基金经理的最佳合同，包括注资和

目前，我们不知道如何确保案例x的有限责任条件∈ R、 即使在这个简单示例的上下文中。备注8。使用对偶方法对（7）的解进行了另一种描述，见[4]、[5]。然而，目前的构造要短得多，也更直接，严格来说，为了应用[11]中的定理64，我们需要将R局部化，并在有限域上的积分中传递到极限。为了简洁起见，我们跳过这些常规参数。14 SERGEY NADTOCHIY和THALEIA ZARIPHOPOULOUus获得明确的解决方案，如第4节所示。还值得一提的是，在[9]中分析了（7）的马尔可夫解。命题1和命题2允许我们建立最优契约的以下特征，这是本文的主要结果。定理1。考虑任何初始资本X>0，以及任何λ和U，满足假设2，并且U（X）>0。假设存在一个渐进可测量的随机场π*, 这样π*σ满足假设1，π*（十）*,十、 0）∈ A（X，0），andEJ（π）≤ EJ（π*) ,对于对于某些可容许合约C，C-最优的任何π，让U如命题2所定义，任何常数'x>0和任何局部平方可积Rd值过程（在（'x））t≥0。那么，以下情况成立。（1） 对于任何（ξ，τ）∈ X和任意π∈ A（ξ，τ），过程美国犹他州Xπ，ξ，τtt型∈[τ，T]是局部上鞅。（2） 对于任何（ξ，τ）∈ 十、 存在唯一的解决方案X*,ξ、 τ至（9），以及过程美国犹他州十、*,ξ、 τtt型∈[τ，T]是局部鞅。（3） 如果上述局部鞅和局部超鞅分别是真鞅和真超鞅，则C*（x） ：=UT（x）uU（x）是最佳契约。证明：命题2意味着U、a和π*, 满足命题1的所有假设。定理的前两个陈述紧随其后。

为了展示最后一个陈述，我们注意到π的可容许性*（十）*), C的可积性*（Xπ）和命题1的最后一部分，意味着C*是一个可接受的契约*是C*-最优的综上所述，考虑任意可容许契约C和任意C-最优π。那么，我们有ehj（π）- CXπ，X，0T我≤ EJ（π）-u≤ EJ（π*) - u=EJ（π*) - C*十、*,十、 0个,其中，第一个不等式源自C的可容许性和π的C-最优性，第二个不等式源自定理的假设。下一节将说明上述定理的应用。它描述了一个特定的市场模型和一个具体的合同设计问题，目前对最优合同的定义是很自然的，并展示了如何明确构建最优合同。此外，由此产生的最优合同满足有限责任条件：C≥ 0（但是，请注意，定理1不能保证此条件）。基金经理的最佳合同154。在BLACK-SCHOLES模型中，我们假设d=k=2，d log（St）=（u- σ/2）dt+σdWt，d log（St）=（u- σ/2）dt+σ（ρdWt+p1- ρdWt），带有一些u，u∈ R、 σ、σ>0和ρ∈ (-1, 1). 换句话说，σ=σσρ0σp1- ρ, u =uu, λ=（σT）-1u =u/σu-(σρu)/σσ√1.-ρ!.让我们定义一个常数γ∈ (-∞, 0) ∪ （0，1），其含义解释如下。我们让x由所有对（ξ，τ）组成，s.t.τ是值为[0，t]和ξ，ξγ的任何停止时间∈L∩ L+（Fτ）。对于任何（ξ，τ）∈ 十、 我们将A（ξ，τ）定义为所有局部可积过程π，s.t的集合。由此得到的Xπ，ξ，τ是严格正的且支持∈[τ，T]Xπ，ξ，τT+E支持∈[τ，T]Xπ，ξ，τtγ< ∞.接下来，考虑一位投资者，她希望聘请一位代理人来管理她的初始capitalX。

如导言所述，我们假设代理人和投资者之间的合同由第三方设计，称为委托人（例如，它可以是监管机构、共同基金董事会等）。委托人使用以下个人目标选择最优合同：（20）J（π）=γXπ，X，0Tγ{π≡0}- ∞ · (1 - 1{π≡0}），其中π是一个随机场，Xπ，X，0由（3）生成，其中π=πXπ，X，0. 这一选择背后的理由如下。委托人假设（例如，根据她的估计）典型投资者使用电力公用事业，相对风险规避1-γ、 她补充道，不能对S进行投资，因为后者被视为不合适（例如，不道德、受到制裁等）。请注意，投资者可能对约束π不感兴趣≡ 满足0：例如，根据委托人的假设，她可能会以优化预期电力效用为目标，而不受约束。合同启动后，投资者可能有机会在某个停止时间τ将其投资规模增加到随机水平ξ。因为投资者可能不关心约束π≡ 0，先验地，她的注资可能会鼓励代理人违反此约束。委托人和代理人都不知道（ξ，τ）的概率性质（即，我们对注资机会采取奈特不确定性的方法）。特别是，在任何资本注入（ξ，τ）后，代理人将最坏情况下未来情景的预期值最大化，这对应于未来没有资本注入的机会（因为她总是可以选择SERGEY NADTOCHIY和THALEIA ZARIPHOPOULOUnot利用这样的机会）。因此，每次注资后（ξ，τ）∈ 十、 agentsolvesmaxπ∈A（ξ，τ）EC（Xπ，ξ，τT）| Fτ.监管机构的任务是双重的。

首先，考虑到约束π，她需要确保投资者对合同尽可能满意≡ 也就是说，合同应确保代理人的每一个最优策略都能最大化预期（20）减去预期支付给代理人的款项，即使在投资者注资的情况下也是如此。由于监管机构不知道这些注资，她旨在最大限度地提高投资者的最坏情况，即未来没有注资机会的情况（因为投资者总是选择不利用这种机会）。这将为监管机构带来以下目标：找到可接受的合同C*, s、 t.，对于任何C*-最佳π*, （C）*, π*) 最大化（21）EhJ（π）- C（Xπ，X，0T）表示所有对（C，π）都具有容许的C和C-最优π。很容易看出，如果C*在定义2的意义上，ISA是一个最优合同，然后它解决了监管机构的第一个任务。监管机构的第二项任务是确保投资者不会通过注资鼓励代理人投资第二项资产。这项任务由最优合同C的可采性属性来解决*: 参见定义1和2。事实上，可接受性意味着，在每次注资后，代理人仍然可以遵循在不注资的假设下计算的最优策略（理解为随机场）。后一种策略不投资于S，如对（C*, π*) 最大化目标（21）。在下面的小节中，我们构造了一个最优契约C*明确地4.1. 校长的最优策略。按照第3节开头所述的解决方法，我们首先搜索一个随机场π*1，s.t.π*1（X*) ∈ argmaxγEXπ，X，0Tγ、 其中X*是相关的最优财富（从Xat时间零点开始），并且支配所有过程π，s.t.π=（π，0）t∈ A（X，0）。

在这种情况下，财富过程满足π，X，0=X∈ R、 dXπ，X，0s=πsσλds+πsσdWs，s∈ [0，T]。上述最优投资问题的解决方案是众所周知的，但为了完整起见，我们在此简要介绍一下。价值函数Vis的关联HJB方程tV+最大π（πsσλxV+（π）σxxV）=0，x>0，t∈ （0，T），V（T，x）=xγ/γ。基金经理的最优合约17该收益率（22）V（t，x）=xγexp（T- t） λγ2（1- γ), π*1t（x）=λσ（1- γ） x，（23）x*= 十> 0，dX*s=λ1- γX*sds+λ1- γX*sdWs，s∈ [0，T]。一个标准的验证参数表明，V确实是优化问题的值函数，π*1（X*) 是最优策略，X*是最佳财富（注意X*是年龄计量布朗运动，因此，π*（十）*) ∈ A（X，0））。特别地，它遵循thatJ（π）≤ J（π*),对于任何π，对于某些可容许的合同C是C-最优的，J由（20）给出。4.2. 伪造最优合同。回想一下，本文中使用的最佳合同概念（参见定义2）比通常的概念更为强大。本定义的主要附加要求是合同是稳健的w.r.t.资本转移。在本小节中，我们将展示如何构建一个不具有此特性的（琐碎的）合同，以说明其差异。回想本金的最优财富过程，X*, 由（23）给出，并考虑以下合同：（24）^C（x）：=u{x*T} （x）注意，只要x*从目前的财富水平来看，这是可以实现的，代理人将始终为X*根据此类合同，Tas为终端财富。从市场的非退化性（即σ的列是线性独立的）可以看出，代理将遵循规定的策略π*（十）*), 由（22）给出，因为这是生成X的唯一策略*T

因此，合同^C使委托人和代理人都感到满意。事实上，上述结构在最优合同理论中是众所周知的，它总是适用于第一个最佳（风险分担）问题。然而，由此产生的合同^C在注资方面并不稳健。事实上，如果当前财富水平受到干扰，那么新的一组可达到的最终财富值可能不包括X*塔尼摩尔。在这种情况下，不清楚代理人会选择哪种策略：事实上，在积极资本注入的情况下，合同实际上会激励代理人“损失”（或窃取）资金（严格来说，这在模型中是不允许的，但在实践中肯定会发生）。特别是，无法保证代理人在注资后会遵循对委托人最有利的策略。可以通过使用指标以外的函数修改“虚假”最优合约（24）的定义，例如，获得终端财富不减少的合约。尽管如此，此类修改并不能解决主要问题：在注资后，不能保证代理人遵守规定的战略（被视为arandom油田）。为了结束这一小节，我们说明了以下事实的重要性：（20）给出的委托人J的个人目标取决于更一般18 SERGEY NADTOCHIY和THALEIA ZARIPHOPOULOUway中的策略π，而不是通过终端财富XπTalone。回想一下，委托人需要确保代理人的策略满足约束π≡ 0（这就是我们所说的内生约束）。

然后，如果委托人的个人目标是最终财富的确定函数，例如▄J（Xπ）=γ（XπT）γ，我们可以最大化该目标的期望，以获得最优策略▄*（视为一个随机字段），并选择合同▄C（x）：=▄J（x）uE▄J（x*T） 。请注意，EJ（XπT）确实是通过期望的最优策略π最大化的*. 动态编程原理也意味着π*（作为一个随机领域）在任何初始财富水平和任何开始时间对代理人来说都是最优的。因此，从定义2的意义上讲，C将是一个（微不足道的）最优契约。然而，只有当主体的个人目标依赖于π到Xπ时，这种构造才可能。然而，回想一下，在目前的公式中，J（π）通过约束π直接依赖于π≡ 因此，如果我们在agent面对的无约束问题中使用E（XπT）γ作为目标，它可能不会产生相同的最优策略π*. 实际上，在下一小节中明确构建的最优契约与指数γ的幂函数并不一致；事实上，它变成了终端财富的随机函数。4.3. 最优合同。回想一下π*t（x）=（π*1x，0）T，带π*1=λσ(1 - γ） ，使委托人的个人目标最大化。

根据命题2和定理1，我们首先求解SPDE（15），在本例中，它变成了sdrt（x）=σ(π*1） x个xxRt（x）+4σ（π*1） x个xRt（x）+2σ（π*1） Rt（x）dt公司-σπ*1台xRt（x）+λ+ σπ*1.Rt（x）载重吨- λRt（x）dWt，安萨兹Rt（x）=R（t，x，-Wt，-Wt），上述变为(tR公司+yyR年+zzR）dt-yRdWt公司- zRdWt公司=σ(π*1） x个xxR+4σ（π*1） x个xR+2σ（π*1） Rdt公司-σπ*1台xR公司+λ+ σπ*1.R载重吨- λRdWt，相当于tR公司+yyR年+zzR=σ（π*1） x个xxR+2σ（π*1） x个xR+σ（π*1） R，基金经理的最佳合同19yR=σπ*1台xR公司+λ+ σπ*1.RzR=λR。以下规范解决了上述系统：R（t，x，y，z）=R（t，σπ*1y+对数x）e（λ+σπ）*1） y+λz，tR+Ax▄R+（A+B）▄R=0，A：=2λσπ*1.- σ(π*1), B：=λ+ λ.上述方程的具体解由▄R（t，x）=exp给出(-（B）- εA）t- （1+ε）x），R（t，x，y，z）=exp-（B）- εA）t- （1+ε）对数x+λ- εσπ*1.y+λz,任何ε∈ (0, 1). 那么，Rt（x）=x1+εQt，其中Qt=exp-（B）- εA）t-λ- εσπ*1.Wt公司- λWt.让我们定义任意x*> 0，注意λ，σ，U和π*, 满足定理1的假设。要完成构造，请选择“x=1”和“x”=-λ- εσπ*1ε(1 - ε） Qt，在（(R)x）=-λε(1 - ε） Qt，获得（25）Ut（x）=ζt+ZxZ∞yRt（z）dzdy=ζt+QtεZxy-εdy=ζt+Qtε（1- ε） （x1-ε-1） ，其中ζ=1，dζt=-σ(π*1） Qtdt-λ- εσπ*1ε(1 - ε） QtdWt-λε(1 - ε） QtdWt=ε（1- ε） dQt。ThenUt（x）=Qtε（1- ε） x1-ε、 C类*（x） =uxX号1.-εQT。注意，选择ζ可确保Ut（x）≥ 0，对于所有x>0和所有（t，ω），因此，满足有限责任条件。

此外，我们可以将Qtand（因此，Ut（x））表示为两种资产（Sand S）在t时的收益率的确定函数：Wt=σlog（St/S）- λt+σt，Wt=σp1- ρlog（St/S）-ρσp1- ρlog（St/S）+σp1- ρ-σρp1- ρ- λ!t、 20 SERGEY NADTOCHIY和THALEIA ZARIPHOPOULOUQt=exp（λ+λ）- λσ+ επ*1σ(1 - π*1) - λσ- σρp1- ρ!t！×StS公司επ*1+ρλσ√1.-ρ-λσStS公司-λσ√1.-ρ： =bQt、 不锈钢，不锈钢.得出结论C*是一个最优契约，仍需验证定理1最后陈述的假设是否满足≥ 定理1的第1部分暗示，对于任何（ξ，τ）∈ X和任意π∈ A（ξ，τ），过程美国犹他州Xπ，ξ，τtt型∈[τ，T]是局部上鞅。由于它是非负的，andUτ（ξ）=常数·Qτξ1-ε∈ 五十、 （遵循H¨older不等式），应用Fatou引理得出它是一个超级鞅。接下来，定理1的第2部分暗示美国犹他州十、*,ξ、 τtt型∈[τ，T]是局部鞅。因为这也是积极的，我们有支持∈[0，T]美国犹他州十、*,ξ、 τt≤ 常数Eξ1-εsupt∈[0，T]Qt十、*,1，τt1.-ε!< ∞,它再次从H¨older不等式出发，通过观察到上remum中的表达式是几何布朗运动。上述不平等意味着美国犹他州十、*,ξ、 τtt型∈[τ，T]是真鞅，并且完成了C*是一个最优契约（定理1）。请注意，最优契约C*由终端财富乘以随机标量的幂函数给出。这与委托人的个人目标相反，委托人的个人目标是最终财富的确定函数。随机标量QT本身是市场上两种可用资产产生的收益的幂函数。因此，最优合约有效地衡量了代理人产生的相对于可用资产绩效的最终财富。

还要注意，后一种幂函数中的指数取决于资产的特性，例如风险的市场价格。再次证明最优合同是非负的，因此满足有限责任条件。还要注意，作为ε≈ 0时，最优契约收敛到乘x/XbQ（T，ST/S，ST/S）的u倍。上述比率衡量基金相对于两项资产的回报，后者由BQ获取。如果该比率超过1（即，如果基金表现优于基准），则管理人的费用超过其初始预期值u（即，他收到abonus）。否则，他的付款将低于u（即，他将受到处罚）。基金经理的最优合约21最后，值得一提的是，最优合约C*是财富过程终值和可交易资产终值的确定函数。因此，它还为问题的第二个最佳（道德风险）版本提供了一个解决方案，在该版本中，原则只观察（XπT，ST，ST），因此无法从herobservations完全推断出代理的策略π。然而，这并不奇怪，因为目标最优财富过程的终值X*T、 是（ST，ST）的确定函数，这意味着观察较低的值足以让委托人实施所需的交易策略。参考文献【1】S.Basak、A.Pavlova和A.Shapiro。货币管理中的最优资产配置和风险转移。《金融研究评论》，20（5）：1583–16212007年。[2] A.Cadenilas、J.Cvitani\'c和F.Zapatero。通过努力和项目选择实现最佳风险分担。《经济理论杂志》，133（1）：403–4402007。[3] 霍姆斯特伦和米尔格罗姆。跨期激励提供中的聚合和线性。《计量经济学》，55（2）：303–3281987。[4] N.El Karoui和M.M\'rad。