高斯期限结构模型中的快速互换期权定价

非特定单位向量q、···、qd可以任意选择，只要单位向量q的矩阵=q、 ···，qd形成正交矩阵。使用上述属性，我们选择一个标量d*和向量Bk，使得（3.11）z*= d*q、 ak=q bk近似域▄Ohm is（3.12）~Ohm = {z:q>（z-z*) ≥ 0}={y:y≥ d*}交换值变为（3.13）V（z）=P（0，Te）mXk=0DCFkexp-|黑色|- b> 肯塔基州当在y坐标上积分时，Yi是唯一一个积分非常重要的轴。其余维度整合为统一。我们得到如下解析形式的互换期权价格：C=P（0，Te）ZOhmV（z）f（z）dz≈ P（0，Te）Z▄OhmV（y）f（y）dy（3.14）=mXk=0DCFkZ∞-∞dy···dydZ∞d*染料-|黑色|-Pdj=1bkjyjn（y）···n（yd）=mXk=0DCFkZ∞d*染料-bk1型-bk1yn（y）=mXk=0DCFkN(-bk1型- d*) =mXk=0DCFkN(-（ak+z*)>q） ，其中f（·）是多元正态分布的概率密度函数，n（·）和n（·）分别是一元正态分布的概率和累积密度函数。3.2. 精确的定价方法。虽然计算量很大，但我们可以将数值积分和分析结合起来，精确地对交换选项进行定价，并测量超平面近似的精度。积分在y坐标上执行，即在超平面近似中执行。然而，在精确方法中，我们数值确定了8 J.CHOI和S.SHIN→Ω V z = 0{V（z） 0}~图1：。超平面近似方法示意图。状态变量的域，Ohm, 包括掉期期权付款在货币中的区域。我们近似于Ohm, Ohm, 作为与z点的超平面切线（y=0）*其中概率密度最大Ohm 并在超平面（y）上方的域上积分payoff≥ 0). 因此，阴影区域上的积分被错误地添加到我们的近似值中。

然而，误差非常小，因为交换支付接近于零，而概率密度很小，因为选择了切点z*.每个给定值的到边界d的距离（d-1） -元组（y，···，yd）：（3.15）Ohm = {y:y≥ d（y，···，yd）}。可使用一维牛顿-拉斐逊法确定d的根查找。对Yan进行解析积分，对其余尺寸进行数值积分：C=P（0，Te）ZOhmV（z）f（z）dz=P（0，Te）zOhmV（y）f（y）dy（3.16）=mXk=0DCFkZ∞-∞dy···dydZ∞ddye公司-|黑色|-Pdj=1bkjyjn（y）···n（yd）=mXk=0DCFkZ∞-∞dy···dydN(-bk1型- d（y，···，yd））n（y+bk2）···n（yd+bkd）我们可以使用有限差分法进行数值积分。快速交换期权定价9应注意，超平面近似的误差是由于公式（3.14）和公式（3.16）的被积函数之间的差异：（3.17）E（y，···，yd）=mXk=0（N(-bk1型- d*) -N个(-bk1型- d（···）））n（y+bk2）····n（yd+bkd）我们将在下一节通过示例检查此错误。它被解释为误差密度，因为掉期期权价格中的误差为（3.18）价格误差=Z∞-∞dy···dydE（y，··，yd）4。近似质量和与其他方法的比较为了检验拟议的swaptionpricing超平面近似方法的质量，我们将其应用于三组示例，如表1至表3所示。前两个示例在双因素GTSM中使用不同的参数集，以最小二乘法校准现实的掉期期权波动率曲面。我们选择收益率曲线和波动率曲面形状的两个对比市场条件，在不同的市场环境中测试我们的近似值。在第一个例子中，市场认为短期利率具有很高的不确定性，收益率曲线在时间0时为5%。

在第二个例子中，市场看到长期利率的高度不确定性，利率曲线从0%的短期利率急剧上升，很可能是因为货币政策。为了尽可能精确地校准表面，我们对波动性使用分段常数项结构，对参数集为1和2的第一个因子使用均值回归结构。第二个因素的参数通过恒定波动率σ/σ和恒定平均回归差λ来确定- λ. 这种结构允许f（t，t）和f（t，t）之间的瞬时相关性保持不变【Andersen和Piterbarg，2010b】。对于第三个示例，我们重用Collin Dufresneand Goldstein【2002】的三因素GTSM参数集。Schrager和Pelsser【2006】也使用该参数集将其结果与Collin Dufresne和Goldstein【2002】的结果进行比较。表1：。参数集1：根据波动率曲面校准的双因素高斯模型，其中较短期掉期的掉期期权相对昂贵。当前远期利率曲线假定为5%。时间（年）0~ 0.25~ 0.5~ 1.~ 2.~ 5.~波动率（σ）0.030 0.024 0.024 0.022 0.018 0.012时间（年）0~ 5.~ 10~平均回归（λ）0.115 0.073 0.029σ/σ1.05λ- λ0.27ρ-77%f（0，t）5%互换期权定价误差如表4至表11所示。对于每个示例，我们首先给出了5×5交换期权矩阵的价格及其基点误差。然后，我们提供了隐含的10 J.CHOI和S.SHINTable 2。参数集2：校准到波动率表面的双因素高斯模型，其中长期掉期的掉期期权相对昂贵。

假设当前远期利率曲线从0%急剧增加至6%。时间（年）0~ 0.25~ 0.5~ 1.~ 2.~ 5.~波动率（σ）0.020 0.014 0.013 0.012 0.01 0.009时间（年）0~ 5.~ 10~平均回归（λ）-0.051 0.059 0.017σ/σ1.05λ- λ0.27ρ-77%f（0，t）6%×（1-e-t/10）表3。参数集3：Collin Dufresneand Goldstein【2002】和Schrager and Pelsser【2006】的三因素高斯模型σσσλλλρρf（0，t）0.010 0.005 0.002 1.0 0 0.2 0.5-20%-10%30%5.5%正态波动率及其误差。正常波动率是指在Bachelierprocess下的波动率，即正常差异。在我们的研究中，我们假设正态波动率比Black-Scholes（或对数正态）波动率更具相关性。首先，固定收入领域的从业人员广泛使用正常波动率【Choi等人，2009年】。其次，GTSM中的短期利率orIFR遵循Bachelier过程，而swaprate几乎也是如此（事实上，这是Schrager和Pelsser[2006]的关键假设，我们将很快讨论其准确性）。因此，不同行使方式的期权的正常波动率几乎是恒定的，这使得它比价格更能衡量误差。随着资金的变化，期权的价格可能会发生巨大的变化；因此，定价误差，无论是相对误差还是绝对误差，都可能具有误导性，而正常波动率是衡量误差的一致性指标，与金钱无关。我们进一步将正常波动率乘以10，将其转换为每日基点（DBP）单位/√252，假设一年中有252个交易日。DBP波动率是基础掉期利率日均变化的直观衡量指标。在每一张表中，我们使用三种不同的方式：取款机（ATM）、取款机（OTM）和取款机（ITM）。

为了保持OTM和ITM期权在整个表面上的一致性，我们使用（4.1）K=F±nσatmpt，n=0.5、1或2，其中F是远期掉期利率，σATMis是ATM的正常波动率。对于所有三个例子，在波动率表面上，超平面近似的精度一致良好。所有示例中的最大波动率误差约为10-6DBP。出于实际目的，该误差水平不需要进一步校正。快速交换期权定价11表4。以基点单位表示的参数集为1的超平面近似的价格和误差。

括号中是相对定价误差，以exactprices的分数计算。期权掉期到期日1 2 5 10 30 ATM K=F1 54.54（-9.1E-12）100.91（-2.4E-09）213.22（-1.0E-06）346.39（-2.5E-05）572.21（-5.0E-04）2 65.39（-9.8E-12）122.63（-2.6E-09）264.82（-1.1E-06）435.98（-2.8E-05）729.43（-5.9E-04）5 71.55（-5.0E-12）137.82（-1.82 1E-09）308.60（-5.3E-07）525.22（-1.8E-05）898.62（-4.2E-04）10 62.45（-9.5E-13）122.06（-2.3E-10）283.69（-1.4E-07）493.42（-5.6E-06）842.60（-1.5E-04）20 50.97（-6.0E-13）99.08（-1.4E-10）227.00（-9.0E-08）389.08（-3.8E-06）651.58（-1.1E-04）ITM K=F- σATM√Te1 147.97（-2.2E-12）273.77（-7.6E-10）578.43（-3.4E-07）939.35（-8.9E-06）1547.59（-1.9E-04）2 177.39（-2.6E-12）332.63（-6.4E-10）718.27（-2.9E-07）1181.97（-7.9E-06）1970.51（-1.9E-04）5 194.04（-4.9E-13）373.76（-1.9E-10）836.80（-9.6E-08）1423.69（-3.4E-06）2423.75（-9.5E-05）10169.34（2.4E-13）330.98（-3.0E-11）769.25（-1.9E-08）1337.53（-7.5E-07）2269.43（-2.6E-05）20138.14（6.1E-13）268.53（-6.7E-12）615.15（-4.9E-09）1053.67（-2.3E-07）1749.22（-1.2E-05）OTM K=F+σATM√Te1 11.51（-7.7E-12）21.31（-2.4E-09）45.09（-9.6E-07）73.60（-2.3E-05）125.63（-4.3E-04）2 13.84（-1.1E-11）25.97（-2.9E-09）56.15（-1.2E-06）93.00（-2.9E-05）162.31（-5.7E-04）5 15.20（-5.8E-12）29.28（-1.5E-09）65.66（-6.7E-07）112.24（-2.2E-05）203.21（-4.8E-04）10 13.29（-1.5E-12）25.97（-3.3E-10）60.34（-2.0E-07）105.39（-8.0E-06）193.21（-1.9E-04）20 10.92（-6.2E-13）21.22（-2.4E-10）48.67（-1.6E-07）84.12（-6.5E-06）154.65（-1.6E-04）表5。以日基点单位表示的参数集为1的超平面近似的隐含正态波动率和误差。

相对波动率误差（按准确波动率的分数计算）在括号内。期权掉期到期日1 2 5 10 30 ATM K=F1 9.45（-1.6E-12）8.96（-2.1E-10）8.14（-3.8E-08）7.44（-5.4E-07）6.22（-5.4E-06）2 8.40（-1.3E-12）8.07（-1.7E-10）7.50（-3.0E-08）6.94（-4.4E-07）5.88（-4.7E-06）5 6 6.74（-4.7E-13）6.66（-5.5E-11）6.41（-1.1E-08）6.13（-2.1E-07）5.32（-2.5E-06）10 5.34（-8.3E-14）5.35（-1.0E-11）5.35（-2.7E-09）5.23（-5.9E-08）4.52（-8.1E-07）20 5.08（-6.0E-14）5.06（-6.9E-12）4.9（-2.0E-09）4.81（-4.7E-08）4.08（-6.9E-07）ITM K=F- σATM√Te1 9.41（-6.2E-13）8.92（-1.1E-10）8.11（-2.1E-08）7.39（-3.2E-07）6.11（-3.5E-06）2 8.36（-5.6E-13）8.03（-7.0E-11）7.46（-1.4E-08）6.89（-2.1E-07）5.74（-2.6E-06）5 6.70（-8.0E-14）6.62（-1.5E-11）6.37（-3.E-09）6.09（-6.5E-08）5.15（-9.6E-07）10 5.31（3.6E-14）5.31（-2.2E-12）5.31（-5.8E-10）5.19（-1.3E-08）4.36（-2.4E-07）20 5.04（9.5E-14）5.02（-5.6E-13）4.94（-1.8E-10）4.75（-4.8E-09）3.86（-1.3E-07）OTM K=F+σATM√Te1 9.48（-2.2E-12）8.99（-3.5E-10）8.18（-6.0E-08）7.48（-8.2E-07）6.33（-7.6E-06）2 8.44（-2.3E-12）8.11（-3.1E-10）7.54（-5.4E-08）6.99（-7.6E-07）6.01（-7.4E-06）5 6.78（-9.0E-13）6.69（-1.2E-10）6.45（-2.3E-08）6.18（-4.2E-07）5.47（-4.6E-06）10 5.37（-2.1E-13）5.38（-2.3E-11）5.38（-6.3E-09）5.27（-1.4E-07）4.67（-1.6E-06）20 5.12（-1.0E-13）5.11（-2.0E-11）5.03（-5.7E-09）4.86（-1.3E-07）4.26（-1.5E-06）12 J.CHOI和S.SHINTable 6。以基点单位表示的参数集为2的超平面近似的价格和误差。

括号中是相对定价误差，以exactprices的分数计算。期权掉期到期日1 2 5 10 30 atm K=F1 41.00（-1.3E-13）84.22（-4.9E-11）236.50（-8.3E-08）459.17（-4.8E-06）835.96（-3.4E-04）2 54.50（1.7E-14）113.43（-1.1E-10）307.97（-1.2E-07）570.78（-6.3E-06）1019.81（-4.1E-04）5 82.63（-6.6E-13）162.31（-1.31 1E-10）377.36（-7.5E-08）663.98（-3.9E-06）1153.94（-2.0E-04）10 76.25（-7.3E-13）150.19（-7.7E-11）355.25（-5.9E-08）629.49（-3.0E-06）1087.28（-1.3E-04）20 62.94（-2.0E-13）122.64（-8.3E-11）282.57（-6.2E-08）487.73（-3.0E-06）823.07（-1.1E-04）ITM K=F- 0.5σATM√Te1 71.67（4.3E-13）147.21（-1.3E-11）413.65（-3.0E-08）803.29（-2.3E-06）1459.50（-2.1E-04）2 95.25（8.0E-13）198.25（-2.6E-11）538.50（-3.9E-08）997.95（-2.8E-06）1778.11（-2.4E-04）5 144.32（1.2E-12）283.51（-3.1E-11）659.05（-2.8E-08）1159.42（-1.7E-06）2007.45（-1.1E-04）10133.17（1.2E-12）262.31（-3.2E-11）620.49（-2.6E-08）1099.40（-1.4E-06）1890.57（-7.1E-05）20 109.86（-8.7E-14）214.08（-3.6E-11）493.27（-2.7E-08）851.14（-1.3E-06）1427.93（-5.6E-05）OTM K=F+0.5σATM√Te1 20.38（-4.9E-13）41.84（-9.8E-11）117.28（-1.4E-07）227.51（-6.9E-06）417.10（-4.0E-04）2 27.10（4.3E-14）56.40（-2.1E-10）152.87（-2.0E-07）283.39（-9.5E-06）511.15（-5.1E-04）5 41.17（-6.9E-13）80.87（-1.9E-10）188.08（-1.2E-07）331.17（-5.8E-06）582.87（-2.6E-04）10 38.01（-8.3E-13）74.86（-1.2E-10）177.02（-8.7E-08）313.74（-4.3E-06）549.87（-1.7E-04）20 31.42（0.0E+00）61.23（-1.3E-10）141.08（-9.2E-08）243.76（-4.4E-06）419.20（-1.5E-04）表7。以日基点单位表示的参数集为2的超平面近似的隐含正态波动率和误差。

相对波动率误差（按准确波动率的分数计算）在括号内。期权掉期到期日1 2 5 10 30 ATM K=F1 6.57（-2.1E-14）6.78（-4.0E-12）7.82（-2.8E-09）8.11（-8.5E-08）7.07（-2.9E-06）2 6.23（1.8E-15）6.54（-6.4E-12）7.33（-2.8E-09）7.31（-8.1E-08）6.32（-2.6E-06）5 6 6 6.34（-5.0E-14）6.32（-4.2E-12）6.16（-1.2E-09）5.93（-3.5E-08）5.14（-9.1E-07）10 4.89（-4.6E-14）4.91（-2.5E-12）4.95（-8.2E-10）4.89（-2.3E-08）4.35（-5.3E-07）20 4.57（-1.4E-14）4.57（-3.1E-12）4.55（-9.9E-10）4.47（-2.7E-08）4.00（-5.4E-07）ITM K=F- 0.5σATM√Te1 6.56（7.6E-14）6.77（-1.2E-12）7.82（-1.1E-09）8.11（-4.6E-08）7.04（-2.0E-06）2 6.22（1.0E-13）6.53（-1.7E-12）7.33（-1.1E-09）7.30（-4.0E-08）6.29（-1.7E-06）5 6.33（1.1E-13）6.30（-1.4E-12）6.14（-5.2E-10）5.91（-1.8E-08）5.08（-5.7E-07）10 4.88（9.0E-14）4.90（-1.2E-12）4.94（-4.1E-10）4.88（-1.2E-08）4.30（-3.2E-07）20 4.55（-7.1E-15）4.55（-1.5E-12）4.53（-4.9E-10）4.44（-1.4E-08）3.94（-3.1E-07）OTM K=F+0.5σATM√Te1 6.57（-8.8E-14）6.79（-8.9E-12）7.82（-5.1E-09）8.10（-1.4E-07）7.09（-3.9E-06）2 6.24（6.2E-15）6.55（-1.4E-11）7.34（-5.5E-09）7.31（-1.4E-07）6.36（-3.6E-06）5 6.36（-6.2E-14）6.34（-8.4E-12）6.17（-2.2E-09）5.95（-5.9E-08）5.19（-1.3E-06）10 4.90（-6.3E-14）4.93（-4.3E-12）4.96（-1.4E-09）4.91（-3.8E-08）4.40（-7.7E-07）20 4.59（0.0E+00）4.59（-5.3E-12）4.57（-1.7E-09）4.49（-4.5E-08）4.06（-8.1E-07）快速互换期权定价13表8。以基点单位表示的参数集为3的超平面近似的价格和误差。

括号中是相对定价误差，以exactprices的分数计算。期权掉期到期日1 2 5 10 30 ATM K=F1 20.65（-5.9E-09）32.91（-1.5E-07）53.27（-1.5E-06）65.95（-2.3E-06）70.86（-2.6E-06）2 23.46（-9.0E-09）38.38（-1.9E-07）63.98（-1.5E-06）79.92（-2.0E-06）86.07（-2.1E-06）5 23.45（-9.2E-09）39.24（-1.6E-07）66.99（-1.1E-06）84.25（-1.4E-06）90.90（-1.4E-06）10 18.69（-7.2E-09）31.45（-1.2E-07）53.97（-8.1E-07）68.00（-1.0E-06）73.40（-1.0E-06）2010.85（-4.1E-09）18.28（-7.1E-08）31.40（-4.6E-07）39.57（-5.8E-07）42.72（-5.8E-07）ITM K=F- 2σATM√Te1 103.93（-6.33E-10）165.66（-1.64E-08）268.15（-1.71E-07）331.94（-2.70E-07）356.59（-3.08E-07）2118.12（-9.08E-10）193.20（-1.97E-08）322.08（-1.64E-07）402.25（-2.29E-07）433.10（-2.46E-07）5118.05（-8.72E-10）197.56（-1.64E-08）337.19（-1.17E-07）424.04（-1.50E-07）457.36（-1.56E-07）10 94.07（-6.65E-10）158.29（-1.21E-08）271.68（-8.40E-08）342.24（-1.07E-07）369.31（-1.11E-07）20 54.64（-3.83E-10）92.02（-6.95E-09）158.06（-4.81E-08）199.16（-6.14E-08）214.93（-6.37E-08）OTM K=F+2σATM√Te1 0.45（-9.78E-10）0.72（-2.35E-08）1.17（-2.27E-07）1.48（-3.52E-07）1.65（-3.87E-07）2 0.51（-1.53E-09）0.84（-3.07E-08）1.41（-2.37E-07）1.81（-3.23E-07）2.06（-3.33E-07）5 0.51（-1.63E-09）0.86（-2.82E-08）1.49（-1.84E-07）1.94（-2.32E-07）2.23（-2.28E-07）10 0.41（-1.28E-09）0.69（-2.15E-08）1.20（-1.36E-07）1.57（-1.70E-07）1.82（-1.67E-07）20 0.24（-7.44E-10）0.40（-1.24E-08）0.70（-7.85E-08）0.91（-9.79E-08）1.06（-9.56E-08）表9。以日基点单位表示的参数集为3的超平面近似的隐含正态波动率和误差。