随机利率下局部波动模型的校正

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英文标题：
《Calibration of Local Volatility Model with Stochastic Interest Rates by
  Efficient Numerical PDE Method》
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作者：
Julien Hok and Shih-Hau Tan
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Long maturity options or a wide class of hybrid products are evaluated using a local volatility type modelling for the asset price S(t) with a stochastic interest rate r(t). The calibration of the local volatility function is usually time-consuming because of the multi-dimensional nature of the problem. In this paper, we develop a calibration technique based on a partial differential equation (PDE) approach which allows an efficient implementation. The essential idea is based on solving the derived forward equation satisfied by P(t; S; r)Z(t; S; r), where P(t; S; r) represents the risk neutral probability density of (S(t); r(t)) and Z(t; S; r) the projection of the stochastic discounting factor in the state variables (S(t); r(t)). The solution provides effective and sufficient information for the calibration and pricing. The PDE solver is constructed by using ADI (Alternative Direction Implicit) method based on an extension of the Peaceman-Rachford scheme. Furthermore, an efficient algorithm to compute all the corrective terms in the local volatility function due to the stochastic interest rates is proposed by using the PDE solutions and grid points. Different numerical experiments are examined and compared to demonstrate the results of our theoretical analysis.
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中文摘要：
使用随机利率r（t）下资产价格S（t）的局部波动率类型模型，对长期期权或广泛类别的混合产品进行评估。由于问题的多维性，局部波动率函数的校准通常非常耗时。在本文中，我们开发了一种基于偏微分方程（PDE）方法的校准技术，该方法可以有效地实现。其基本思想是基于求解P（t；S；r）Z（t；S；r）满足的导出正演方程，其中P（t；S；r）表示（S（t）；r（t））和Z（t；S；r）状态变量中随机贴现因子的投影（S（t）；r（t））。该解决方案为校准和定价提供了有效和充分的信息。基于Peaceman-Rachford格式的扩展，采用交替方向隐式（ADI）方法构造PDE求解器。此外，利用偏微分方程解和网格点，提出了一种计算随机利率引起的局部波动函数中所有修正项的有效算法。对不同的数值实验进行了检验和比较，以验证我们的理论分析结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：波动模型 Mathematical Quantitative Differential calibration

修订历史修订日期作者描述1.0 2018年3月11日第1版利用有效的数值PDE方法对随机利率的局部波动模型进行校准Julien HokCredit Agricole CIB，Broadwalk House，5 Appold StLondon，EC2A 2DA，UnitedKingdomjulienhok@yahoo.frShih-Hau TanCuemacro，伦敦，United KingdomAbstractLong-maturity options或一系列混合产品使用随机利率r（t）的资产价格S（t）的局部波动率类型模型进行评估。由于问题的多维性，局部波动率函数的校准通常非常耗时。在这篇论文中，我们开发了一种基于偏微分方程（PDE）方法的校准技术，该方法可以有效地实现。其基本思想是基于求解由P（t，S，r）Z（t，S，r）满足的导出正向方程，其中P（t，S，r）表示（S（t），r（t））的风险中性概率密度，Z（t，S，r）表示随机贴现因子在状态变量（S（t），r（t））中的投影。该解决方案为校准和定价提供了有效的信息。基于Peaceman-Rachford格式的扩展，采用交替方向隐式（ADI）方法构造了DE解算器。此外，利用PDE解和网格点，提出了一种计算随机利率引起的局部波动函数中所有校正项的有效算法。对不同的数值实验进行了检验和比较，以证明我们的理论分析结果。关键词：局部波动模型；随机利率；混合动力，校准；正向福克-普朗克方程；交替方向隐式（ADI）方法1。

简介在定量金融中，【1、2、3】中介绍的局部波动类型模型被广泛用于建模基础价格，以捕捉股票或外汇市场中的市场波动偏斜或微笑。众所周知，在确定性利率下，可以通过使用欧洲看涨期权和看跌期权价格，使用杜皮尔公式（见等式（13））获得局部波动率函数。2018年3月13日，向爱思唯尔提交了相应的authorQuantitative分析师顾问报告，内容涉及长期期权（如纯股权自动调用衍生工具）或一些支付涉及利率和基础资产的混合产品，如支付最高息票的最佳利率股权伦敦银行同业拆借利率StS公司- 1., （1） 可能需要将利率建模为随机利率。然后很自然地扩展局部波动率模型，将随机利率纳入其中。该建模框架在金融业中得到了广泛的应用（参见[4、5、6、7]）。为了与市场隐含波动率完美匹配，可以推导出局部波动率类型公式，并由方程式（12）给出。我们观察到，在Dupire局部波动函数的顶部，考虑到股票价格和短期利率之间的协方差，还有一个额外的修正项。不幸的是，这种杜皮尔公式的扩展并不容易适用于整个市场的校准，因为似乎没有直接的方法将预期期限与欧洲期权价格或其他流动性产品联系起来。模型实施的主要挑战在于校准（另见[8]中的讨论）。首先，它对应于一个双因素模型。此外，公式（12）要求在定义局部波动率函数时，在Dupire表达式的顶部为每个到期日的每个罢工点K设置一个校正项。

实时执行需要与高效实施相关的校准和定价的准确性、稳健性。实际上，该模型不仅将用于定价，还将用于计算所有套期保值敏感因素（如delta、gamma和vega）。过去十年中，许多研究结果出现在随机利率的局部波动率模型的不同定量金融领域。简要介绍如下：o关于局部波动率函数及其校准的理论结果已在[4、9、10]中公开和讨论对于期权定价，在[6，11]中，作者通过使用[12]中介绍的代理应用摄动方法，开发了扩展公式。[13]研究了通过部分微分方程（PDE）方法的定价框架，并应用Crank-Nicolson方案和交替方向隐式（ADI）方法构建了PDE解算器在模型校准方面，为了定价幂次反向双货币（PRDC）衍生品，皮特堡在[8]中使用恒定弹性方差（CEV）动态作为参数形式，对远期外汇汇率的局部波动函数进行了建模。开发了一种基于马尔可夫投影法的快速校准程序，并在[14，15]中讨论了倾斜平均技术。校准基本上捕获了隐式可用性曲面的斜率，但不能精确地确定其凸度。在文献[7]中，作者提出了一种PDE校准方法，该方法通过求解（S，r）在前向测量QTi下联合分布的前向PDE来引导每个到期TIB的局部波动性函数。根据局部波动率校准中的到期数，该算法的计算量可能非常大。

文献[16]研究了使用McKeans粒子方法的蒙特卡罗方法进行校准。[17]中的作者使用Malliavin演算推导出局部波动率函数的方程，然后使用定点法求解。然而，如【16】所述，对于资金不足或到期时间较长的情况，校准质量会严重恶化对于定量金融中的模型校准，构建了不同的数值解算器来解算类似类型的高维偏微分方程。例如，Ren【18】提出了一种使用算子分裂方法校准局部波动率和随机波动率的想法。Tian[19]采用修正的Douglas方案，Wyns[20]采用修正的Craig-Sneyd方案，研究了外汇市场中类似Hestonlike的期限结构模型。[21]中详细讨论了这些ADI型格式，以处理对流扩散方程的稳定性和二阶收敛性。在本文中，我们假设一个马尔可夫环境，其随机微分方程（SDE）由（2）给出，即基础S遵循局部波动类型的微分，短期利率r（t）由一般形式的动力学表示。该模型涵盖了一种特殊情况，即S的局部波动性差异与r的高斯赫尔-怀特动态相关（见[22]），广泛用于混合产品的定价（见[6、11、7]）。我们专注于模型校准，并提出了一种使用PDE方法高效实施的方法。该思想首先引入了状态变量（S（t），r（t））中随机贴现因子的投影，由函数Z（t，S（t），r（t））不等式定义的数量（18）。

利用鞅变元，我们推导出由乘积P（t，S，r）Z（t，S，r）满足的前向偏微分方程，其中P（t，S，r）是（S（t），r（t））的概率密度（见命题3.3中的主要结果）。PDE的解决方案可以极大地帮助我们获得正确的条款并执行定价。为了高效地获得数值PDE解，在[23]中Peaceman-Rachford格式的扩展基础上，提出了一种简单直观的VEADI格式，该格式可以用合理的矩阵大小求解离散线性系统。此外，我们建议使用PDE网格中的解决方案和点，按照每成熟期执行顺序计算所有纠正条款的有效算法（见第4.2节）。一般来说，在二维情况下，我们相信我们的方法能够使PDE方法非常有效地使用w.r.t蒙特卡罗方法（见[16]中的讨论）。本文的组织结构如下。第2节描述了混合股票利率模型，并解释了局部波动函数的推导。第3节描述了校准框架，以获得P（t，S，r）Z（t，S，r）满足的正向方程。为了解决该问题，第4节构造了一个扩展Peaceman-Rachford方案的ADI-typemethod。第5节专门讨论数值试验。最后，第6.2节给出了结论和讨论。混合股票利率模型让我们考虑二维随机微分方程，描述风险中性概率Q下的现货价格s（t）和短期利率r（t），定义为dS（t）S（t）=r（t）dt+σ（t，S（t））dW（t），S（0）=S，dr（t）=u（t，r（t））dt+α（t，r（t））（ρdW（t）+p1- ρdW（t）），r（0）=r，（2），其中（W（t））t≥0是过滤概率空间中的标准布朗运动(Ohm, F、 （Ft）t≥0，Q），通常假设过滤（F（t））t≥0

我们假设（2）的解的存在性和唯一性（参见[24]中的定理3.5.5）。该模型对应于Dupire局部波动率模型（例如[1，2，3]）的扩展，该模型允许随机利率。局部波动率函数σ（t，S）允许模型校准到欧洲买入价格C（t，K）的表面，其中K表示履约，t表示到期。为了完整性，我们按照[25]中的方法进行推导。让我们注意byZ（t）：=e-Rtr（u）du，（3）并将田中公式应用于凸但不可微的函数Z（t）（s（t）- K） +导线至Z（t）（S（t）- K） +=（S（0）- K）+-ZTr（u）Z（u）（S（u）- K） +du+ZTZ（u）1S（u）≥KdS（u）+ZTZ（u）dLKu（S），（4），其中LKu（S）是S的本地时间，和（S（0）- K） +=最大值（S（0）- K、 0）。由于S是一个连续半鞅，那么几乎可以肯定（参见例[26]）L（t）K（S）=lim&0Zt[K，K+]（S（u））d<S，S>u.（5）使用（2），它得到sz（t）（S（t）- K） +=（S（0）- K）+-ZTr（u）Z（u）（S（u）- K） +du+ZTZ（u）1S（u）≥Kr（u）S（u）du（6）+ZTZ（u）1S（u）≥KS（u）σ（u，S（u））dWu+ZTZ（u）dLKu（S）=（S（0）- K） ++ZTKZ（u）1S（u）≥Kr（u）du+ZTZ（u）1S（u）≥KS（u）σ（u，S（u））dWu+ZTZ（u）dLKu（S）=（S（0）- K） ++ZTKZ（u）1S（u）≥K（r（u）- f（0，u））du+ZTKZ（u）1S（u）≥Kf（0，u）du+ZTZ（u）1S（u）≥KS（u）σ（u，S（u））dWu+ZTZ（u）dLKu（S），（7），其中f（0，u）=-ulog（ZC（0，u））是指在时间u投资时在时间0的远期利率，而ZC（t，t）是到期日t时在时间t的零息票价格。

我们在最后一个等式中引入远期利率，以便在利率为随机σ（T，K）和利率为确定性σDup（T，K）时比较局部波动率的表达式。假设函数Z（u）1S（u）≥KS（u）σ（u，S（u））是V类的一个成员（见def 3.1.4in【27】），即可测量和自适应函数f S.t E【Rtf（S）ds】<∞, 取期望值C（T，K）=C（0，K）+KZTE[Z（u）1S（u）≥K（r（u）- f（0，u））]du+KZTE[Z（u）1S（u）≥Kf（0，u）]du（8）+KZTE[Z（u）δ（S（u）- K） σ（u，K）]，带δ（.）0处的delta函数。不同的w.r.t t导致toCT（t，K）=KE[Z（t）1S（t）≥K（r（T）- f（0，T））]+KE[Z（T）1S（T）≥Kf（0，T）]（9）+KE[Z（T）δ（S（T）- K） σ（T，K）]。标准计算给出[Z（T）1S（T）≥K] =-C（T，K）K、 （10）E[Z（T）δ（S（T））- K） ]=C（T，K）K、 （11）利用（9）中的最后两个方程，我们得到了局部波动率σ（T，K）在看涨价格C（T，K）σ（T，K）=σDup（T，K）条件下的表达式-E[Z（T）（r（T））- f（0，T））1S（T）>K]KC（T，K）K、 （12）带σDup（T，K）=C（T，K）T+Kf（0，T）C（T，K）KK公司C（T，K）K、 （13）σDup（T，K）表示利率确定时的Dupire局部波动函数。方程式（12）显示了在可跟踪的杜皮尔局部波动率面上进行的修正，以获得考虑随机利率影响的局部波动率面。E[Z（T）（r（T））- f（0，T））1S（T）>K]表示局部波动率表达式中额外项的分子。不存在封闭式解决方案，它与欧洲买入价或其他流动性产品没有直接关系。需要对其计算进行估计。对于健全性检查，当利率变得确定性时，我们有r（T）=f（0，T）（见等式（16）），σ（T，K）减少到等式（12）中的σDup（T，K）。备注2.1。

T以下-向前测量QT，额外的项可以写成asE[Z（T）（r（T））- f（0，T））1S（T）>K]=ZC（0，T）ET[（r（T）- f（0，T））1S（T）>K]。（14） 在QT下的Heathjarrowmoton（HJM）框架中（参见例[28]），远期利率f（t，t）为阿马丁格尔，其波动率σ（s，t）向量可写成f（t，t）=f（0，t）+Ztσ（s，t）。dWTs。（15） 利用r（T）=f（T，T）的事实，它变成了sr（T）=f（0，T）+ZTσ（s，T）。DWT，（16）和（16），在（14）中额外项的表达式清楚地显示了随机利率的影响。通过假设σ（s，T）ds<+∞,RTσ（s，T）。dwts是一个qt鞅andET[（r（T））- f（0，T））1S（T）>K]=CovT[（r（T）- f（0，T）），1S（T）>K]，（17），它将校正项解释为QT下r（T）之间的协方差-f（0，T）和1S（T）>K.3。校准在使用模型对任何衍生品进行定价之前，我们通常在普通市场上对其进行校准，这意味着它能够使用相关模型对普通期权进行定价，并且由此产生的隐含波动率与市场报价相匹配。更准确地说，有必要确定定义模型的不同随机过程中存在的所有参数。这样，模型中得出的所有欧式期权价格都尽可能与相应的市场价格一致。具有局部波动性的双因素模型的校准程序可分解为三个步骤：o单因素动态利率中存在的参数u（t，r（t））和α（t，r（t）），被选择以匹配欧洲掉期期权/cap foors值。

在文献中，这样做的方法得到了很好的发展（参见例[28]）相关参数ρ通常通过历史估计或偶尔观察到的混合产品价格（包括利率和基础现货）来选择（见[11]中的讨论）在这两个步骤之后，校准问题在于找到与其相关的隐含波动率面一致的局部波动率函数σ（t，S（t））。在这里，我们重点关注校准的第三步，并建议使用模型的一些鞅性质，以便有效地实现。让我们介绍贴现因子对状态变量（s（t），r（t））的投影，定义为asZ（t）：=E[Z（t）| s（t），r（t）]=Z（t，s（t），r（t）），（18），其中Z（t）在（3）中给出，并假设Z∈ C1,2on[0，T]×R。我们的目标是确定产品函数P（T，S，R）Z（T，S，R），其中P（T，S，R）表示（S（T），R（T））的联合分布。的确，我们写了-RTr（s）ds（r（T）- f（0，T））1S（T）>K]=E[E[E-RTr（s）ds（r（T）- f（0，T））1S（T）>K/S（T），r（T）]]（19）=E[Z（T，S（T），r（T））（r（T）- f（0，T））1S（T）>K（20）=Z（r- f（0，T））1S≥K（P Z）（T，S，r）dSdr。（21）然后我们可以至少用数字计算修正项（12）。由于（S（t），r（t））是模型状态变量，P（t，S，r）Z（t，S，r）也可用于期权定价。对于任何fix T>0且h（S，r）为Borel可测函数，让我们定义函数f（T，S，r）=Et，S，r[e-RTtr（s）dsh（s（T），r（T）），（22），其中我们假设Et，s，r | h（s（T），r（T））|<+∞ 对于所有的t，S，r。使用鞅变元作为折扣费曼-卡克定理（见[29]中的定理6.4.3），我们推导出f（t，S，r）满足的偏微分方程：ft+rSfs+ufr+Sσfss+αfrr+ρσαSfsr- rf=0，（23），终端条件f（T，S，r）=h（S，r）（S，r）。（24）在风险中性定价框架中，我们有以下结果建议3.1。