资产价格波动中的恐惧普遍性和怀疑

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英文标题：
《Fear Universality and Doubt in Asset price movements》
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作者：
Igor Rivin
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We take a look the changes of different asset prices over variable periods, using both traditional and spectral methods, and discover universality phenomena which hold (in some cases) across asset classes.
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中文摘要：
我们使用传统方法和光谱方法来观察不同时期不同资产价格的变化，并发现（在某些情况下）跨资产类别存在的普遍性现象。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Spectral Theory        光谱理论
分类描述：Schrodinger operators, operators on manifolds, general differential operators, numerical studies, integral operators, discrete models, resonances, non-self-adjoint operators, random operators/matrices
薛定谔算子，流形上的算子，一般微分算子，数值研究，积分算子，离散模型，共振，非自伴算子， Fear_Universality_and_Doubt_in_Asset_price_movements.pdf (680.61 KB)

2022-6-9 19:46:32 上传

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关键词：资产价格波动 资产价格 价格波动 普遍性 Mathematical

资产价格波动的恐惧、普遍性和怀疑。我们使用传统方法和光谱方法研究了不同时期不同资产价格的变化，并发现了（在某些情况下）跨资产类别的普遍性现象。1、简介在理解（并最终预测）资产价格方面，已经做出了大量的努力。我们将在第2节中给出一个独特的概述。在本文中，我描述了一些实验，这些实验既说明了当前教条的一些缺点，也显示了令人惊讶的普遍性现象。我并不假装理解为什么这种普遍性会存在。以下是本文其余部分的简要概述。在第2节中，我概述了当前的教条。在第3节中，我研究了不同时间长度上多个部门的收益分布。在第4节中，我将通过与过程相关的Hankel矩阵（轨迹矩阵）来研究一种更复杂的统计计算方法。1.1. 数据在本文中，我们使用以下数据集（所有数据集均以2018年3月的ides结尾）：（1）Alphabet，Inc-stock ticker GOOG我们使用的数据是从2014年3月公司当前版本成立到现在的数据。（a） Alphabet Inc股价，对数标度日期：2018年3月21日。1991年数学学科分类。91G70、91G60、62M15、15A52。关键词和短语。资产价格，普适性，随机矩阵，布朗运动，几何布朗运动。作者要感谢AndrewP.Mullhaupt的有趣评论。本文中的所有计算均使用Wolfram Mathematica系统进行。股票价格数据来自Mathematica本身（通过FinancialData[]机制，而比特币价格历史记录来自Yahoo！Finance。所有数据于2018年3月16日终止。2 IGOR RIVINFigure 1。

Alphabet Inc股价（2）Apple Computer，Inc-股票代码AAPL我们使用1991年到目前的数据。（a） 苹果电脑股价，对数比例图2。苹果股票价格（3）通用电气公司-股票代码：GE我们使用1962年至今的数据。（a） 通用电气股价、对数标度、资产价格变动的普遍性和怀疑3图3。通用电气股票价格（4）比特币-股票代码BTC我们使用从比特币2010年开始交易到今天的数据。（a） 比特币汇率，对数比例图4。比特币汇率这三家公司的研究规模都很大——这是有意的，因为这意味着我们不会有任何低流动性时期。然而，应该注意的是，在21世纪初的十进制化之前，价格的离散化增量要比之后大得多。2、一点历史第一个股票回报模型是由于Louis Bachelier[Bac00，Bac12]有以下组成部分。第一，不同日期的回报率是独立的，且分布相同（i.i.d.），第二，回报率的分布是高斯分布。第一个假设源于效率市场假说的早期形式（其中更多的是非），第二个假设源于这样一种哲学，即价格变动是由大量小因素造成的，因此中央极限定理的某些版本会使价格变动呈高斯形。应注意4 IGOR RIVINTable 1。回归与回归幅度的相关性系列对数回归自相关对数回归自相关绝对值GOOG 0.0689368 0.155424AAPL-0.00390584 0.193075GE 0.0165434 0.2624213BTC 0.0292686 0.384995该学士预计布朗运动研究的数学基础（后来将其归功于A。

爱因斯坦）。Bachelier的工作在金融界（虽然不是数学界）被遗忘，直到20世纪50年代通过芝加哥大学集团（尤其是Jimmie Savage）的努力重新发现，并于1960年重新流行。对模型进行了修改，使其不是收益本身，而是对数正态分布。对此的通常解释是，正态分布回报率可能导致资产价格本身变成负值——这是不可能的。然而，有更复杂的解释，主要来自凯利主义者（作者认为自己是其中的一员），其中的创始成员是D.伯努利，他比凯利早几百年——见优秀纲要【MTZ11】。尤金·法玛（EugeneFama）、哈里·马科维茨（Harry Markowitz）和比尔·夏普（Bill Sharpe）（参见[Mar52，Fam70，Sha64]）等后来获得诺贝尔经济学纪念奖的单身汉所支持的有效市场假说，而布莱克和斯科尔斯托（Black and Scholesto）则利用所谓的对数正态性推导出了他们著名的期权定价公式[BS73]。这一公式是由Ed Thorp在其权证定价工作[TK67]的背景下较早推导出来的（但尚未公布），而Bachelier则在四分之三个世纪之前推导出来的（如上所述，他的假设略有不同，但他的模型的预测力与Black Scholes没有太大区别）。布莱克和斯科尔斯也因其贡献获得了诺贝尔经济学纪念奖。现在，以上所有这些都有几个主要问题。首先，很明显，无论回报率的分布如何，都不是对数正态分布——如果是对数正态分布，那么像1929年、1987年、2001年和2008年那样的市场崩盘发生的频率将远远低于实际发生的频率（因为这些事件是偏离平均值的几个标准偏差）。

这通常被解释为回报率的分布是对数正态分布，但尾部更厚。其次，日常回报显然不是独立的。表1显示了我们四个时间序列的日志返回的自相关，以及自相关日志的大小。看看表1，我们会发现，虽然对N日收益率的预测力和N+1日收益率的预测力可能存在一些争议（尽管与GOOG的情况一样，6%的自相关性肯定是不可忽视的），但毫无疑问，波动的幅度有一些自回归方面。为了解决这个问题，金融计量经济学家引入了另一个布朗主义。如果读者能记分，我们将获得五个诺贝尔学士奖——一个是物理学奖，四个是经济学奖。资产价格波动的恐惧、普遍性和怀疑控制波动，这项工作（更具体地说，是对阿加奇随机过程的定义）又获得了一个诺贝尔纪念奖（罗伯特·恩格尔和克莱夫·格兰杰）。有趣的是，据作者所知，由于其预测能力较差，因此金融从业者并未使用该技术。2.1. 正如她所言，这是最先进的。最后，我们有以下收获：a）收益的对数被建模为高斯，除了厚尾。b） 不同日期的回报是一种独立的随机变量，但回报时间序列不是平稳的（“异方差”，因为这听起来很酷）。不是很令人满意的工作状态。3、分布对于我们的首次启蒙尝试，我们将尽可能做最简单的事情，并查看所选工具每日收益日志的分布。

对于其中的每一个，我们将查看收益直方图以及分布的内核平滑版本（因为可以想象，直方图的离散化伪影将使我们看不到真相。a）GE log return distribution图5。GE日志返回SB）AAPL日志返回分布图6。AAPL日志返回6 IGOR RIVINC）GOOG日志返回分布图7。GOOG log returnsD）BTC log return分布图8。比特币日志返回快速查看图表足以让我们相信，这些分布与高斯分布唯一的共同点是单峰对称和（粗糙）对称性-事实上，GOOG、AAPL和BTC分布明显不对称于平均值。通用电气的情况更是如此。与高斯分布相比，它们在均值周围都有一个更“三角形”的形状（高斯分布在原点附近）。为了检查分布是否确实与高斯分布非常不同，我们将查看QQ（分位数-分位数）图。对于两个连续分布d，此类图中的点是点（c（q），c（q）），其中c（q）是应用于q的累积分布函数的逆，cis是应用于q的累积分布函数的逆。如果d=d，则qq图将只是x=y的直线。如果d按比例和位置（即d（x）=d（ax+b））变化，则qq图将是一条直线。如果dis的右尾比d的更胖，图形将转向高于x=yline，左尾也是如此。作为热身，我们将查看比特币日志返回与标准高斯N（0，1）的qq图-见图9。很明显，我们最初的印象是正确的，比特币的回报率与对数正态分布完全不同。

然而，比特币是一种新的工具，所以谁能知道它到底发生了什么，所以让我们看看我们的EquityStallist——见图10。我们再次看到，这些返回值与对数正态分布完全不同。资产价格变动中的恐惧、普遍性和怀疑7图9。比特币对数收益与标准高斯的Q-Q图。图10：。AAPL、GOOG和GE对数回报与标准高斯的Q-Q图。图11：。AAPL、GOOG和GE日志返回与Bitcoinlog返回的Q-Q图。让我们看看比特币回报率是否真的与大盘股回报率有质的不同。我们可以在图11中看到Q-Q图。我们看到，我们对比特币回报特质的猜测是正确的。最后，让我们看看我们的大盘股三元组合的回报分布情况如何。结果如图12所示：现在我们有点惊讶了：分布基本上是相同的，直到缩放和位置。这是我们的第一个普遍性：猜想3.1（第一个普遍性猜想）。（至少大盘股）股票的分布基本相同，仅在规模和位置上有所不同。8 IGOR RIVINFigure 12。AAPL、GOOG和GE log的Q-Q图显示了它们之间的回报率。对每日收益分布的研究本质上是一项静态的活动，因此我们必须寻找更复杂的工具来研究形势的动态。4、轨迹矩阵及其谱假设我们想预测股价（谁不想？）我们想应用一些现成的机器学习算法。如果我们只有过去的股票价格，那么通常的方法是将我们的数据结构如下：假设我们的对数收益率序列是X=X，X，Xn。如果我们的回望视野是k个时间段，那么我们的输入将被列为矩阵：Hk，n=a XX。XkXX。Xk+1。。。。XnXn+1。Xk+n-1í，虽然我们的输出只是向量（Xk+1。

，Xn+k。矩阵Hk，在时间序列界称为轨迹矩阵。它是一个Hankel矩阵（意味着矩阵的第ij个元素只依赖于i+j），很明显，它的奇异值与时间序列X的性质有一定的关系。事实上，对这种关系的研究是时间序列分析的一个完整领域，这个分区被称为SSA-奇异谱分析。例如，参见[GZ13]。奇异谱分析通常处理k n、 用于预测时间序列的局部属性，但我们将鸟瞰，并将k设为verylarge。如此之大，以至于矩阵将是正方形，n和k都是我们整个历史上资产价格波动中的恐惧、普遍性和怀疑的一半。我们将此矩阵称为H。我们将研究手的光谱，看看是否发现任何有趣的东西。4.1. 随机矩阵的特征值。现在，应该注意的是，随机矩阵理论是一个巨大的课题，通常有两种不变量可供研究：体不变量（我们最喜欢的一类渐近超大矩阵的谱度量），和FINE不变量（包括相邻智能值之间的间距，或频谱“边缘”上特征值的行为。FINE不变量通常比bulk不变量更通用（例如，非常大的厄米矩阵的特征值之间的间距和黎曼-泽塔函数的零点之间的间距之间存在着很强的联系-参见N.Katz和P.Sarnak的经典著作-【KS99】. 在任何情况下，对于大型对称Hankel矩阵的间距，似乎没有什么是已知的，但Bryc、Dembo和Jiang的极限谱测度结果-【BDJ06】-大型方形Hankel矩阵的谱测度来自一系列i.i.d。

随机变量（具有有限方差）X确实接近极限，这是一个有趣的双峰分布，尽管除了其一般形状之外，似乎还不知道该分布的许多特性。当然，我们可以通过从标准高斯分布生成一个大样本，构造伸缩矩阵，并计算其特征值，轻松地从中采样。结果如下：A）i.i.d.高斯轨迹矩阵（3000×3000）特征值总体分布图13。随机汉克尔矩阵谱密度b）i.i.d.高斯轨迹矩阵（3000×3000）特征值间距分布。图14：。随机汉克尔矩阵间距分布汉克尔矩阵的值实际上可以在时间O（nlog n）内计算。）10 IGOR Riving细心的读者会发现，间距分布显示出特征性的“能级排斥”现象——分布的峰值远离零，就像流行的GOE、GUE和GSE矩阵群一样-【Meh04】。然而，这三种分布都不是。下面是一些驱动pointhome的图表：A）间距分布。图15：。标准群和随机Hankel矩阵的间距分布b）i.i.d.高斯轨迹矩阵（3000×3000）特征值间距分布。图16：。间距分布的两两分位数-分位数图目光敏锐的观察者会注意到，汉克尔间距分布比其他分布有更宽的尾巴。4.2. 回到股票上。我们的旅程即将结束。

在下一步中，我们为数据集生成最大轨迹矩阵，看看会发生什么。首先，总体特征值分布（图17）与“母亲”随机汉克尔分布有多接近？查看图21可以看出，他们与父母明显不同（虽然GE的差异较小，这表明差异可能是样本量不够大的函数）资产价格变动中的恐惧、普遍性和怀疑11图17。轨迹矩阵的体特征值分布。图18：。轨迹矩阵的体特征值分布。间距是父分布的合理间距，如下所示。请注意，BTC不再是异常值。A） 轨迹矩阵的间距分布图19。间距分布b）轨迹矩阵与随机HankelFigure 20的间距分布分位数图。间距分布与随机Hankel最后，我们看到了各种轨迹矩阵的频谱是如何比较的。首先是批量分布（图21），然后是间距（图22）：批量分布看起来非常接近，而间距分布则不太接近，但我们再次消除了工具之间明显的巨大差异（甚至跨越资产类别）。这就引出了另一个猜想：猜想4.1（光谱普适性）。轨迹矩阵的谱分布和谱空间分布在资产类别中具有普遍性。12 IGOR RIVINFigure 21。轨迹矩阵的体特征值分布。图22：。轨迹矩阵的特征值间距分布。资产价格变动中的恐惧、普遍性和怀疑13参考文献[Bac00]Louis Bachelier。这是一个很好的例子。Gauthier Villars，1900年。我是学士。《概率计算》，1912年。【BDJ06】W lodzimierz Bryc、Amir Dembo和Tiefeng Jiang。