基金经理的最佳合同，包括注资和

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英文标题：
《Optimal contract for a fund manager, with capital injections and
  endogenous trading constraints》
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作者：
Sergey Nadtochiy and Thaleia Zariphopoulou
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper, we construct a solution to the optimal contract problem for delegated portfolio management of the fist-best (risk-sharing) type. The novelty of our result is (i) in the robustness of the optimal contract with respect to perturbations of the wealth process (interpreted as capital injections), and (ii) in the more general form of principals objective function, which is allowed to depend directly on the agents strategy, as opposed to being a function of the generated wealth only. In particular, the latter feature allows us to incorporate endogenous trading constraints in the contract. We reduce the optimal contract problem to the following inverse problem: for a given portfolio (defined in a feedback form, as a random field), construct a stochastic utility whose optimal portfolio coincides with the given one. We characterize the solution to this problem through a Stochastic Partial Differential Equation (SPDE), prove its well-posedness, and compute the solution explicitly in the Black-Scholes model.
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中文摘要：
本文构造了一个最优（风险分担）型委托投资组合管理最优契约问题的解。我们结果的新颖之处在于：（i）最优契约对财富过程扰动的鲁棒性（解释为资本注入），以及（ii）更一般形式的委托人目标函数，允许直接依赖于代理人策略，而不是仅作为产生的财富的函数。特别是，后一个特性允许我们在合同中加入内生交易约束。我们将最优契约问题归结为以下反问题：对于给定的投资组合（定义为反馈形式的随机场），构造一个最优投资组合与给定投资组合重合的随机效用。我们通过一个随机偏微分方程（SPDE）刻画了该问题的解，证明了其适定性，并在Black-Scholes模型中显式计算了该解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Optimal_contract_for_a_fund_manager,_with_capital_injections_and_endogenous_trad.pdf (363.82 KB)

2022-6-9 17:28:46 上传

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关键词：基金经理 Perturbation Optimization Quantitative Differential

具有资本注入和内生交易约束的基金经理最佳合同Sergey NADTOCHIY和THALEIA ZARIPHOPOULOUABSTRACT。在本文中，我们构建了最佳（风险分担）类型委托投资组合管理的最优契约问题的解决方案。我们结果的新颖之处在于：（i）最优契约对财富过程扰动的鲁棒性（解释为资本注入），以及（ii）委托人的目标函数的更一般形式，允许直接依赖于代理人的策略，而不是仅作为所产生财富的函数。特别是，后一个特性允许我们在合同中加入内生交易约束。我们将最优合约问题简化为以下反问题：对于给定的投资组合（以反馈形式定义，作为随机领域），构造一个随机效用，其最优投资组合与给定投资组合一致。我们通过一个随机偏微分方程（SPDE）刻画了该问题的解，证明了其适定性，并在Black-Scholesmodel中显式计算了该解。1、导言在此，我们研究委托投资组合管理问题，其中投资者聘请一名基金经理（简称代理人）在指定的时间段内，将其资本动态投资于可用资产。在期限结束时，投资者收到管理人产生的财富，并支付合同规定的费用。这些费用可以取决于财富水平和其他公开观察的市场指标（如可用资产的价格）。

由于投资者可以从产生的财富过程和公开观察的市场指标中推断出代理人的策略，因此相关的最优合同问题属于所谓的“第一最佳”类型，也称为最优风险分担问题。关于委托投资组合管理问题的最优合同设计的现有文献（第一类）包括[13]、[14]、[10]、[2]以及其中的参考文献。[13]和[14]分析了单期模型，而[10]考虑了Black-ScholesMerton模型，投资者和基金经理的指数或幂日期为2018年2月22日。S、 Nadtochiy得到了NSF拨款DMS-1651294的部分支持。在此，我们将文献综述局限于专门处理委托投资组合管理问题的论文，而忽略了一般最优契约理论的讨论，如开创性的工作[3]。2 SERGEY NADTOCHIY和THALEIA Zariphopouloutilities。[2]中考虑了一般市场模型和一般公用设施，尤其是在市场完全时明确构建了最优合同。目前的工作与现有结果的不同之处在于，（i）我们要求合同对财富过程的扰动具有鲁棒性，以及（ii）我们考虑的合同的一般最优性标准比最终财富的经典预期效用更一般。我们考虑财富过程扰动的主要动机是包括投资者在合同启动后进行的（非自愿）注资。也就是说，我们假设该合同允许投资者（例如，共同基金的大多数费用结构）在其希望的任何时候向其在管理人的账户中添加任意数额的额外资本，并且管理人的费用结构保持不变（即。

合同保持不变）。请注意，双方中的任何一方最初可能都不知道这些时间和金额，甚至可能不知道它们的概率结构。然而，基金中的资本流入可能会从根本上改变基金经理的投资策略（有关资本流入和流出对基金经理行为的影响的更多信息，请参见，例如[1]及其参考文献）。因此，在设计最优契约时，需要考虑代理人在任何中间时间和财富水平下的最优策略，该策略由该契约所诱导。从数学上讲，这意味着代理人的战略应该被视为一个随机领域，针对所有可能的初始投资时间和财富水平进行定义。我们设置的另一个特点是合同的更一般的最优标准。也就是说，我们假设设计合同的实体（称为委托人）除了与该策略产生的财富直接相关外，还可能与代理人使用的策略直接相关。这种偏好结构的主要激励示例是终端财富预期效用的约束最大化，约束条件是不对某些资产进行投资。在这种情况下，委托人的目标包含投资禁止资产的最终罚款，合同的设计必须使代理人遵守这一规则。例如，一家共同基金的监管机构或董事会可能希望强制禁止投资某些“对社会不负责任”的资产，或受制裁公司的资产（我们请读者参阅[12]及其参考资料，了解有关所谓“对社会负责任”基金的更多信息）。

然而，校长不能将这样的规则直接写入合同，因为她不遵守代理人的行为。因此，这些约束需要通过合同的设计隐式实施，而合同的设计只能取决于产生的财富和公开观察的因素，这就是我们所说的内生约束。让我们描述一个特定的环境，在这个环境中，资本注入方面的合同稳健性和内生约束非常重要（第4节给出了更详细的公式）。首先，我们假设设计合同的委托人可能与投资者不一致（至少在整个合同期限内可能不一致）。例如，共同基金的费用结构通常是事先规定的，如下一段所述，在我们的环境中，投资者可能与委托人不一致。对于基金经理3和个人投资者而言，最佳合同可以接受也可以放弃。在这种情况下，委托人可能是共同基金的监管机构或董事会。尽管委托人可能与投资者不一致，但我们假设她旨在设计合同，使投资者感到满意：例如，共同基金的董事会希望让他们的投资者高兴，以免他们输给竞争对手。同时，委托人还应确保代理人不投资于禁止资产。因此，委托人确定了一种策略，该策略最大化投资者对终端财富的预期效用，但受到禁止资产不进行投资的限制，并旨在设计一个合同（该合同仅允许取决于产生的财富和公众可观察的市场因素），使该策略对代理人来说是最优的。

由于代理人可能进行注资，注资的时间和规模最初未知（即未建模），这项任务变得复杂。也就是说，与委托人不同，投资者可能不关心投资禁止性资产，因此，她可能会进行资本注入，即使这会鼓励代理人违反这一约束。因此，合同必须由委托人选择，以便代理人即使在存在注资的情况下也没有违反约束的动机——这就是我们所说的注资稳健性。在数学方面，本文解决了以下反问题：给定一个足够规则的随机场，找到一个随机效用，其最优投资策略以反馈形式与该随机场一致。我们通过一个线性tochastic偏微分方程（SPDE）刻划了解的性质，证明了它的适定性，并在Black-Scholes模型中显式地计算了解。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们用数学术语精确地描述了最优契约问题。第2.1小节涉及市场模型，第2.2小节介绍了可接受和最优合同的概念。第3节给出了问题的一般解决方案，该解决方案简化为构建优化标准的逆问题，该优化标准为所有初始财富水平生成给定的最优策略（视为随机场）。命题1将该问题与非线性SPDE联系起来，命题2展示了如何将该SPDE线性化，并证明了所得方程的适定性。最后，定理1将这些结果与最优契约问题联系起来。

在第4节中，我们考虑了一个特定的环境，其中提出的最优合同概念是自然的，并使用前面章节的一般结果在Black-Scholes模型中构建了一个封闭形式的最优合同。值得注意的是，合同并非由发起方完全设计的案例有很多。例如，根据当地法律，住宅物业的租赁协议通常是标准化的，个人设计新合同的成本可能相当高。此外，法律可能要求合同中存在某些条件，或者可能禁止某些条件：例如，赋予承租人终止协议的权利。或者，委托人可能是初始投资者，与基金经理签订长期合同，并将其财富转移给继任者。继承人不能在截止日期前提取资金，但可以允许他们增加资本，保持委托人规定的费用结构。4第4节中构建的SERGEY NADTOCHIY和THALEIA Zariphopoulouucontract仅取决于财富过程的价值和终端时的可交易资产的价值。因此，它还为问题的第二个最佳（道德风险）版本提供了解决方案，其中委托人只观察财富和市场的最终价值，因此，无法从其观察中完全推断代理人的策略。2、问题公式2.1。市场模式和投资策略。我们确定了随机基础(Ohm, F、 P）并假设公开观察到的过滤F（也称为市场过滤）是W（Rd中的标准布朗运动）生成的过滤的补充。此外，我们假设交易资产的价格过程S=（S。

，Sk）这是一个具有正项的It^o过程Rk，由（1）d log St=tdt+σTtdWt给出，其中对数按项取，u是一个具有Rk值的局部可积随机过程，σ是局部平方可积过程的d×k矩阵，d≥ k、 和具有线性独立列。后一种假设被解释为缺乏冗余资产。我们使用符号“AT”来表示矩阵（向量）a的转置。为简单起见，我们将无风险利率设置为零（相当于，我们使用贴现利率）。我们通过（2）λt引入d维随机过程λ，通常称为风险市场价格：=σTt+ut，其中（σTt）+是矩阵σTt的摩尔-彭罗斯伪逆，u是S的漂移：uit=~uit+kσitk/2，对于i=1，k、 σit是σt的第i列。特别是，我们有σTtλt=ut。这种过程λ的存在源于模型中存在套利的假设。用X表示一组对（ξ，τ），其中τ∈ T和ξ∈ L+（Fτ），其中T是所有F-停止时间的集合，L+（Fτ）是所有正Fτ-可测随机变量的集合。从任意（ξ，τ）开始∈ 十、 累积财富过程Xπ，ξ，τ由（3）dXπ，ξ，τs=πTsσTsλsds+πTsσTsdWs，s给出∈ （τ，T），Xπ，ξ，τ=ξ，对于任何渐进可测量的过程π，表示自我融资交易策略，上述积分已明确定义。我们假设π是这样的：Xπ，ξ，τ在任何时候都是严格正的。对于每一对（ξ，τ），我们定义此类策略的子集a（ξ，τ），并称任何π∈ A（ξ，τ）（ξ，τ）-可容许的（或者，如果上下文中没有其他内容，则仅可容许）。备注1。可以取消对严格正财富过程的限制。

然而，在这种情况下，关于最优策略的假设π*在第3.2小节中提出的初始条件U以及命题2的证明将相应地改变（参见备注7）。基金经理的最佳合同52.2。最优合同。考虑一位投资者，他雇佣了一名代理人，以便将其初始资本X>0投资于上述市场。向代理人提供了一份合同，该合同由可测量的映射C表示：Ohm × (0, ∞) → R、 它将财富过程的终值（由代理人通过选择的交易策略π产生）映射到付款（代理人在时间T收到）中。代理人是风险中性的，因为他旨在最大化其预期目标：（4）最大E C（XπT），其中最大化是在所有可接受的策略π上执行的，C是固定的。如果代理人的预期付款未达到给定水平U>0，则代理人不会签订合同。我们将可接受的合同定义为代理人的优化问题适定的合同，从而满足参与约束。定义1。如果以下情况成立，我们称C为可接受的合同对于任何（ξ，τ）∈ X和任意π∈ A（ξ，τ），C（Xπ，ξ，τT）是绝对可积的存在一个渐进可测量的随机场π*: [0，T]×Ohm ×(0, ∞) → R、 s.t.：–对于任何（ξ，τ）∈ 十、 存在唯一的X*,ξ、 τ满足（3），其中π=π*（十）*,ξ、 τ），–对于任何（ξ，τ）∈ 十、 π*（十）*,ξ,τ) ∈ A（ξ，τ），–E C十、*,十、 0吨≥ u、 –对于任何（ξ，τ）∈ X和任意π∈ A（ξ，τ），EC（Xπ，ξ，τT）| Fτ≤ EC（X*,ξ、 τT）| Fτ, a、 只有当π=π时，等式才可能成立*（十）*,ξ、 τ）对于a.e。

（t，ω）在随机区间[τ，t]。任何此类策略π*被称为C-最优。上述定义与经典设置不同的特点是，代理人可以在中间时间重新评估其策略，并从不同的财富水平开始，这可能与迄今为止其策略产生的财富不一致。此外，在每次重新评估时，代理必须遵循最优随机场规定的精确策略：即最优策略是时间一致且唯一的。定义2之后的讨论中给出了对最优合同如此强烈定义的动机，第4节描述了一个具体问题。该合同由一名负责人设计，其目的是最大限度地实现个人目标J的期望，该目标映射任何逐步可测量的随机场π：[0，T]×Ohm × (0, ∞) → R转化为FT可测量的随机变量J（π），应用于代理使用的策略，减去支付给代理的费用：（5）最大E[J（π）- C（XπT）]。6 SERGEY NADTOCHIY和THALEIA ZARIPHOPOULOUThe在所有可接受的合同C上执行上述最大化，策略π为C-最优。定义2。可接受的合同C*是最优契约问题（4）–（5）的解决方案，也被称为最优契约，如果，对于任何C*-最优策略π*, 任何可容许合同C，和任何C-最优π，我们都有J（π）- CXπ，X，0T≤ EJ（π*) - C*十、*,十、 0吨,其中Xπ，X，0和X*,十、 0与π和π相关的财富过程*, 分别与初始条件Xat时间为零。上述最优契约问题公式与经典公式的主要区别在于，在目前的情况下，委托人需要预测代理人在不同初始财富水平下的战略，这可能与战略本身产生的水平不一致。