随机利率下局部波动模型的校正

双曲局部波动率Hull-White模型在我们的第二个示例中，我们考虑一个由dS（t）St=r（t）dt+σH（St）dW（t），S（0）=S，dr（t）=a（θ（t）- r（t））dt+σ（ρdW（t）+p1- ρdW（t）），r（0）=r，（73），其中σH（St）=νn（1- β + β)β+(β - 1） βStqSt+β（1- St）- βo、 （74）ν>0表示波动性水平和β∈ [0，1]显示倾斜参数。文献[39]中介绍的该模型与CEV模型的行为非常相似，并已用于文献[40，41]中的数值试验。它的优点是避免零成为可达到的边界，然后允许避免一些数值不稳定性，如基础S为0时的CEV模型中所示（参见例[42]）。它对应于β=1的Black-Scholes模型，并且当β6=1时，波动率表面呈现出倾斜。图15说明了参数β对波动率曲面倾斜的影响。我们观察到，随着β值的降低，偏斜显著增加。例如，当ν=0.2，β=0.2时，50%和100%冲击之间的波动性差异约为20%。我们通过分别考虑负相关ρ=-30%，正相关ρ=30%。表2中选择了其他模型参数。对于这两个测试，我们在ds=0.012、dr=0.002、dt=0.0099的统一网格中求解P Z至成熟度T的PDEin方程（31）。然后，我们利用PDE网格点和解，通过数值积分，对不同的敲打进行成熟度为T的欧式看涨期权定价。我们还通过对具有dt=和100万条路径的SDE（73）使用ingueler离散化进行蒙特卡罗模拟定价（参见例如[37]或[43]）。对于集合1（分别针对集合2），定价结果如图16（分别在图18中）所示，其差异如图17（分别在图19中）所示。

我们获得了非常准确的结果，因为使用偏微分方程和蒙特卡罗方法得出的价格差异都在两个基点内，所有罢工都在[0，2]范围内。Sr3.75%ν20%β0.5σ4%a 0.5T表2：双曲线局部波动率Hull-White模型的模型参数。结论与讨论在本文中，我们提出了一种基于PDE的新技术，用于校准随机利率下的局部波动模型。主要结果是推导了P（t，S，r）Z（t，S，r）满足的正演方程，以及基于ADI方案构建的PDE解算器，从而产生了更有效的校准方法。此外，还介绍了一些加速校准算法的技术，使模型具有实时执行的实用性。数值实验补充了我们的理论分析，并显示了一致的测试结果。此外，所讨论的模型实际上是一个一般情况，可以涵盖这些天使用的大多数著名的局部波动率模型扩展。

因此，该校准框架对于不同资产类别市场（如股票、交易所或流动性）中的各种问题非常有用。我们提出了几个有趣的研究途径：o这里，我们将数值实验的重点放在使用两种定量金融中广泛使用的混合模型解析正向方程（31）：Black-Scholes-Hull-White和0 1 2 300.10.20.30.40.5SHyperbolic波动率β=0.2β=0.4β=0.5β=0.6β=0.8图15：β值对双曲线局部波动率σh的影响，对于固定波动率水平ν=0.2.0 0 0.5 1 1.5200.511.5蒙特卡罗定价图16：参数S=1.0，r=3.75%，ν=20%，β=0.5，σ=4%，ρ=-0.3，a=0.5，T=1.0.0 0.5 1 1.5 2-3.-2.-1012x 10-4KDiscrepancyFigure 17：参数S=1.0，r=3.75%，ν=20%，β=0.5，σ=4%，ρ=-0.3，a=0.5，T=1.0.0 0.5 1 1.5 200.20.40.60.81K蒙特卡罗定价图18：参数S=1.0，r=3.75%，ν=20%，β=0.5，σ=4%，ρ=0.3，a=0.5，T=1.0.0 0.5 1 1.5 2-6.-4.-202x 10-4KDiscrepancyFigure 19：参数S=1.0，r=3.75%，ν=20%，β=0.5，σ=4%，ρ=0.3，a=0.5，T=1.0。双曲局部波动率Hull-White模型。用实时市场数据补充PDE校准程序的测试将很有趣。o通过数值试验，我们的简单ADI格式给出了良好的收敛结果，并显示了w.r.t强偏斜和高相关参数的稳健性。进行数值分析并与现代ADI格式进行比较是我们未来研究的一部分。附录为了证明推论（5.3），我们提供了以下有用的lemmaLemma 7.1。

利用命题（5.2）和推论（5.3）中的定义，我们得到了sn（d）=KZC（0，T）n（d）（75）证明。d- d=（d- d） （d+d）（76）=-pg（T）（d+d）（77）=-pg（T）2维-pg（T）(78)= -2.日志SK公司- 对数ZC（0，T）（79）日志n（d）n（d）= 日志K log ZC（0，T）S（80）从最后一个表达式，我们直接推导（75）。对于表达式（55），我们写下（T，K）=Sn（d）d1，T- K[ZCT（0，T）N（d）+ZC（0，T）N（d）d2，T]（81）=Sn（d）（d1，T- d2，T）- KZCT（0，T）N（d）（82）=Sn（d）^σ（T）pg（T）+KZC（0，T）f（0，T）N（d）（83），其中我们在第二个等式d1，T中使用了（75-d2，T=^σ（T）√g（T）和ZCT（0，T）=-ZC（0，T）f（0，T）获得第三个表达式。CK（T，K）=Sn（d）d1，K- ZC（0，T）[N（d）+Kn（d）d2，K]（84）利用d1，K=d2，和引理（75）的结果，我们得到表达式（56）。最后，我们通过推导（56）w.r.t K并使用d1，K=-K√g（T）。参考文献[1]E.Derman，I.Kani，《随机隐含树：具有随机期限和波动率显著结构的套利定价》，国际理论与应用金融杂志01（61）。[2] B.杜皮尔，微笑定价，风险。[3] M.Rubinstein，《隐含二叉树》，金融杂志。[4] M.Atlan，《Olcaliszing挥发物》，工作论文，皮埃尔·埃特玛丽·科里大学概率实验室。[5] I.Clark，《外汇期权定价：从业者指南》，Wiley Finance，2011年。[6] E.Benhamou，M.Miri，《随机利率局部波动模型分析公式》，定量金融12。[7] H.B.A.F.C.J.M.Overhus，A.Bermudez，A.Lamnouar，股权混合衍生工具，Wiley，2007年。[8] V.Piterbarg，《微笑的混合动力车》，风险杂志19。[9] G.Deelstra，G.Rayee，《长期外汇衍生品的局部波动定价模型》，应用数学金融20（4）。[10] 任明义，钱明清，嵌入局部波动模型的校准和定价，风险20。[11] E.Gobet，J。

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