匹配分布：从

假设经济体中的一位代表性投资者事先相信给定时间步长内相关资产回报率的物理密度。她可以获得与资产相关的可预测财务指标PR、Pu和Pσ，并将其作为BSM参数。由此产生的BSM模型可作为资产定价过程中的基准。如果经济体中存在一种流动性“基准”证券，且其上有欧式期权，那么这种证券和期权价格完全遵循经过校准的BSM模型，并且该证券几乎与所分析的资产完美相关，那么这似乎特别有成效。假设representativeinvestor然后应用分布匹配来建模所讨论资产的SPD。如果我们知道最终的期权价格，并且能够预测代表投资者应用的BSM参数，那么我们就可以恢复其资产价格的事前实物分布。由此产生的隐含实物分布可被视为隐含波动率的非参数记录。我们并不是先验地声称事后估计的回报分布应该完美地反映事前的回报分布，即使从某种平均意义上讲，从长远来看也是如此。事前分布可能表现出奈特式的不确定性和相关的模糊厌恶，或者只是系统性的偏差预测。通过股票期权的隐含波动率比历史波动率更能解释实际波动率，讨论了隐含波动率和实际波动率之间的问题关系（Szakmary et al.2003）。Brous等人（2010），另见Chalamandris和Rompolis（2012），Carr和Wu（2016）。3.0.1方法输入我们将应用以下有关资产的市场数据和步骤以及欧洲风格的调用：1。资产的当前价格，St.2。

基于随后解释的估计技术，我们分析了ST上的选项，以估计资产上的状态价格密度pq。为了BSM模型的目的，我们形成了一个短期利率估计pr。这是从具有大致匹配到期日的投资级零息票债券的收益率中获得的。4、通过使用pr和pq估计隐含波动率pσ，使得相应的BSM模型风险中性密度（取决于pr和pσ）与topq对应的风险中性密度具有相同的四分位区间。BSM模型trendpu的估计值最好由专家进行预测。在这里，我们根据最近实现的回报（年化BSM参数）形成估计值pu：pu“lnStStaccording the BSM model expected return formula EPST“SteupT'tq.6。假设基准证券遵循BSM模型。根据估计参数St、pr、pσ和pu，我们获得了基准证券上的BSM模型physicaldensitypφ和状态价格密度pq。此处未充分确定物理BSM密度的位置参数，因此，两个密度的位置也将是该位置。然而，其中一个是取决于与倾斜和峰度相关的分布的一般形状，因此位置问题并不重要。3.0.2求解隐含物理密度下一步给出物理密度估计。

然后，通过应用（2.3）pqDMpxq“φpxqφpkpxqqpkpxqqqqqqqqqin反向，获得资产分布的估计值，如下所示：pφIPDpxq“pqpxqpqpqpqpqpqpqpqpφpKpxqq，（3.1），其中K满足（2.4），Thuspqpxqpqpqpqpqpxqpxqq”Kpxq。通过Euler方法，可以直接求解任何初始条件Kpxq“y”：设x“x”和y；%xi“x”，yi “yi`pqpxiqpqyiqh；Next；初始值x和y应该是相应测度Qand Q中相同p的p-分位数，因为K模拟了一个保留测度的变换。从数值角度来看，失败会导致Kpsq的微小变化为s~n8，要么快速收敛到0，要么发散到8。下面我们有（3.1）的显式表达式采用BSM密度：pφIPDpxq“pqpxq exp”2pσpT'tq, “plnpKpxq{Stq'ppu'pσ{2qpT'tqq'plnpKpxq{Stq'ppr'pσ{2qpT'tqq，Kpxq”pσa2πpT'tqpqpxqKpxq exp'plnpKpxq{Stq'ppr'pσ{2qpT'TQPσpT'tq”.因此，例如，我们可以估计期权价格隐含的指数回报的（物理）偏斜和峰度。类似的哲学出现在Bakshi、Kapadia和Madan（2003）中。这里的好处是，从隐含的物理分布中，我们可以毫不费力地获得任何时刻，或者事实上我们的诊断工具中任何功能的价值，例如风险度量。3.1 SP500期权链的说明接下来，我们将研究一个给定的、相当通用的近期SP500价格指数（SPX）期权链。我们将用数字说明隐含的分布恢复技术。这为隐含的物理回报分布提供了一个相当高的分辨率估计。期权数据所隐含的经验风险中性分布在实践中非常严重。

在此阶段，我们采用给定的平滑SPD估计值。我们将在本文后面展示如何将分布匹配应用于平滑隐含的风险中性分布。我们在分布匹配和从经验数据中估计参数方面都依赖于基准BSM模型。短期利率r根据2018年3月15日到期的国库券的年收益率报价在给定日期进行估算。因此，r“logp1.0116q”0.012。应用此比率，我们将发现此类隐含波动率ypσ，因此BSM模型的RN分布（带参数）S“2503.87，T”178{365，r“0.012和Pσ与期权链估计的SPD具有相同的EIQR。因此，我们得到Pσ”0.0982；用于比较货币ispσIV的隐含波动率“0.1028。请注意异常低的隐含波动率。所调查的期权链数据，即SPX1816C1000-E-SPX1816C3000-E的投标价格，于2017年9月19日美国东部时间08:54从CBOE网页上获取，截至到期178天。上一次SPX交易的报价为2503.87。图1：PφIPD的隐含物理密度估计需要3个分布和转换K。模型Mrisk中性密度在左侧。M物理密度和风险中性密度Pφ和PQ显示在右侧。需要BSM基准模型的趋势参数u。该技术的目标最终用户可咨询专家预测u。在这里，我们将根据2016年9.84%的价格指数回报率进行选择，并获得u“logp1.0984q”0.094。我们将提出随后估算SPD所需的方法。期权链中的价格报价变得稀疏，远离货币，因此SPD数据的质量不是同质的。因此，我们将应用较大的初始值x“1300在ODE中，得出（3.1）的数值解。

因为在我们的模型中，K是Q-Q-测度保持的，图像Kpxq“2219.18和X的选择方式是，它们在各自的分布中成为相同的分位数，分布匹配中的Qand Q.§§K被构造为P-P度量保留，即保留分位数。然后定义QI，使K变为Q-Q度量保留。图2这里是转换K：应用的SpT QTh~nSpT Q。如果分布匹配中构造的投资组合是interpr作为M中证券的欧洲风格衍生工具，K’1是其支付函数。因此，上图2描述了一个合适的衍生支付工具的逆映射。上述转换K通过SPD pq、期权链估计值、BSM基准模型（pφ和pq，取决于T、pr、pσ和pu）和（2.4）进行数值求解。然后使用（3.1）中的K生成估计的pφDM。图3该示例明显偏离对数正态性，以相当典型的方式显示出较大的峰度（11.26）和负偏斜（-1.836），参见Conrad et al.（2013）。3.2 IPD估计的可靠性分布数学的基本属性在Talponen（2018）中进行了处理，它们本质上暗示了以下结果，即IPD技术正确估计了BSM模型的物理密度，前提是满足一些自然假设。如果我们接受ODE的较弱解，则初始条件Kp0q“0在以下情况下有效。命题3.1。让Mand M对应于参数满足风险市场价格一致的BSM模型：λ：“u'rσ”u'rσ“：λ。假设我们通过使用风险中性密度q、q和物理密度φ形成IPD估计值PφIPDb，如下所示。选择正的初始值x和Kpxq，使得QpSpT qdxq”QpSpT qdkpxqq，并考虑（2.4）和（3.1）得出唯一的解PφIPDpxq，xěx。

ThenpφIPDpxq“φpxq，xěx.更一般地说，如果模型对应于适当的“同构”股票演化，具有共同的驱动Ito过程XT，并且风险的当地市场价格重合λptq“λptq”，那么我们得出了与上述类似的结论。参见Talponen（2018）关于细节和证据。3.3趋势参数的选择我们的恢复技术的弱点是，在基准模型中应用u的选择是非常特别的。事实上，在BSM模型中，风险中性密度并不取决于u，因此无法从期权价格中推断出趋势。因此，隐含回报物理密度的估计涉及到一个涉及趋势的子问题。我们的估算技术并没有为后一个问题提供明确的答案，必须在单独预测之前进行。这里对u的解释变得相当微妙，它是根据代表投资者的信念（或市场的总体情绪），在时间间隔rt，t s内的时间t预期回报率。趋势的选择会影响预计的实际分布。TOILLUSTER我们在回收率中使用了不同的u参数值，所得隐含物理分布的测量结果如下所示。PPPPPPPP度量值u0.000 0.050 0.094 0.015平均值2576.5 2585.7 2593.8 2606.4中间值2614.5 2621 2626.5 2634.7STD 205.3148 206.3828 207.7087 208.8049偏斜-2.0225-1.9329-1.8358-1.6807峰度11.3727 11.3379 11.2558 11.1316表1：IPD统计度量值对估算中应用的趋势参数u的依赖性。可以预见，u的选择会影响隐含物理分布的平均值和中间值，但它甚至似乎会对偏斜产生可观的影响。这似乎主要是数字的问题。

由于u的选择影响了基准物理分布的分布函数，例如，Kp1300q成为不同模型中不同p值的p分位数。回想一下，在这个框架中，K是物理测量和风险中性测量的度量保留。为了与这些特征相一致，我们尝试以一种方式调整变换，即在不同的模型中，对应于不同的u，取决于u的物理概率PpSpT qaKp1300qq被归一化为具有相同的值。这是通过在ODE（2.4）中为x“1300选择合适的初始值Kpxq“yf”来实现的。图4：分位数归一化前后的隐含物理分布。这意味着对于每个u，值Kp1300q“ypuqis被调整为相同的P分位数。这表明，即使趋势无法预测，但在不同u下，分布的总体形状相当稳定。IPD在某种移位操作中非常相似。这些发现应与命题3.1进行比较。然而，请注意，此处风险的市场价格没有标准化。4状态pri的半参数估计ce densitiesBreeden和Litzenberger（1978）表明，SPD可以通过以下优雅的公式QPXQ“BCpSt，t，t，KqpBKqˇˇˇK从欧洲看涨期权价格中以无模型的方式获得“x.这可以很容易地转化为一种数值方法，通过数值微分来近似SPD。这种方法存在一些问题，获得的SPD通常非常粗糙，并显示出一些负值，这些值原则上对应于套利机会。我们通过2种不同的方法从所研究的SPX期权链中估计SPD。

下面左边，我们采用了直接的数值BreedenLitzenberger方法，限制为正值，并根据基准债券价格重新调整比例。图5：两个不同但相关的SPD数值估计。对于MK“pKi\'1'Kiq”1，Breeden-Litzenberger SPD数值估算有一个简单的公式，即pKi\'1q'Z”CpKiq'2CpKi\'1q'CpKi'2q。（4.1）这是用h“MK”数值计算的二阶导数“1.为了检查计算的稳健性，我们还使用了‘铁黄油’期权策略来估计任何给定状态下的状态价格密度斜率。通过将短黄油和长黄油串联起来，我们获得了一个脉冲的收益，如下所示：图6：串联的短黄油和长黄油的收益。通过简单的几何共振，该导数捕捉到了区间rKi，Ki′4s上状态价格密度的暴涨增长。它可以很容易地从多头/空头头寸看涨期权中构建，并相应地定价P：pqpKi\'1q'qpKi\'1qq'Z\''CpKi'2q'2CpKi'1q'2CpKi'1q'CpKi'2q。（4.2）然后我们从斜率中形成一个线性方程组，在末端施加消失状态价格密度，qp1000q“qp3000q“0.求解这个完全确定的方程组会得到图5中右侧的SPD，为了便于说明，我们没有尝试纠正负值。请注意，如果后一种技术也以正限制和缩放进行了类似的增强，则这些方法的最终结果变得非常相似。这两种方法密切相关，因此有助于观察（4.1）和（4.2）yieldpqpKi ` 1q'qpKi'1qq'Z“q pKi'1q'Z'q pKi'1q'Z。数值Breeden-Litzenberger方法被广泛应用，由于其熟悉程度，我们将使用该方法作为起点。

然而，最后我们提出了一种替代方法，解决了一些问题。4.1通过状态空间变换的核平滑进行非参数状态价格密度估计上述我们回顾了数值Breeden-Litzenberger技术，该技术从欧式看涨期权价格中产生“原始”SPD候选。从数值技术的角度来看，产生的噪声密度（见图5）可能不方便，并且可能无法提供理论上令人满意的模型。有几种平滑状态价格密度的方法，参见Bondarenko（2003），了解RND的卷积平滑方法和关于不同方法的讨论。为了使该方法适用于金融计量经济学，估计应至少保持无套利性。A"it-Sahalia和LoP如果q在rKi、Ki\'4s上是线性的，并且如果q是连续可微的且间隔很短，则该关系将是准确的。（1998）通过涉及BSM模型隐含波动率的非参数核回归从期权价格数据中估计的状态价格密度（IV），然后他们通过使用逐点估计Div计算BSM模型的SPD，参见A"it-Sahalia和Duarte（2003），Brunner和Hafner（2003）。因此，他们在某种意义上依赖于基准BSM模型，我们在这里也会这样做。然而，我们将不处理IV，而是使用高斯核对状态空间变换应用核平滑。然后，我们在基准BSM模型SPD的基础上，结合平滑变换重新计算该PD。

产生的SPD将是平滑的。虽然这种方法可能出乎意料，但它完全遵循了密度匹配的要点，并且在我们特别希望跟踪特定贝希马克模型（如BSM模型）周围的偏差时，似乎是合理的。这种方法的主要好处如下：首先，没有必要检查由此产生的期权价格体系是否实际上是无套利的（见命题4.1）。事实上，这很容易从一个简单的事实中得出结论，即卷积平滑版本的非递减有效递增函数是平滑且严格递增的。其次，应用的基准模型可能不同于BSM模型，并且可能有多个参数。假设我们获得了前一节中所述的州价格密度Q的估计值。这是一个正数支持的非负函数。我们正式提出了平滑方案，然后必须对其进行数值实现。1、考虑期权价格（粗略）估算的SPDpq。我们根据topqD“zpq”形成对应于零息票债券价格的贴现因子D。我们应用该因子将SPD转换为风险中性密度。2.我们拟合对数正态分布ψBSM（解释为BSM模型状态价格密度）toDpq。通过选择对数正态分布的参数，使两个分布的中值和IQR重合。3.然后，我们定义了一个连续的、递增的和度量保持的变换K:p0，8q~np0，8q，因此zxpqpsq ds“KpxqDψBSMpsq ds，xa0.4。使用平滑卷积核（smooth convolutionkernel）Дεε在对数尺度上对K进行卷积平滑，以获得平滑递增函数rk:p0，8qИp0，8q:rKpxq：“rДεkpexp–qqssPLN xq，xa0.5”。