跑赢大市和跟踪：主动和

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英文标题：
《Outperformance and Tracking: Dynamic Asset Allocation for Active and
  Passive Portfolio Management》
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作者：
Ali Al-Aradi, Sebastian Jaimungal
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Portfolio management problems are often divided into two types: active and passive, where the objective is to outperform and track a preselected benchmark, respectively. Here, we formulate and solve a dynamic asset allocation problem that combines these two objectives in a unified framework. We look to maximize the expected growth rate differential between the wealth of the investor\'s portfolio and that of a performance benchmark while penalizing risk-weighted deviations from a given tracking portfolio. Using stochastic control techniques, we provide explicit closed-form expressions for the optimal allocation and we show how the optimal strategy can be related to the growth optimal portfolio. The admissible benchmarks encompass the class of functionally generated portfolios (FGPs), which include the market portfolio, as the only requirement is that they depend only on the prevailing asset values. Finally, some numerical experiments are presented to illustrate the risk-reward profile of the optimal allocation.
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中文摘要：
投资组合管理问题通常分为两类：主动型和被动型，其目标是分别超越和跟踪预选基准。在这里，我们制定并解决了一个动态资产配置问题，该问题将这两个目标结合在一个统一的框架中。我们希望最大化投资者投资组合财富与绩效基准财富之间的预期增长率差异，同时惩罚与给定跟踪投资组合的风险加权偏差。利用随机控制技术，我们给出了最优配置的显式闭式表达式，并说明了最优策略如何与增长最优投资组合相关联。可接受的基准包括功能生成投资组合（FGP）类别，其中包括市场投资组合，因为唯一的要求是它们仅取决于现行资产价值。最后，给出了一些数值实验来说明最优分配的风险-回报曲线。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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关键词：respectively Quantitative Optimization Differential performance

跑赢大市和跟踪：主动和被动投资组合管理的动态资产配置应用数学金融，Toronto大学统计科学系塞巴斯蒂安·贾木加尔（Sebastian Jaimungal）Forthcomniali Al-Aradi抽象投资组合管理问题通常分为两类：主动和被动，其目标是跑赢大市和跟踪预选基准，分别地在这里，我们制定并解决了一个动态资产配置问题，将这两个目标结合在一个统一的框架中。我们希望最大化投资者投资组合财富与绩效基准财富之间的预期增长率差异，同时惩罚与给定跟踪投资组合的风险加权偏差。利用随机控制技术，我们给出了最优配置的显式闭式表达式，并说明了最优策略如何与增长最优投资组合相关联。可接受的基准包括功能生成投资组合（FGP）类别，其中包括市场投资组合，因为唯一的要求是它们仅取决于现行资产价值。最后，给出了一些数值实验来说明最优分配的风险回报特性。关键词：主动投资组合管理；随机投资组合理论；随机控制；投资组合选择；增长最优投资组合；功能生成的投资组合。1、简介积极的投资组合管理旨在构建能够产生优异回报的投资组合。这与被动投资组合管理形成对比，被动投资组合管理的目标是跟踪给定的指数。

作者要感谢NSERC部分资助这项工作。电子邮件地址：ali。al。aradi@utoronto.ca（阿里·阿拉迪），塞巴斯蒂安。jaimungal@utoronto.ca（塞巴斯蒂安·贾蒙格尔）积极管理的目标可以进一步分为绝对性目标和相对性目标。绝对目标不涉及任何外部过程，例如最大化预期增长、最小化最终财富方差或破产概率。相对目标是指那些涉及外部基准的目标，通常以资产组合的形式给出，例如，最大化跑赢市场组合的可能性。在某些情况下，主动管理者的绩效可能还包括他们偏离基准的情况，因为他们会因跟踪错误或承担过度主动风险而受到惩罚。持有绝对风险水平最低的投资组合也是可取的，以投资组合财富过程的波动性来衡量。本文的主要目标是构建一个投资组合，该投资组合根据当前资产价值给出的绩效基准获得最佳相对回报。我们还允许投资者通过惩罚偏离后者的行为，将其投资组合固定在跟踪基准上。对于积极的管理者来说，这两个投资组合往往是一致的。考虑到基准过程的权重本身是随机过程，并且必须作为附加状态变量纳入，因此在设置和解决控制问题时必须小心。我们工作的动力来自Oderda（2015），作者研究了使用随机投资组合理论（SPT）优化相对回报率，但仅通过静态优化部分解决了问题。在这里，我们通过使用最优随机控制技术显著改善了这些结果。

我们成功地为最优分配提供了显式的闭式表达式。此外，我们还展示了我们得出的最优投资组合如何与增长最优投资组合相关联，该投资组合在任何范围内实现预期增长的最大化，并在财务文献中发挥着重要作用。寻求跑赢大市的投资者面临的一个主要问题是，需要稳健地估计个人资产的增长率。这可能是一个很难实现的目标。然而，允许投资者锚定他们选择的投资组合嵌入了我们的随机控制问题，即投资组合跟踪问题，它可以用来克服估计问题。特别是，投资者可以选择跟踪已知具有某些跑赢大盘特性的投资组合，例如某些功能生成的投资组合或通用投资组合，并尝试通过我们提出的随机控制问题来改善风险调整后的表现。2、文献综述有大量文献致力于利用随机控制理论解决各种投资组合选择问题。默顿（1969）的开创性工作引入了动态资产配置和消费问题，利用随机控制技术得出最优投资和消费政策。在Merton（1971）、Magill和Constantinides（1976）、Davis和Norman（1990）、Browne（1997）以及最近的Blanchet Scalliet et al.（2008）、Liu和Muhle Karbe（2013）和Ang et al.（2014）中可以找到扩展。这些论文的重点通常是最大化贴现消费和终端财富的效用，或最小化短期概率，或其他独立于任何外部基准或相对目标的相关绝对绩效指标。最优主动管理问题在Browne（1999a）中引入，随后在Browne（1999b）中定义。

在这些论文中，投资者能够交易一些由几何布朗运动（GBMs）建模的资产和无风险资产。投资者的目标是最大化其投资组合相对于随机基准的表现，随机基准也被建模为异源给定的GBM。他们通过用独立于风险证券的布朗运动对基准进行建模，假设市场是“不完整的”。这种建模方法可用于广泛的基准，包括通货膨胀、汇率和其他投资组合。本文提供了一个一般性的结果，并用于为一些主动管理问题找到最优的投资组合策略，即：（i）最大限度地提高投资者的财富达到相对于基准的某个绩效目标的概率，然后再低于该目标达到预定的短期目标；（二）尽量缩短实现业绩目标的预期时间；（iii）实现目标时获得的预期回报最大化；（iv）最大限度地减少预期的罚款，使其降至短缺水平；（v） 最大化相对财富的效用。Browne（2000）扩展了这项工作，将风险约束纳入优化问题，尽管那里的设置仅限于一个完整的市场，其中基准投资组合仅由资产领域的资产组成。Browne（2000）的目标与Browne（1999a）和Browne（1999b）的目标相同，但另一个限制条件是成功概率低于给定水平。这些论文中的一个重要缺点，尤其是关于击败基准投资组合的问题，是这些解决方案仅适用于具有恒定权重的基准投资组合，并且最多可以扩展到确定性权重过程的情况。

这是因为随机权重的情况需要将基准权重作为状态变量，从而显著增加控制问题的维数。可以说，考虑到最简单、也可以说是最分散的基准之一是市场投资组合，其权重随时间随机变化，因此随机权重的情况更为相关。本文中的大部分模型建立基于随机投资组合理论（参见Fernholz（2002）或Karatzas和Fernholz（2009）的最新概述），这是分析市场结构和投资组合行为的灵活框架。SPT是解决这些问题的描述性方法，而非规范性方法，并依赖于在实际股票市场中容易满足的一组最小假设。Fernholz和Shay（1982）是SPT发展的开创性论文之一，他们介绍了SPT中使用的核心工具，主要是过度增长的通知，以及股票和股票市场的长期行为特征和实现市场均衡的条件。Fernholz（1999a）扩展了Fernholz和Shay（1982）的工作，以过度增长的概念为基础，引入了市场多样性和熵的概念作为多样性的度量，以及它们在描述股票市场均衡中的作用。Fernholz（1999b）通过引入Portfoligenerating函数进一步发展了SPT框架，这是一种工具，可用于构建仅依赖于资产领域市场权重的动态投资组合。

Fernholz（2001）将功能生成投资组合的概念扩展到排名市场权重的函数，这允许根据公司规模构建投资组合。SPT的一个主要重点是确定在不同的时间范围内，相对套利机会组合（保证跑赢市场组合）存在的条件，以及构建此类组合的方法。Fernholz and Karatzas（2005）、Banner and Fernholz（2008）、Pal and Wong（2013）、Wong（2015）、Pal and Wong（2016）和Fernholz et al.（2016）等著作对此进行了讨论。应该注意的是，与目前的工作不同，SPT通常关注的是a.s.意义上的卓越表现。Samo和Vervourt（2016）的工作是一个例外，在这项工作中，机器学习技术被用来通过最大化投资者的夏普比率来实现预期绩效。在Oderda（2015）中发现了SPT在主动管理背景下的应用，作者试图解释基于规则的非资本加权投资策略相对于市场投资组合的优越风险调整绩效。使用SPT的结果描述相对财富的动态，并应用静态优化来求解投资者的最优投资组合。该效用最大化问题的解决方案会产生一个最优投资组合，它在五个被动的基于规则的投资组合中占有一定比例：市场投资组合、等权重投资组合、全球最小方差投资组合、风险平价投资组合和高现金流投资组合。如前所述，通过使用最佳随机控制技术，我们显著改进了Oderda（2015）的结果。我们成功地为最优分配提供了显式的闭式表达式。

此外，我们还演示了最优投资组合如何与增长最优投资组合相关联，以及如何应用我们的技术来利用某些功能生成投资组合的相对套利特性。3、模型设置3.1。市场模型我们从典型的SPT市场模型开始，如Fernholz（2002）所述。设W={W（t）=（W（t），…，Wk（t））}t≥0be在过滤概率空间上定义的标准k维维纳过程(Ohm, F、 F，P），其中F={Ft}t≥0是由W生成的自然过滤的P-增强，Ft=σ（{W（s）}s∈[0，t]）。维纳过程是经济中资产回报的驱动因素。此外，我们假设市场由n个股票组成，其中≥ k、 定义1。资产i的股价过程，Xi={Xi（t）}t≥0是形式为Xi（t）=Xi（0）·expZt（γi（s）+δi（s））ds+ZtkXν=1ξiν（s）dWν（t）的连续半鞅！（3.1）对于i=1。。。，n、 式中，γi、δi和ξiν是与资产增长率、股息率和波动率相对应的确定性函数，与第五个随机源有关。我们需要对模型参数进行以下假设：假设1。对于i=1，…，增长、股息和波动函数γi、δi和ξiv是有界和可微的。。。，n和v=1。。。，k、 满足这一假设的一个模型是增长、股息和波动性参数为常数的模型；典型Black-Scholes模型的多元扩展。该模型将在实施部分使用，以获得一些数值结果。请注意，我们的市场模型不包括无风险资产，但将控制问题扩展到包含此类资产并不困难。此外，假设1比SPT背景下的通常可整合性假设更强，但简化了通过动态规划方法解决随机控制问题的过程。

虽然可以允许模型参数是随机的，但这将需要额外的假设，并且在不增加大量本文主要结果的情况下，这将使优缺点的证明更加繁琐。在不丧失一般性的情况下，我们假设每项资产都有一个单独的流通股，因此XI代表相应证券的总市值。此外，使用对数价格log Xi更方便，它满足随机微分方程（SDE）：d log Xi（t）=（γi（t）+δi（t））dt+ξi（t）dW（t），（3.2），其中ξi（t）=（ξi1（t）。。。，ξik（t））是挥发度的k×1向量。这也可以用向量表示法表示如下：d log X（t）=（γ（t）+δ（t））dt+ξ（t）dW（t），（3.3），其中log X（t）（n×1）=（log X（t）。。。，log Xn（t）），γ（t）（n×1）=（γ（t）。。。，γn（t）），δ（t）（n×1）=（δ（t）。。。，δn（t）），ξ（t）（n×k）=（ξ（t）。。。，ξn（t））。接下来，我们介绍协方差过程：定义2。协方差过程是由∑（t）（n×n）=ξ（t）·ξ（t）给出的矩阵值函数。（3.4）然后，资产i与资产j的协方差可以表示为∑ij（t）=ξi（t）ξj（t）。我们假设市场满足通常的非退化条件，从而确保协方差矩阵是可逆的：假设2。协方差过程∑（t）对于所有t都是非奇异的≥ 存在ε>0，对于所有x∈ R和t≥ 0x∑（t）x≥ εkxkP-a.s.（3.5）因此，∑（t）是所有t的正定义≥ 0，和∑-所有t都存在1（t）≥ 我们还假设市场具有有界方差：假设3。存在M>0，因此对于所有x∈ R和t≥ 0，x∑（t）x≤ MkxkP-a.s.（3.6）3.2。投资组合动态定义3。投资组合是一个可测量的、F适应的向量值过程π={π（t）}t≥0，其中π（t）=（π（t）。。。，πn（t））这样，对于所有t≥ 0，π（t）几乎肯定是有界的P，满足：π（t）+····+πn（t）=1 P-a.s。

（3.7）π的每个分量表示投资于相应股票的财富比例；πi（t）的负值表示股票i中的空头头寸。根据SPT中的一个众所周知的结果，投资组合价值过程的对数，Zπ={Zπ（t）}t≥0，满足SDEd对数Zπ（t）=（γπ（t）+Δπ（t））dt+ξπ（t）dW（t），（3.8），其中γπ（t）（1×1）=π（t）γ（t）+γ*π（t），γ*π（t）（1×1）=[π（t）diag（∑（t））- π（t）∑（t）π（t）]，Δπ（t）（1×1）=π（t）δ（t），ξπ（t）（k×1）=ξ（t）π（t）。这里，γπ、Δπ和ξπ分别是投资组合增长率、投资组合股息和投资组合波动率过程，γ*π是投资组合π的超额增长率过程。超额增长率等于资产回报率方差组合加权平均值与投资组合方差之差的一半。正如Fernholz（2002）更详细地讨论的那样，这是一个在inSPT中起着重要作用的关键量。我们特别感兴趣的一个投资组合是市场投资组合。市场组合在SPT中扮演着核心角色，在我们的背景下，它是分配给积极管理者的最常见基准之一。定义4。市场组合（过程），u={u（t）}t≥0，是权重给定的投资组合：ui（t）=Xi（t）X（t）+····+Xn（t）=Xi（t）Zu（t），对于i=1。。。，n（3.9）换句话说，市场投资组合根据其市值比例持有每只股票。备注1。请注意，市场投资组合是一个向量值随机过程。重要的是要强调这是一个随机过程，在设置和解决优化问题时必须考虑其动力学。3.3. 相对回报动态我们的优化问题中的主要状态变量是任意投资组合的财富π与预选绩效基准ρ的财富之比。