设1和2。然后，存在一个解（15）的唯一随机域R，初始条件R=-xxU，因此rt（log·）取W值。随机场R·（·）几乎肯定是连续的，严格来说是正的。此外，对于任何常数'x>0和任何局部平方可积Rd值过程（在（'x））t≥0，随机场（Ut（x））t≥0，x>0，由（17）Ut（x）=ζt+Zx'xZ给出∞yRt（z）dzdy，12 SERGEY NADTOCHIY和THALEIA Zariphopoulouwithζt=-kσtπ*t（'x）kRt（'x）dt+aTt（'x）dWt，ζ=U（'x），严格凹形，在x上严格增加，满足（7），波动率a由（10）给出。此外，对于给定的π*, （8） 对于任何（ξ，τ），存在（9）的唯一解∈ 十、 证明：首先，我们用变量的简单变化来变换（15），X=exp（z），引入▄Rt（z）：=Rt（ez），并且（15）变成▄Rt（z）=h(z+1）ke公司-zσtπ*t（ez）kzRt（z）+ (z+1）ke公司-zσtπ*t（ez）kzRt（z）+(zz+3z+2）ke公司-zσtπ*t（ez）kRt（z）idt（18）-他-zσtπ*t（ez）zRt（z）+λt+(z+1）e-zσtπ*t（ez）~Rt（z）iTdWt，请注意，SPDE（18）是线性的，（退化）抛物线。特别是，它属于[6]中分析的一类方程。

在此参考之后，我们参考【6】中的示例2.2和前面的讨论，得出结论，满足【6】中定理2.5的条件，其中m=3，Γ=1。后一个定理指出，（18）存在唯一的广义解▄R，其中▄R（z）=-xxU（ez），这是一个逐步可测量的过程，值为W，在W中有连续的路径。请注意▄Rt∈ Wimplies表示▄Rt（.）是两次连续可微的。因此，随机场R·（·）几乎肯定是连续且严格正的，并且（18）中的空间导数可以理解为经典意义上的。然后，将变量改回x=exp（z），我们得出结论，Rt（x）：=~Rt（log x）解（15）。恢复这些参数，我们得到（15）解的唯一性。接下来，我们证明R是严格正的。请注意，找到一个渐进的、可测量的随机场Y是足够的，例如exp（Y）是（18）的广义解，具有初始条件-xxU（ez）。然后，从唯一性出发，我们得出结论，R，因此R，是正的。为此，我们将Y定义为以下SPDEdYt（z）的唯一广义解=(z+1）ke公司-zσtπ*t（ez）kzYt（z）- 2λTte-zσtπ*t（ez）zYt（z）+(zz+3z+2）ke-zσtπ*t（ez）k- kλt+(z+1）e-zσtπ*t（ez）kdt（19）-e-zσtπ*t（ez）zYt（z）+λt+(z+1）e-zσtπ*t（ez）TdWt，初始条件（z）=logR（z）=log(-xxU（ez））。【6】中的定理2.5指出，上述方程具有唯一的广义解。应用It^o公式，我们推导出exp（Y）在初始条件下解（18）-xxU（ez）。解的唯一性意味着exp（Y）=R，因此，我们得出结论，R严格为正。最后，我们需要验证（25）定义的随机油田U是否定义良好，是否具有所需的性质。

为此，我们定义（x）=Z∞xRt（y）dy。请注意，由于选择了r（参见（16）），并且▄Rt=Rt（exp（·））的值取W W： Z∞xRt（y）dy=Z∞对数xezRt（z）dz≤Z∞日志xr（z）~Rt（z）dz1/2Zlog xe2z-2η√1+zdz1/2< ∞同样，很容易推断出xRt（·）和xxRt（·）在（ε，∞),对于任何ε>0。应用随机Fubini定理（参见文献[11]中的定理64），我们积分（15）得出初始条件V（x）=xU（x）。再次应用统计Fubini-therem，我们对（14）进行积分，以表明（25）定义的U满足PDE（13）。很明显，Ut（·）是严格凹的，因为R是严格正的。然后，选择Tvia（10），我们得出结论，U满足（7）。反过来，方程式（12）得出（8）。最后，假设1意味着σtπ*对于任何初始条件（ξ，τ），t（·）是全局Lipschitz，一致在（t，ω）上，这使得解的存在性和唯一性为（9）∈ 十、 备注6。命题2可以用任何正的权函数r进行扩展，满足[6]中的条件（W），这样z∞xe2zr（z）dz<∞, x个∈ R、 备注7。对于财富变量x取R中的值的情况（而不是被限制为（0，∞)).这与投资问题相对应，在投资问题中，财富不被限制为正数（参见备注1）。我们没有找到一个统一的配方，允许我们治疗这两种情况（即x∈ R和x>0），我们选择考虑情况x>0。第4节的例子表明，在X>0的情况下，在Black-Scholes模型中，可以明确构建一个满足有限责任条件的最优合同。