跑赢大市和跟踪：主动和

后面提供的模拟结果还可以大致了解最优投资组合的相对和绝对风险回报特征，以确定不同的ζ选择，从而进一步确定投资者的决策。最后，我们可以将最优投资组合解释为替代市场的增长最优投资组合：推论4。最优投资组合π*ζ是具有修正回报率过程α的市场的增长最优投资组合*和修正的协方差过程∑*给出人：α*（t） =ζα（t）+ζ∑（t）η（t，X（t））（4.12a）∑*（t） =（ζ+ζ）∑（t）+ζQ（t）（4.12b）证明。将定理1中的最优投资组合与推论2中的增长最优投资组合的形式进行直接比较，得出结论。最后一个推论有一个有趣的解释。首先考虑收益率过程中增加的调整项，ζ∑（t）η（t，X（t））。很容易证明，该向量的元素构成了各资产和与跟踪基准η相关的财富过程之间的二次协变量，即hlog Xi，log Zηi；见Fernholz（2002）第1.2节。这意味着投资者正在修改资产的回报率，以奖励那些与其试图跟踪的投资组合更密切相关的资产，并且这些艺术回报与投资者跟踪ζ表示的η的愿望成比例。此外，如果我们考虑Q（t）是对角线矩阵的情况，则对协方差矩阵的修改量将根据Q（t）的相应对角线条目增加每个资产的方差。这反过来会降低某些资产的可取性，并与本节前面讨论的远离这些资产的概念相联系。5、实施在本节中，我们使用Fama French行业数据模拟（4.6）给出的不同ζ值的最佳投资组合（OP）。

我们使用模拟来了解与其他投资组合相比，投资组合的特征和风险回报率，即（4.10）给出的增长最优投资组合（GOP）和（4.11）给出的最小二次方差投资组合（MQP），以及Oderda（2015）中得出的最优解，我们将其称为最大漂移投资组合（MDP）。资料来源：http://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/data_library.html5.1.数据数据包括2005年1月至2017年7月五个行业（消费、制造、高科技、健康和其他）的月度回报（有股息和无股息）。行业投资组合是根据当时的SIC代码，将每只股票分配给上述五组中的一组来构建的。然后，我们将产生的行业视为我们市场的组成部分，即我们的市场由五项资产组成，这些资产就是行业本身。数据还包含每个行业的企业数量和平均市值，这使我们能够计算五个行业的市场权重时间序列。我们与行业回报而非个别证券合作，以避免因个别公司进入和退出市场而导致的不同投资组合所产生的困难，我们将自己限制在五个行业的市场，以简化计算，便于显示和解释结果。在我们的实验中，我们发现不同粒度级别的模拟结果在质量上是相似的，但应该注意的是，随着资产数量的增加，参数估计，尤其是增长率的估计，变得不那么可靠和可靠。5.2. 参数估计为简单起见，我们假设参数γ、δ和ξ为常数，并使用数据集的完整性进行估计。

其他允许时变参数的估计方法可能更合适，但这超出了当前工作的范围。参数估计程序包括估计：1。协方差矩阵∑，由资产对数值变化的样本协方差2估计。挥发性矩阵ξ，表示为∑3的Cholesky分解。增长率γ估计为资产对数值（不含股息）变化的样本平均值4。股息增长率δ，估计为资产对数值（含股息）变化的样本平均值减去γ。下表1总结了估计参数。行业增长股息标准偏差Cnsmr 7.4%2.1%12%Manuf 5.9%2.3%16%HiTec 8.6%1.5%16%Hlth 8.3%1.9%13%其他3.2%1.8%19%Cnsmr Manuf HiTec 0.87 0.81 1Hlth 0.73 0.61 0.68 1其他0.87 0.76 0.82 0.69表1：估计模型参数摘要：增长率γ、股息率δ和标准差√∑ii（左）；相关矩阵（右）。5.3. 接下来，我们使用估计的参数来模拟行业价值路径，并在模拟的市场模型中计算战略的绩效。对于模拟，我们考虑T=5年的投资期限以及每日的再平衡时间步骤(t=1/252；每年252天，因此步骤总数为N=t·t=1260天）和1000次模拟。使用数据集末尾的市场权重（2017年7月的市场权重）初始化资产价值。此外，我们将把市场投资组合作为绩效基准和跟踪基准，即u=ρ=η，就像主动投资组合管理中常见的情况一样。此外，我们将绝对惩罚矩阵作为协方差矩阵，即。

Q=∑。对于每个模拟，我们使用估计的模型参数和各种ζ值，即：ζ，计算每个时间步最优投资组合的权重向量∈ {0.1，0.5，5}和ζ，ζ∈ {0.001, 0.05, 0.1, ..., 1}. 我们还计算了GOP和MQP；请注意，由于假设模型参数为常数，GOP和MQP的权重向量为常数。备注6。上述程序隐含地假设投资者知道数据生成过程背后的真实参数。显然，实际情况并非如此，该程序更类似于回溯测试的样本形式。此外，在我们的实验中，我们发现，模型误判可能会导致预期的不利结果，而且众所周知，参数估计，尤其是资产增长率的估计，很难稳健执行。然而，我们的兴趣点在于研究具有不同ζ值的最优投资组合的特征，而不是证明其在实际交易情况下的有效性。换言之，我们希望将参数估计问题（本文中我们并不关心）与随机控制问题分离开来。此外，可以试探性地调整ζ参数，以反映他们在增长率估计中的“信心”水平。在性能指标方面，我们将考虑每个投资组合的以下数量：1。（4.1）中给出的性能标准，其中黎曼积分给出的运行惩罚使用离散化近似：终端奖励=ζlogZπ（T）Zu（T）相对运行惩罚=ζt·NXt=1（π（t）- u（t）∑（t）（π（t）- u（t））绝对运行惩罚=ζt·NXt=1π（t）Q（t）π（t）2。

每个投资组合的（平均）绝对回报和主动回报，分别定义为投资组合回报和市场超额回报的时间序列样本平均值（对于单一路径）：绝对回报=tNNXt=1π（t）R（t，t+1）主动回路=tNNXt=1（π（t）- u（t））R（t，t+1），其中R（t，t+1）是t和t+1之间的资产回报向量。请注意这是一个年度化因素。3、每种策略的绝对风险和主动风险，分别定义为投资组合收益和市场超额收益的时间序列样本标准差：绝对风险=VuTtNNXt=1（π（t）R（t，t+1）- 绝对回报）主动风险=VuTtNNXt=1（（π（t））- u（t））R（t，t+1）- 主动回路）4。夏普比率和信息比率分别定义为绝对回报与绝对风险的比率和主动回报与主动风险的比率：夏普比率=绝对回报绝对风险信息比率=主动回报主动风险5.4。结果图1显示了具有不同ζ值的最优策略在所有模拟中的平均绝对和主动风险和回报值。我们发现，随着ζ的增加，绩效指标收敛于市场组合的指标；随着ζ的增加，它们收敛到mHqp的度量（回想一下，我们设置了Q=∑）。ζ值越低，变化率越高；对于较高的ζ值，最优策略对ζ和ζ的变化不太敏感，在这种情况下，它更接近GOP。图2所示的散点图显示了以上讨论的收敛特征，其中显示了我们分析的每个投资组合的绝对和相对风险回报特征。很明显，共和党在预期回报方面优于所有其他投资组合，然而，这是一个高水平的绝对风险。

另一方面，我们发现ζ=0.1（红色显示）的最优策略具有更高的单位风险回报。此外，最优投资组合支配着MDP和markt投资组合，并勾勒出一条将GOP和MQP联系在一起的“有效前沿”。图2中第二个图中最优投资组合的对齐表明，信息比率对ζ不敏感。此外，点收敛于原点，因为最优解收敛于市场组合Aζ趋于一致。图3中的右面板显示了变化ζ对最优策略信息比率的影响（请注意，最优投资组合的信息比率对ζ不敏感）。Asζ→ 0时，最优策略的信息比收敛于GOP的信息比；asζ→ ∞, 最优策略的信息率降低到MQP的信息率。注意，如果GOP的informationratio小于MQP的informationratio，那么随着ζ的增加，最优策略的信息比率将增加到MQP度量。图3中的左面板显示了不同ζ值的最佳投资组合的夏普比率。改变这些参数对Sharperatio的影响更为复杂。最后，图4显示了与MDP、GOP、MQP和市场投资组合相比，ζ=（0.5、0.5、0.5）的最优投资组合的夏普比率和信息比率的直方图。

这为所有投资组合提供了这些指标的分散程度。0.110.150.20.250.310.50.350.80.60.40.2000.110.20.30.410.50.50.80.60.40.200010.050.10.150.210.50.250.80.40.200010.10.20.30.410.50.50.80.60.40.200图1：所有ζ值的平均模拟绝对收益和风险（顶部面板）和主动收益和风险（底部面板）表面；每个点是最优投资组合的所有模拟的平均度量值，具有相应的ζ。0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450.050.10.150.20.250.30.350 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-0.0500.050.10.150.2图2：ζ=0.1（红色）、ζ=0.5（蓝色）、ζ=5（绿色）和ζ=5（绿色）变化的最佳投资组合的绝对风险与绝对回报（左图）和主动风险与主动回报（右图、ζ和GOP、MDP、MQP和marketportfolio。每个点是所有模拟中相应投资组合的平均主动风险/回报。0.610.811.210.51.40.80.60.40.2000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5图3：左面板：所有ζ值的平均模拟夏普比表面；曲面上的每个点是具有相应ζ的optimalportfolio的所有模拟的平均夏普比。右面板：与MDP、GOP、MQP相比，作为ζ函数的跨仿真平均信息比-1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 301002003004005006007008009001000-2.5-2-1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.501002003004005006007008009001000图4：ζ=（0.5，0.5，0.5）、MDP、GOP、MQP和市场组合的最佳组合的模拟夏普比率（左面板）和信息比率（右面板）分布。6、结论在本文中，我们解决了如何动态分配资金以超越绩效基准，同时保持跟踪基准的问题。

包括一个辅助惩罚机制，以实现其他目标，包括控制财富路径的二次变化，以及对单个证券的配置进行微调。我们将解与增长最优投资组合和最小二次方差投资组合联系起来，并讨论了它们的一些极限性质。此外，我们还提供了验证理论，证明我们的解决方案解决了最佳投资问题。基于市场模型的模拟，我们表明投资者能够通过调整各种容忍参数来控制其风险回报率。此外，在我们的模拟设置中，我们发现的最优投资组合在所有惩罚参数值上都优于Oderda（2015）的静态优化。未来还有几个方向有待研究。我们已经取得初步结果的方向之一是将潜在信息纳入回报和分红过程。众所周知，回报率很难估计，拥有一个允许其随机且受潜在因素驱动的模型，对于使战略稳健地适应不同的市场环境至关重要。将结果扩展到基于排名的市场模型（例如。

另一个有趣的方向是在SPT文献中流行的Atlasmodels）。附录A证明A。（4.4）中的PDE可以写成：t+LXh+supπ∈A{F（t，x，π）}=0，h（t，x）=0。（A.1）其中，使用命题1中给出的A（t，ρ，π）的定义以及假设5，我们得到：F（t，x，π）=ζ·A（t，ρ（t，x），π）-ζ· (π - η（t，x））∑（t）（π）- η（t，x））-ζ·πQ（t）π=ζ·hπα（t）-π∑（t）π-γρ（t，x）（t）+Δρ（t，x）（t）我-ζ·π∑（t）π- 2π∑（t）η（t，x）+η（t，x）∑（t）η（t，x）-ζ·πQ（t）π=-π[（ζ+ζ）∑（t）+ζQ（t）]π+π[ζα（t）+ζ∑（t）η（t，x）]- ζ·γρ（t，x）（t）+Δρ（t，x）（t）-ζ·η（t，x）∑（t）η（t，x）=-πA（t）π+πB（t，x）-C（t，x），它允许我们以以下简明形式重写上面的PDE：t+LXh类- C（t，x）+supπ∈A.-πA（t）π+πB（t，x）= 0，h（T，x）=0。（A.2）式中（t）（n×n）=（ζ+ζ）∑（t）+ζQ（t），B（t，x）（n×1）=ζα（t）+ζ∑（t）η（t，x），c（t，x）（1×1）=ζ·γρ（t，x）（t）+Δρ（t，x）（t）+ζ·η（t，x）∑（t）η（t，x）。下一步是通过确定一阶条件来求解最优控制。这种情况下的优化问题是：maxπ-πA（t）π+πB（t，x）受制于1π=1。这可以使用拉格朗日乘子来解决，以发现最优控制为π*ζ（t）=A-1（t）·1.- 1A级-1（t）B（t，x）A-1（t）1·1+B（t，x）= A.-1（t）·d（t，x），（A.3），其中d（t，x）（n×1）=1-1A级-1（t）B（t，x）A-1（t）1·1+B（t，x）。请注意，A是正定义，因此最优控制被指定为最大化器。

接下来，请注意，我们可以在上面的PDE中写入二次项（为了简化符号，抑制对t和x的依赖），如下所示：-π*ζAπ*ζ+π*ζB=-dA公司-1·A·A-1·d+dA-1B（注意A和A-1对称）=dA-1.-d+B= -1.- 1A级-1BA-1·1+BA.-1.1.- 1A级-1BA-1· 1 - B（A.4）因此，（4.4）中的PDE变为：t+LXh类- G（t，x）=0，h（t，x）=0，（A.5），其中G（t，x）=C（t，x）+1.- 1A级-1（t）B（t，x）A-1（t）1·1+B（t，x）A.-1（t）1.- 1A级-1（t）B（t，x）A-1（t）1·1- B（t，x）.证明的其余部分依赖于找到上述DE解决方案的Feynman-Kac表示。此时，执行变量更改并使用log X作为状态变量稍微方便一些。请注意，这主要影响上述PDE中的微型发电机。也就是说，我们有：LX=nXi，j=1∑ij（t）{z}=aij·ij+nXi=1（γi（t）+δi（t））|{z}=bi·首先，我们建立了PDE（a.5）的充分光滑解的存在性。为此，我们依赖Karatzas和Shreve（1998）第5章备注7.8中给出的充分条件，即：（i）PDE在[0，∞)×Rn；（ii）aij，biin[0，T]×Rn的有界性；（iii）aij、BIAN和G在[0，T]×Rn中的均匀H¨OLDER连续性；（iv）G满意度| G（t，x）|≤ K（1+kxk2λ）对于某些K>0，λ≥ 1、第一个条件由我们对协方差矩阵∑所做的非退化假设确定。对于第二个条件，我们假设γ和δ在所有t的上下都有界，我们可以使用第3节中的非退化和有界方差假设来获得∑（t）元素的上下边界。