跑赢大市和跟踪：主动和

以下命题具体说明了这一过程的对数动力学。提案1。设Yπ，ρ（t）=对数Zπ（t）Zρ（t）表示投资组合π和ρ的相对投资组合财富的对数。然后该过程满足SDE：dYπ，ρ（t）=a（t，ρ（t），π（t））dt+ξπ（t）- ξρ（t）dW（t），（3.10），其中（t，ρ（t），π（t））=（γπ（t）+Δπ（t））- （γρ（t）+Δρ（t））=π（t）α（t）-π（t）∑（t）π（t）- （γρ（t）+Δρ（t））α（t）=γ（t）+δ（t）+diag（∑（t））证明。证明如下，注意到Yπ（t）=log Zπ（t）- 记录Zρ（t），然后应用方程式（3.8）中给出的组合动力学。注意，在α（t）=（α（t），…，上面的命题中。。。，αn（t））是经济体中每种资产瞬时回报率的向量。推论1。Yπ，ρ的二次变化式为：d hYπ，ρ，Yπ，ρit=（π（t）- ρ（t））∑（t）（π（t）- ρ（t））dt。（3.11）证明。利用命题1中给出的Yπ，ρ的波动率以及（3.4）和（3.8）中分别定义的∑和ξπ，我们得到：d hYπ，ρ，Yπ，ρit=ξπ（t）- ξρ（t）ξπ（t）- ξρ（t）dt=（π（t）- ρ（t））ξ（t）·ξ（t）（π（t）- ρ（t））dt=（π（t）- ρ（t））∑（t）（π（t）- ρ（t））dt，这是要求的结果。在主动管理的背景下，该数量通常被称为（瞬时）主动风险或跟踪误差。积极的经理通常会因在其投资期限内承担过度的积极风险而受到惩罚。备注2。Fernholz（2002）将该量称为π与ρ的相对方差过程，并用τρπ（t）表示。注意，当且仅当π和ρ相等时，该量等于零。4、随机控制问题在本节中，我们阐述了主要的随机控制问题。首先，我们确定了两个投资组合，分别衡量我们的表现和主动风险。

也就是说，我们选择了一个绩效基准ρ（投资者希望跑赢大盘）和一个跟踪投资组合η（投资者将惩罚偏离）。备注3。主动投资组合管理中的常见设置是绩效基准与跟踪投资组合相同。然而，这种一般设置允许增加灵活性，当然也适应ρ=η的情况。这种分离对于我们移除绩效基准并跟踪功能生成的投资组合以实现跑赢大市目标的情况也很有用-这将在本文后面进行更详细的讨论。主要目标是确定投资组合过程π，该过程在投资期T内最大化相对财富的预期增长率ρ。这相当于在假设对数效用函数的情况下最大化相对收益的预期效用。此外，投资者被允许承担过高的主动风险（根据η衡量）。我们还加入了与两个基准无关的一般二次惩罚项。综上所述，投资组合π的性能标准如下：Hπ（t，y，x）=Et，y，xζ·Yπ，ρ（T）-ζZTt（π（s）- η（s））∑（s）（π（s）- η（s））ds-ζZTtπ（s）Q（s）π（s）ds,（4.1）式中，ζ，ζ，ζ≥ 0和Et，y，x[·]是表示E[·| yπ，ρ（t）=y，x（t）=x]的简写。我们还提出了以下假设：假设4。矩阵值函数Q是对称的，正定义，（元素）可微的，满足εkxk≤ xQ（t）x≤ 对于某些ε>0和M<∞ 对于所有x∈ R和t≥ 0、假设5。性能基准过程ρ={ρ（t）}t≥0和跟踪portfolioprocessη={η（t）}t≥0是X中的马尔可夫；i、 e.存在有界函数ρ：[0，T]×Rn+→ Rnandη：[0，T]×Rn+→ Rn使得ρ（t）=ρ（t，X（t））和η（t）=η（t，X（t））。

此外，我们假设函数ρ和η对于其所有变量都是可微的。请注意，（时间相关的）功能生成投资组合类别满足了上述假设，其中包括无处不在的市场投资组合，因为它们只取决于占主导地位的市场权重，而市场权重又只取决于资产价值。现在让我们讨论性能标准（4.1）的组成部分：1。第一项，ζYπ，ρ（T），是一个终端报酬项，对应于投资者希望最大化其投资组合与绩效基准ρ之间的预期增长率差异。这也相当于假设对数效用函数，使相对财富的预期效用最大化。常量ζ是一个主观性参数，决定了投资者希望对标杆跑赢大市的重视程度。将ζ设置为0将我们的投资组合问题更改为跟踪问题，目标是跟踪基准，同时最小化一些运行的二次惩罚项。当我们选择跟踪功能生成的投资组合以实现卓越表现时，这将变得特别有用，因为它允许我们避免估计可能非常困难的资产增长率。2、第二个期限是一个持续的惩罚期限，用于惩罚跟踪错误/主动风险。也就是说，跟踪投资组合的偏差将在连续的基础上受到惩罚，风险较高资产的偏差将受到更严重的惩罚。或者，这个惩罚项可以被视为试图最小化相对财富相对于η，Yπ，η（t）的二次变化。参数ζ表示投资者对主动风险的承受能力。最终期限是一个一般的二次连续惩罚期限-不涉及任何基准-与相关公差参数ζ。

Q（t）的一个可能选择是协方差矩阵∑（t），它可以用来最小化投资组合财富过程的二次变化Zπ（t）所测量的投资组合的绝对风险。另一种选择是将Q（t）设为一个常数对角线矩阵，该矩阵具有根据相应对角线条目的大小对每项资产进行惩罚分配的效果。投资者可以使用这种选择Q作为一种方式，对每个资产的分配施加一组“软”约束。我们将在后面演示如何将该惩罚术语解释为从某些资产倾斜，或者更一般地说，向某些期望的投资组合“收缩”。备注4。虽然可以通过考虑替代效用函数来扩展此控制问题，特别是观察性能基准对最优投资组合的影响，但这种扩展似乎并不微不足道。使用通用功能可能需要其他方法，并且不在本工作范围内。现在，通过注意：Yπ，ρ（T）=Yπ，ρ（T）+ZTta（s，ρ（s），π（s））ds+ZTta，可以简化性能标准（4.1）ξπ（t）- ξρ（t）由于ξ（t）是平方可积的，由于随机积分的鞅性质，上述第二个积分的条件期望等于零。这允许我们将性能标准改写为：Hπ（t，y，x）=ζy+Et，xZTtζ·a（s，ρ（s），π（s））-ζ·（π（s）- η（s））∑（s）（π（s）- η（s））-ζ·π（s）Q（s）π（s）ds= ζy+hπ（t，x）（4.2），其中hπ（t，x）可解释为相关随机控制问题的性能标准，该问题仅由上述（4.2）积分中出现的连续奖惩项组成。

这个辅助随机控制问题的值函数由：h（t，x）=supπ给出∈Ahπ（t，x），（4.3），其中A是由所有投资组合组成的可接受策略集，在我们的上下文中，它被定义为几乎肯定有界向量值过程的集合，其总和为1，因此所有投资组合都具有有限的(Ohm ×[0，T]）-范数。请注意，由于第3节所做的假设，绩效标准（4.2）对于可接受集合中的任何投资组合都是有限的。假设存在适当的可微性条件，动态规划原理表明（4.3）中的值函数满足Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程：th+supπ∈A.LXh+ζ·a（t，ρ（t，x），π）-ζ· (π - η（t，x））∑（t）（π）- η（t，x））-ζ·πQ（t）π= 0，h（T，x）=0。（4.4）其中LX是资产价值过程的最小生成器。请注意，假设5确保资产值是此PDE中唯一的状态变量。提案2。HJB方程（4.4）的解为：h（t，x）=Et，x-ZTtG（s，X（s））ds, （4.5）其中，在物理量P下取期望值，函数G由以下公式给出：G（t，x）=C（t，x）+1.- 1A级-1（t）B（t，x）A-1（t）1·1+B（t，x）A.-1（t）1.- 1A级-1（t）B（t，x）A-1（t）1·1- B（t，x）.其中a（t）（n×n）=（ζ+ζ）∑（t）+ζQ（t），B（t，x）（n×1）=ζα（t）+ζ∑（t）η（t，x），c（t，x）（1×1）=ζ·γρ（t，x）（t）+Δρ（t，x）（t）+ζ·η（t，x）∑（t）η（t，x）。证据见附录A.1。接下来，我们给出了本文的一个关键结果：一个验证定理，表明命题2中提供的安迪解与值函数一致。同时，我们给出了最优权重的显式形式。定理1。命题2中给出的候选值函数确实是随机控制问题（4.3）的解决方案。

此外，最优投资组合由：π给出*ζ（t）=A-1（t）·1.- 1A级-1（t）·B（t，X（t））A-1（t）1·1+B（t，X（t））, （4.6a）式中（t）（n×n）=（ζ+ζ）∑（t）+ζQ（t），B（t，x）（n×1）=ζα（t）+ζ∑（t）η（t，x）。（4.6b）证明。见附录A.2。如果投资者将市场投资组合作为其业绩和跟踪基准，就像绝大多数主动管理授权一样，那么可以通过将η替换为函数u：Rn来应用上述最佳策略+→ n： u（X）=XPni=1Xi。。。，XnPni=1Xi, （4.7）其中n={u∈ Rn：ui∈ （0，1），i=1。。。，nu1=1}是标准的n维单纯形。在讨论（4.6）中最优投资组合的性质之前，我们首先提出了两个特别重要的投资组合：增长最优投资组合（GOP）和最小二次方差投资组合（MQP）。顾名思义，GOP是任何时间范围内预期增长最大的投资组合，而MQP是整个投资范围内所有投资组合中二次变量最小的投资组合。或者，GOP对应于当风险函数为对数时，希望最大化终端财富预期效用的投资者的最优投资组合。由于各种原因，共和党在金融理论中发挥着重要作用；参见Christensen（2012）的综合文献综述。在某些有限的情况下，我们的随机控制问题的解可以用GOP和MQP来表示。形式上，GOP和MQP是以下优化问题的解决方案：πGOP=arg supπ∈AE日志Zπ（T）Zπ（0）, （4.8）πMQP=arg infπ∈AEZTπ∑（t）πdt. （4.9）推论2。增长最优投资组合由πGOP（t）给出=1.- 1Σ-1（t）α（t）· πMQP（t）+∑-1（t）α（t）。（4.10）式中，πmqpi是最小二次变化组合，由以下公式给出：πMQP（t）=∑-1（t）1∑-1（t）1。（4.11）证明。

使用定理1中给出的最优控制，ζ=ζ=0，Q=∑以获得MQP，ζ=ζ=0以获得GOP。备注5。Oderda（2015）将MQP称为全球最小方差（GMV）投资组合。然而，这是一个用词不当的说法，因为后一个术语通常用于在给定的投资期限内最小化终端财富方差V[Zπ（T）]的投资组合。虽然应该注意的是，在离散时间单周期模型中，收益协方差矩阵由∑给出，但GMV实际上等于∑-1· Σ-11、根据GOP和MQP的定义，我们提出了以下推论，总结了（4.6）中给出的最优策略的一些特性及其与上述投资组合的关系。推论3。定理1中给出的最优投资组合满足：（i）偏好参数趋于一致时的限制投资组合由以下公式给出：limζ→∞π*ζ（t）=πGOP（t）=π*ζ（t），其中ζ=（ζ，0，0）（无运行惩罚）limζ→∞π*ζ（t）=η（t）=π*ζ（t），其中ζ=（0，ζ，0）（仅跟踪惩罚）limζ→∞π*ζ（t）=Q-1（t）1·Q-1（t）1=π*ζ（t），其中ζ=（0，0，ζ）（仅限绝对惩罚）（ii）当ζ，ζ>0且ζ=0（无绝对惩罚）时：π*ζ（t）=c·πGOP（t）+（1- c） ·η（t），其中c=ζζ+ζ∈ （0，1）是固定常数。（iii）当Q（t）=∑（t）（最小化相对和绝对风险）：π*ζ（t）=c·πGOP（t）+c·η（t）+c·πMQP（t），其中ci=ζiζ+ζ+ζ∈ （0，1）对于i=1，2，3为固定常数，总和为1。证据见附录A.3。在这一关头，有几点值得一提：1。上述推论中的限制性投资组合表明，随着对跑赢大市的重视程度增加，最优投资组合倾向于共和党。这是因为共和党拥有最高的预期增长率，从而实现了最高水平的（预期）表现。

同样，随着对跟踪误差厌恶的增加，最优投资组合倾向于跟踪基准。这反映了一个事实，即投资者正在对偏离跟踪基准的行为进行严厉处罚，并决定持有跟踪基准以避免任何运行罚款。最后，当第三个厌恶参数趋于一致时，投资者持有的投资组合在每个时间点将绝对运行惩罚降至最低。这三个限制性案例相当于只对跑赢大市感兴趣的投资者，跟踪或减少绝对连续罚款，这分别导致持有共和党、基准本身或绝对罚款最小化的预期结果。2、在没有绝对运行惩罚的情况下，最优策略包括在跟踪基准中保持一个恒定比例，在GOP中保持其余比例。这一想法得益于共和党的预期增长率，同时通过投资跟踪基准来调节其高水平的活动风险。比例由投资者对跑赢大市与跟踪的相对重要性决定。在每个投资组合中投资一定比例的财富这一事实与对数效用属于恒定相对风险厌恶（CRRA）效用函数这一事实有关，其中投资于风险资产的财富比例与财富水平无关。在这种情况下，我们关注的是相对于跟踪基准的主动风险，因此跟踪基准扮演着无风险资产的角色。当投资者希望将相对风险和绝对风险降至最低时，他们的最佳策略是在GOP、MQP和跟踪基准中保持不变的比例。这些持有分别有助于增加增长、降低绝对风险和降低主动风险。4.

最优解不依赖于性能基准ρ。原因很简单：投资者希望最大化其投资组合的预期增长率与绩效基准之间的差异。无论选择ρ，最大化这种差异的方法是选择可能增长率最高的投资组合，即GOP。更重要的是，ρ不会出现，因为我们有那个对数Zπ（T）Zρ（T）= 对数（Zπ（T））-log（Zρ（T））和第二项不涉及控制，因此可完全排除在性能标准（4.2）之外。如果采用替代效用函数，则不太可能出现这种情况。最优投资组合是短视的，即独立于投资期限T。预计这是因为共和党可以在任何时间范围内实现预期增长的最大化。Thisproperty也是对数效用函数的典型特性。6、当投资者对跑赢大市不感兴趣时，即ζ=0，最优策略不需要了解/估计资产的增长率γ，这可能很难可靠估计。仍然需要估计协方差矩阵∑。ζ也可用于反映投资者对其增长率估计的信心：ζ的较小值（相对于ζ和ζ）类似于增长最优投资组合中的较小配置（相对于其他子投资组合）。此外，根据业绩基准的性质，可以间接实现业绩超越。当该基准是市场投资组合时，就像活跃经理人经常遇到的情况一样，SPT工具提供了一系列功能生成的投资组合，这些投资组合构成了相对于市场投资组合的相对套利，不需要估计资产增长率；更多详情请参见Fernholz（2002）。

投资者可以简单地跟踪其中一个投资组合，设置ζ=0，同时通过矩阵Q（t）施加自己的绝对惩罚项。7、绝对惩罚条款迫使最优策略转向byQ“收缩”投资组合-1（t）1·Q-1（t）1。当Q是对角矩阵Q（t）=diag（w（t）。。。，wn（t）），然后q-1（t）=诊断w（t）。。。，wn（t）. 从这一点上，我们可以看到，绝对惩罚期限迫使我们收缩到与w（t）。。。，wn（t）; 当Wii大1/Wii小且收缩投资组合将更少的资本分配给资产i时，这可以用来远离不受欢迎的资产；获取wi→ ∞ 强制资产i中的分配为零。此外，如果q=I，则通过收缩到等权重投资组合来惩罚任何资产中的大头寸，而设置wi（t）=∑ii（t）则强制收缩到风险平价投资组合。以上几点突出了两次连续罚分的动机。原则上，当投资者的目标仅仅是跑赢一个业绩基准时，他们会让共和党最大化他们的预期增长。然而，有充分的证据表明，GOP与非常大的风险水平（就投资组合差异而言）以及许多资产中潜在的巨大短期头寸有关。添加相对和绝对惩罚条款可以在一定程度上缓解这种风险。还值得注意的是，推论3（ii）和（iii）中的分解有助于指导主观参数ζi的选择，该参数可用于表示投资者希望在GOP、跟踪基准和MQP中投入的财富比例。