随机利率下局部波动模型的校正

对于（18）和（22）中分别定义的Z（t）和f，Z（t）f（t，S（t），r（t））是阿马丁格尔。证据利用Z（t）f（t，S（t），r（t））的鞅性和（2）中解的马尔可夫性，对于t≥ s、 我们写了[Z（t）f（t，s（t），r（t））/Fs]=Zsf（s，Ss，rs），（25）E[Z（t）f（t，s（t），r（t））/Ft]/Fs]=E[Zsf（s，Ss，rs）/Fs]，（26）E[E[Z（t）f（t，s（t），r（t））/s（t），r（t）]/Fs]=E[Zsf（s，Ss，rs）/Ss，rs]，（27）E[Z（t）f（t，s（t），r（t）），/Fs]=Zsf（s、Ss、rs）。（28）由于鞅Z（t，S（t），r（t））f（t，S（t），r（t））是一个It^o过程，因此它必须具有零漂移。使用It^o公式计算漂移项并将其设置为零，得出以下推论：推论3.2。Z（t，S，r）f（t，S，r）是以下偏微分方程（Zf）t+rS（Zf）S+u（Zf）r+Sσ（Zf）ss+α（Zf）rr+ρσαS（Zf）sr=0的解。（29）下一个命题提供了由P（t，S，r）Z（t，S，r）满足的正向方程。提案3.3。假设概率密度P（t，S，r）及其导数衰减足够快，对于较大的|（S，r）|为0，以排除边界项，即|（S，r）|→ ∞uP Z=σsP Z=αP Z=sσαP Z=0，（σsP Z）S=（αP Z）r=（sσαP Z）r=（sσαP Z）s=0。（30）然后P Z以Dirac delta函数为初始条件满足以下正演方程（P Z）t+（rSP Z）s+（uP Z）r-（sσP Z）ss-（αP Z）rr- ρ（ασSP Z）sr+r（P Z）=0，（P Z）（0，S，r）=δ（S- S、 r- r） 。（31）或（P Z）t+S（r- 2σ- ρσαr）- 2σσSS（P Z）s+[u- 2ααr- αρ（σ+SσS）]（P Z）r-Sσ（P Z）ss-α（P Z）rr- ραSσ（P Z）sr+2r+ur- （σ+4Sσs+s（σssσ+σs））- （ααrr+αr）- ραr（σ+SσS）（P Z）=0，（P Z）（0，S，r）=δ（S- S、 r- r） 。（32）证明。让我们注意byC（R）={h∈ C（R）具有紧密支撑}（33），并考虑f（t，S，R）如（22）中定义的h∈ C（R）。利用Z（t）f（t，S（t），r（t））的鞅性质，我们对任何t≥ 0f（0，S（0），r（0））=E[Z（t）f（t，S（t），r（t））]（34）=Z[P（t，S，r）Z（t，S，r）]f（t，S，r）dSdr。

（35）通过在（35）中取导数w.r.t t t，使用（23），进行分部积分，并使用零边界条件（30），我们得到ZF[（P Z）t+（rSP Z）s+（uP Z）r-（sσP Z）ss-（αP Z）rr-ρ（ασsP Z）sr+r（P Z）]dsdr=0。（36）注意，当t接近t时，函数f（t，S，r）接近h（S，r），最后一个方程变成h[（P Z）t+（rSP Z）S+（uP Z）r-（sσP Z）ss-（αP Z）rr-ρ（ασsP Z）sr+r（P Z）]dsdr=0。（37）自h起∈ C（R）是任意的，我们得到了正演方程（31）。Dirac delta初始条件意味着，在时间t=0时，我们确定即期S（0）等于S，利率r（0）等于rand Z（0）=1。备注3.4。我们知道（参见[30]中的命题11.5），P（t，S，r）满足由（P）t+（rSP）s+（uP）r-（sσP）ss-（αP）rr- ρ（ασSP）sr=0，（P Z）（0，S，r）=δ（S- S、 r- r） 。（38）相比之下，（31）中P Z的方程有一个额外的反应项。此外，根据定义，我们拥有≥ 0ZP（t，S，r）dSdr=1，（39）Z（P Z）（t，S，r）dSdr=E[Z（t，S（t），r（t））]=ZC（0，t）。(40)4. 数值方法求解的目标方程为（32），初始条件为Dirac delta函数。对于校准，空间变量（S，r）可能在无界域中定义，通常是S≥ 0和r∈R（见第5节）。这个无界域实际上被（S，r）截断∈ [Smin，Smax]×[rmin，rmax]在有限差分空间离散化中，Smin接近0，| Smax |，| rmin |，| rmax |在数值实验中非常大（见[31]）。对于边界值，我们选择Dirichlet类型的条件。这些值取决于所考虑的模型。在第5节的数值实验中，所有t和Q的RTH均为高斯分布（St>0，t型≥ 0) = 1. Z（t、S、r）的值预计约为1（见图13和14）。然后，合理地将P Z（t，S，r）的边界值设置为0。

对于初始条件，我们建议用高斯核近似Dirac delta函数，即高斯函数族γN（S，r）=2π√det∑exp-S- Sr公司- rΣ-1秒- Sr公司- r（41）由带∑的参数N>0参数化=NN型（参见例如[32]和[33]）。构造求解方程（31）的全隐式格式可能会导致一些困难，因为所描述的线性系统成为带状结构，需要高效的线性解算器。此外，如果使用的网格数很大，由于矩阵的大小太大，程序的初始化可能会导致问题。在下文中，使用能够解决这些问题的Peaceman-Rachford格式解释了对方程（31）进行时间离散的细节。4.1. ADI SolverLet NS，Nrbe分别是在S和r方向上进行空间离散的网格点数量，Ntbe是用于时间离散的网格点数量。Peaceman-Rachford方案的基本原则是将时间推进方案中的计算分为几个步骤，涉及不同的空间变量。

更准确地说，用于从已知值（P Z）nca计算（P Z）n+1的方案可以指定为以下两个步骤。ADI步骤1在ADI的第一步中，隐式处理S上的有限差分空间离散化，剩余项显式表示从n到n+的时间步，即（P Z）n+ij- （P Z）nijt/2+C（P Z）n+i+1，j- （P Z）n+i-1，j2S+C（P Z）ni，j+1- （P Z）ni，j-12r+C（P Z）n+i+1，j- 2（P Z）n+ij+（P Z）n+i-1，j(S） +C（P Z）ni，j+1- 2（P Z）nij+（P Z）ni，j-1(r） +C（P Z）ni+1，j+1+（P Z）ni-1，j-1.- （P Z）ni-1，j+1- （P Z）ni+1，j-14Sr+C（P Z）n+ij=0，（42），其中C=（rjSi- 2Siσi- 2（Si）σi（σS）i- ρσiSi（αr）j），C=（uj- ρσiαj- ρ（σS）iSiαj- 2αj（αr）j），C=-Siσi, C类=-αj！，C=(-ρσiSiαj），C=（2rj+（ur）j-σi-4Siσi（σS）i-（（σS）i）Si-σi（σSS）iSi-（（αr）j）-αj（αrr）j-ρ（σS）iSi（αr）j-ρσi（αr）j），这里（P Z）nijis是（P Z）（n）的离散化表示法t、 我S、 jr） 对于i=1。。。，NS，j=1。。。，n和n+是一个虚拟时间步。注：符号（σS）i，（σSS）i表示离散点Si处灵敏度的评估。类似地，符号（αr）j、（αrr）js表示使用离散点rj计算的值。然后得出solveH（P Z）n+=f（（P Z）n）。（43）对于每个j，其中His是一个大小为（NS×NS）且条目等于i的三对角矩阵=-C2级S+C(S） ，bi=t型-2C(S） +C，ci=C2S+C(S） ，其中ai、bi、C是i=1，…，的下对角线、主对角线和上对角线的条目。。。，NS。右侧值f（（P Z）n）可以用当前时间步长的已知值（P Z）来计算，并由f（（P Z）n）=（P Z）nij给出t+2C(r）- （P Z）ni，j+1C2级r+C(r）+ （P Z）ni，j-1.C2级r-C类(r）- C（P Z）ni+1，j+1+（P Z）ni-1，j-1.- （P Z）ni-1，j+1- （P Z）ni+1，j-1.4.Sr

（44）ADI步骤2获得虚拟时间步（P Z）n+处的解后，ADI的第二步是考虑r上的有限差分空间离散化，隐式处理，其余项为从n+到n+1的时间步，如下（P Z）n+1ij- （P Z）n+ijt/2+C（P Z）n+i+1，j- （P Z）n+i-1，j2S+C（P Z）n+1i，j+1- （P Z）n+1i，j-12r+C（P Z）n+i+1，j- 2（P Z）n+ij+（P Z）n+i-1，j(S） +C（P Z）n+1i，j+1- 2（P Z）n+1ij+（P Z）n+1i，j-1(r） +C（P Z）n+i+1，j+1+（P Z）n+i-1，j-1.- （P Z）n+i-1，j+1- （P Z）n+i+1，j-14Sr+C（P Z）n+1ij=0，（45）对于i=1。。。，NS，j=1。。。，n和n+1是所追求解决方案的时间步长。然后得出每个i的解h（P Z）n+1=f（（P Z）n+），（46），其中His是一个大小为（Nr×Nr）且条目等于todj的三对角矩阵=-C2级r+C(r） ，ej=t型-2C(r） +C，fj=C2r+C(r） 。式中，dj、ej、FJAR表示j=1，…，下对角线、主对角线和上对角线的条目。。。，n.右侧值f（（P Z）n+）可在虚拟时间步用计算出的溶液（P Z）n+进行评估，并由f（（P Z）n+）=（P Z）n+ij给出t+2C(S）- （P Z）n+i+1，jC2级S+C(S）+ （P Z）n+i-1，jC2级S-C类(S）- C（P Z）n+i+1，j+1+（P Z）n+i-1，j-1.- （P Z）n+i-1，j+1- （P Z）n+i+1，j-1.4.Sr、 （47）备注4.1.o在ADI步骤1和2中，系数Ci，i=1。。，6在时间tn进行评估。它对应于一些近似值，并允许简化某些用于求解P（t，S，r）的前向福克-普朗克方程的偏微分方程方案会导致一些负概率，并且是不稳定的根源（参见例[34，35]）。在第5节的数值示例中，我们在求解Pz的方程（32）时没有看到这些问题。o使用[34]中的生成器和M矩阵的概念，Itkin提出了PDE拆分方案s.t离散解P（t，s，r）的积分等于1。这里，（P Z）（t，S，r）的解理论上应该满足关系式（40）。

在我们第5节的实验中，积分数值解可以得到略有不同的结果。在这种情况下，我们对（P Z）（t，S，r）S.t关系（40）的数值解进行归一化。算法1：交替方向隐式模式输入：初始条件（P Z）=δ（S-S、 r- r） ，参数soutput：（P Z）ntf对于n=0：Nt- 1 do1。ADI步骤1：对于j=1：Nr- 1 doSolve H（P Z）n+=f（（P Z）n）得到（P Z）n+；end2.ADI步骤2：对于i=1:NS- 1剂量H（P Z）n+1=f（（P Z）n+），得到（P Z）n+1；结束语4.2。K有效执行纠正条款莱特说明kn我们要计算修正项的走向网格se[Z（T）（r（T）- f（0，T））1S（T）>K]在每个到期日T。我们观察到，两次连续罢工的纠正条款高度相关。实际上，对于Ki<Ki+1，我们有Adj（Ki）=Adj（Ki+1）+E[Z（T）（r（T）- f（0，T））1Ki+1≥S（T）>Ki]，（48），带Adj（K）=E[Z（T）（r（T）- f（0，T））1S（T）>K]。因此，一种有效的算法是首先计算Adj（KN），然后使用关系式（48）按顺序计算其他项。使用此方法，计算给定成熟度的所有校正项基本上包括在S和r的整个离散化域中执行一次数值积分，从而显著加快计算时间。在我们的数值实验中，使用PDE解和网格点对校准和定价的积分进行数值估计。算法2：校准算法输入：使用ADI方法的必要参数。输出：σ（Ti，Kj），i=1。。。，NT，j=1。。。，NK。对于i=1：NTdoSolve方程（31）得到（P Z）；对于j=1：NKdo1。使用方程（48）进行数值积分，以获得额外项；2、计算灵敏度，得到σDup；3、计算σ（Ti，Kj）；endend5.数值试验5.1。

Black-Scholes-Hull-White混合模型让我们考虑一下具有Hull-White随机利率模型的Black-Scholes经济：dS（t）St=r（t）dt+σdW（t），S（0）=S，dr（t）=a（θ（t）- r（t））dt+σ（ρdW（t）+p1- ρdW（t）），r（0）=r.（49）a表示反转速度，θ表示长期平均水平。从[28]中，零息票ZC（0，T）价格和远期利率分别由ZC（0，T）=A（0，T）e给出-B（0，T）r（0），（50）f（0，T）=-σ2a+θ- (θ -σa- r0）e-在-σ2ae-2aT，（51），其中B（0，T）=a（1- e-aT）和A（0，T）=e(θ-σ2a）（B（0，T）-T）-σ4aB（0，T）.备注5.1。我们可以通过考虑θ=θ（t）来精确拟合市场上观察到的利率期限结构。根据[28]，公式为θ（t）=af（0，t）t+f（0，t）+σa(1 - e-2at）。（52）利用鞅方法，我们在[36]中推导出了到期日为T、行权Kis的欧式看涨期权价格C（T，K），我们在下一个命题中对此进行了总结。提案5.2。C（T，K）=SN（d）- KZC（0，T）N（d），（53），其中N（T）=√2πe-t、 N（x）=Rx-∞n（t）dt，k=ln（k），d=log（SK）-log（ZC（0，T））+RT^σ（T）dt√RT^σ（t）dt，d=d-qRTσ（t）dt，σ（t）=pσ+2ρσσX（t）+σX（t）和X（t）=-ZC（0，T）ZC（0，T）r、 从（50）中，我们得到X（t）=B（0，t）和zt^σ（t）dt=σt+2ρσaT+e-在- 1a级+σaT-2a（3- 4e-aT+e-2aT）. （54）以下推论提供了局部挥发校准表达式中CT、Ck和CKKused的分析公式（12）。推论5.3。利用命题（5.2）和g（T）=RT^σ（T）dt中的定义，我们得到CT（T，K）：=CT（T，K）=Sn（d）^σ（T）pg（T）+KZC（0，T）f（0，T）N（d），（55）CK（T，K）：=CK（T，K）=-ZC（0，T）f（0，T）N（d），（56）CK（T，K）：=CKK（T，K）=ZC（0，T）n（d）Kpg（T）。（57）证据见附录。该模型提供了可处理性，我们可以分析计算函数Z（t，y，r），其表现形式在下一个命题中给出。提案5.4。

让我们定义Y（T）：=log（s（T）），R（T）：=RTr（s）ds，并假设矩阵∑yr，在（65）中定义，可逆。那么我们有-R（T）| Y（T），R（T）]=经验(-uR- ∑tyr，R∑-1年。Y（T）- uyr（T）- ur+∑R- ∑tyr，R∑-1yr∑yr，R），（58），其中uy=对数（S（0））+uR-σT，（59）ur=r（0）e-在+θ（1- e-aT），（60）uR=R（0）（1- e-aT）a+θT-θa（1- e-aT），（61）∑y=∑R+σT+2σσρaT-a（1- e-aT）, （62）∑r=σ2a（1- e-2aT），（63）∑R=σaT+2a（1- e-2aT）-a（1- e-aT）, （64）∑年=∑yρσa（1- e-aT）ρσσa（1- e-aT）∑r, （65）∑年，R=ρσσa[T-a（1- e-在）]σa(- e-aT+e-2aT）. （66）证明。标准计算giveY（T）=log（S（0））+R（T）-σT+σW（T），（67）r（T）=r（0）e-在+θ（1- e-aT）+σ中兴通讯-a（T-t）ρdW（t）+p1- ρdW（t）, （68）R（T）=a（1- e-aT）（r（0）- θ） +θT+σaZT（1- e-a（T-t） （）ρdW（t）+p1- ρdW（t）. （69）那么Y（T）r（T）r（T）是平均值为u的高斯向量=uyurur和协方差矩阵∑yr∑yr，R∑tyr，R∑R.众所周知（参见[37]中的第2.3章），R（T）的条件分布如下Y（T）r（T）为异常随机变量，平均值为uR | y，随机方差σR | y，rgiven分别为uR | y，R=uR+∑tyr，R∑-1年。Y（T）- uyr（T）- ur, （70）σR | y，R=∑R- ∑tyr，R∑-1yr∑yr，R.（71）使用标准正态随机变量N的矩母函数，E【euN】=eu，u∈ R、 （72）然后我们得到方程（58）中的表达式。5.1.1. 测试对于数值测试，我们考虑两组参数：参数集1集2S1 1r2%2%σ20%20%σ4%4%ρ40%-40%a 0.5 0.5θ2%2%T这些模型参数对应于股票和利率衍生品定价中通常使用的数量级。此外，它们与Kim在[38]中对模型参数的统计估计值一致。

在这里，我们考虑更高的利率动态波动率σ和相关性值ρ，以更好地衡量随机利率过程的影响。对于每组模型参数，我们使用上一节中解释的ADI方法在均匀网格中求解PDE（32）。对于集合1和集合2，时间和空间离散化的大小分别由ds=0.0156、dr=0.0026、dt=0.0099和ds=0.025、dr=0.0037、dt=0.019给出。对于集合1，P Z的解析解如图1所示，数值解如图2所示，其差异如图3所示。对于集合2，类似的结果如图7、图8和图9所示。对于这两个集合，我们观察到在DE网格上解析公式和数值解之间的差异非常小。为了更准确的评估，我们使用成熟度T时的数值解P Z对每个集合进行期权定价。我们对各种罢工的欧洲看涨期权价格进行了数值评估。图4和图10分别说明了第1组和第2组的数值和分析价格解决方案。差异分别如图5和图11所示。对于这两种情况，我们观察到非常好的定价准确性，因为差异在几个基点（10-4).此外，我们还量化了表达式（12）中修正项对随机利率的影响。为了避免任何标度，我们在分子中显示了解析公式，即e[Z（T）（r（T））-网格（T，K）上的f（0，T））1S（T）>K]。第1组和第2组的结果分别如图6和图12所示。在第一种正相关参数ρ=0.4的情况下，我们观察到正修正项，其中高值集中在货币1周围。如第2节的备注所述，修正术语衡量利率和股票现货之间的协方差。

类似地，对于集合2，其中相关参数为负ρ=-0.4，我们获得了围绕货币性1的更高水平的负值。最后，我们在图13和图14中分别为集合1和集合2绘制了预测贴现因子Z（T，S，r）。在这两种情况下，形式相似，级别在1左右变化。图1：参数S=1.0，r=0.02，σ=0.2，σ=0.04，ρ=0.4，a=0.5，θ=0.02，T=1.0。图2：参数S=1.0，r=0.02，σ=0.2，σ=0.04，ρ=0.4，a=0.5，θ=0.02，T=1.0。图3：参数S=1.0，r=0.02，σ=0.2，σ=0.04，ρ=0.4，a=0.5，θ=0.02，T=1.0.0.5 1 1.500.20.40.60.8K所有价格分析公式图4：参数S=1.0，r=0.02，σ=0.2，σ=0.04，ρ=0.4，a=0.5，θ=0.02，T=1.0.5 1 1.5-5.-4.-3.-2.-10 x 10-5KDiscrepancyFigure 5：参数S=1.0，r=0.02，σ=0.2，σ=0.04，ρ=0.4，a=0.5，θ=0.02，T=1.0。图6：参数S=1.0，r=0.02，σ=0.2，σ=0.04，ρ=0.4，a=0.5，θ=0.02。图7：参数S=1.0，r=0.02，σ=0.2，σ=0.04，ρ=-0.4，a=0.5，θ=0.02，T=2.0。图8：参数S=1.0，r=0.02，σ=0.2，σ=0.04，ρ=-0.4，a=0.5，θ=0.02，T=2.0。图9：参数S=1.0，r=0.02，σ=0.2，σ=0.04，ρ=-0.4，a=0.5，θ=0.02，T=2.0.0.5 1 1.500.20.40.60.8K所有价格分析公式图10：参数S=1.0，r=0.02，σ=0.2，σ=0.04，ρ=-0.4，a=0.5，θ=0.02，T=2.0.0.5 1 1.5-2.-1.5-1.-0.5x 10-4KDiscrepancyFigure 11：参数S=1.0，r=0.02，σ=0.2，σ=0.04，ρ=-0.4，a=0.5，θ=0.02，T=2.0。图12：参数S=1.0，r=0.02，σ=0.2，σ=0.04，ρ=-0.4，a=0.5，θ=0.02。图13：参数S=1.0，r=0.02，σ=0.2，σ=0.04，ρ=0.4，a=0.5，θ=0.02，T=1.0。图14：参数S=1.0，r=0.02，σ=0.2，σ=0.04，ρ=-0.4，a=0.5，θ=0.02，T=2.0.5.2。