匹配分布：从

然后，我们根据（2.3）和（2.4）使用平滑变换定义q，如下所示：rqpsq：“rKpsqDψBSMprKpsqq。这里，我们在卷积光滑中使用高斯核Дεpxq”cεexpp'x{εq。命题4.1。对于高斯卷积核Дε，我们有1。rq是一个严格正的平滑函数，具有zrqpsq ds“zpqpsq ds”“D.2.rq~npq分布为ε0。等效地，Europeanstyle数字期权的rq价格收敛到相应的pq价格为ε0。图7:K.Jackwerth和Rubinstein（1996）的欠平滑（ε”0.0001）、合理（ε”0.0005）和过度平滑（ε”0.005）核回归的SPD估计示例讨论平滑SPD的估计，其结果在形状上与上述估计类似。平滑强度的选择是一门艺术，可以是NadarayaWatson核回归中的带宽h，也可以是高斯卷积平滑中的ε参数。理想情况下，平滑后的SPD应该是轻微振荡的，并且对给定数据可靠。如上所述，我们排除了ε“0.0001”的分布，因为它是多峰的，排除了ε“0.005的情况，因为与非平滑的SPD估计相比，它涉及的最大似然太小。选择平滑方法参数的一个合理可重复的标准是使用交叉验证，参见Song和Xiu（2016）。我们应用了参数ε“0.0005建模IPD施工中使用的SPD。我们选择它的理由是（大约）导致基本单峰分布的最小参数。图8：根据Breeden-Litzenberger数字提取后的平滑SPD计算通话价格。图9：根据Breeden-Litzenberger数字提取后的平滑SPD计算通话价格。

校准因子在2000年求解，将所有建模价格乘以该常数，使其与观测价格几乎无法区分。可以将上述核平滑技术修改为局部核回归，以允许不同的成熟度，类似于A"it-Sahalia和Lo（1998）.5通过二次规划从期权价格中提取SPD本文采用的从期权数据中提取原始SPD的技术都存在类似的问题。也就是说，SPD估计值具有很高的波动性，并且具有负值，这在原则上转化为套利机会。在SPD模型中通常不允许出现这种机会，因此我们采用临时修正来消除负的SPD值。回顾以下涉及SPD q的积分方程，对于欧式衍生工具FPTQ“zfpsq qpsq DSS的估值，其中s”SpT q是基础证券的终值，f p–q是支付函数。尤其是欧式看涨期权可以通过CPT、Kq进行定价“zmaxps'K，0q qpsq ds。我们可以将其离散化为以下cpt，Kq<<imaxpsj'K，0q qpsjq，其中近似的优度取决于q的连续性和si:s的网格。这导致考虑以下线性方程组c“Pqwhere c”pCpt，kiqi，P“rmaxpsj'Ki，0qsi，jand q“pqpsjqj。对于给定的c，即使Pis是一个方阵，我们也不要求它一定有任何非负解q。然而，我们可以找到唯一的非负向量q，它在某种意义上最接近于一个解。这可以用以下公式表示：argminqě0pc'pqtw pc'pqqw，其中W是j权重矩阵。对于W“Ij^j目标函数成为欧几里德范数}c'Pq}的平方。解是通过二次规划k找到的。

通过定义和二次性，SPD向量的解将是非负的**的优化问题似乎使它们变得平滑。这似乎是布里登-利岑伯格（BreedenLitzenberger）数字方法的一种可行替代方法。5.1分析特征SPD上述二次规划程序产生了一个非常平滑、特征明确的SPD，我们也可以将其用于构建隐含的回报物理分布。此时，为了以图形方式说明这些分布的特性，我们将建模的SPD和IPD放在了目的不明确的位置。kWe在Matlab中应用了lsqlin函数。**回想一下，Lnorm是所有范数中最一致光滑和一致凸的范数。图10：基于非平滑原油状态价格密度的隐含物理密度，通过使用单位矩阵作为权重矩阵的二次规划获得。然后，我们形成了与期权链时间间隔相对应的SPX回报率的经验分布。从1964年秋季到2017年春季，每年按照这一时间间隔进行采样。我们期权链的隐含波动率处于历史低位，出现了牛市。我们进行了启发式状态转换，试图通过增加标准差和降低收益率IPD的中值，使IPD更好地与经验收益分布相比较。图11：模型化收益率分布与经验收益率分布的比较。这是在1964年至2017年的类似时间间隔内进行的采样。为了使分布具有可比性，对IPD进行了调整和缩放。参考文献【1】T.G.Andersen，N.Fusari V.Todorov（2015）。”选项板的参数推断和动态恢复《计量经济学》831081–1145。[2] M.Airoldi（2005年）。”期权定价的矩展开法。鳍

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