高斯期限结构模型中的快速互换期权定价

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英文标题：
《Fast swaption pricing in Gaussian term structure models》
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作者：
Jaehyuk Choi and Sungchan Shin
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We propose a fast and accurate numerical method for pricing European swaptions in multi-factor Gaussian term structure models. Our method can be used to accelerate the calibration of such models to the volatility surface. The pricing of an interest rate option in such a model involves evaluating a multi-dimensional integral of the payoff of the claim on a domain where the payoff is positive. In our method, we approximate the exercise boundary of the state space by a hyperplane tangent to the maximum probability point on the boundary and simplify the multi-dimensional integration into an analytical form. The maximum probability point can be determined using the gradient descent method. We demonstrate that our method is superior to previous methods by comparing the results to the price obtained by numerical integration.
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中文摘要：
我们提出了一种快速准确的多因素高斯期限结构模型中欧式掉期期权定价的数值方法。我们的方法可用于加速此类模型到波动率表面的校准。在这样一个模型中，利率期权的定价涉及在收益为正的域上评估索赔回报的多维积分。在我们的方法中，我们通过与边界上的最大概率点相切的超平面来近似状态空间的运动边界，并将多维积分简化为解析形式。最大概率点可使用梯度下降法确定。通过将结果与数值积分得到的价格进行比较，我们证明了我们的方法优于以前的方法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Fast_swaption_pricing_in_Gaussian_term_structure_models.pdf (632.06 KB)

2022-6-9 20:37:55 上传

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关键词：结构模型 期限结构 期权定价 Quantitative Mathematical

高斯期限结构模型中的快速互换期权定价北京大学汇丰商学院成禅韩国高级科学技术研究所摘要。我们提出了一种快速准确的多因素高斯期限结构模型中欧式掉期期权定价的数值方法。我们的方法可用于加速此类模型到波动率表面的校准。模型中利率期权的定价涉及对支付为正的adomain债权支付的多维积分进行评估。在我们的方法中，我们通过与边界上的最大概率点相切的超平面来近似状态空间的运动边界，并将多维积分简化为解析形式。最大概率点可以使用梯度下降法确定。通过将结果与数值积分得到的价格进行比较，我们证明了我们的方法优于以前的方法。介绍掉期期权是利率掉期期权，是在固定收益市场交易的最简单、最具流动性的期权产品。从实践和理论角度来看，掉期期权是更复杂债权的重要组成部分，例如百慕大可赎回掉期。互换期权交易是为了对冲此类奇异债权的波动风险。因此，必须对期限结构模型的参数进行校准，以准确再现市场上观察到的掉期期权的价格，然后再将其用于对奇异债权进行定价。然而，校准过程通常是一个非线性多维求根问题，必须使用迭代方法找到参数。

因此，对于期限结构模型，在给定一组参数的情况下，采用快速可靠的方法对掉期期权进行定价至关重要。电子邮件地址：jaehyuk@phbs.pku.edu.cn, holypraise83@gmail.com.Date：2018年3月14日。关键词和短语。高斯期限结构模型、波动率表面校准、快速掉期期权定价、掉期期权分析。通信地址：韩国大田玉城谷Gwahangno 335号KAIST数学科学系Sungchan Shin。2 J.CHOI和S.Shin关于这一主题最相关的研究是由Singleton和Umantsev【2002】和Schragerand Pelsser【2006】进行的。这两项研究都为一类有效期限结构模型（ATSM）提供了一种快速定价方法。Singleton和Umantsev【2002】观察到，交换选项的非线性exerciseboundary可以用超平面来近似。他们使用Du ffeet al【2000】和Bakshi and Madan【2000】开发的变换反演方法计算近似域上的概率。Schrager和Pelsser【2006年】从完全利率动态中推导出基础掉期利率的近似随机微分方程（SDE），从该方程可以很容易地获得掉期期权价格。他们假设低方差鞅（LVM），通常是贴现因子的比率，是时间零值的常数。Andersen和Piterberg【2010c】通过改进LVM的估计进一步完善了该方法。由于其简单直观的实现，Schrager和Pelsser【2006】方法受到了从业者的青睐。考虑到伦敦银行同业拆借利率市场模型（LMM）中的掉期期权定价方法与冻结LVM的方法类似，该方法可以说是所有类别利率期限结构模型的主导掉期期权定价方法。

虽然Singleton和Umantsev（2002）方法似乎同样具有优势，但它克服了几个缺点。首先，由于它在选择超平面时缺乏明确的指导，因此无法提供最佳超平面以将错误最小化。其次，即使对于给定的超平面，该区域的概率也必须在不同的正向测度下计算；衡量标的掉期期权现金流数量的指标很多。这项研究表明，对于一类高斯项结构模型（GTSM），可以显著改进超平面近似。利用GTSM的分析可处理性，我们可以克服上述两个缺点。在GTSM中，状态的概率密度函数只是一个多元高斯函数。换言之，GTSMI类似于ATSM，在ATSM中，变换反演是解析求解的。密度函数的知识使我们能够找到逼近非线性基的最佳超平面。我们确定边界上具有最大概率密度的点，并确定该点的超平面切线。无论互换期权的金额、到期日和期限如何，我们的近似精度都比以前方法的精度高出几个数量级。此外，我们的方法不会牺牲计算成本。计算成本与GTSM的因子数呈线性增长。尽管我们的方法仅限于GTSM，GTSM是ATSM的一个子集，但鉴于GTSM在所有期限结构模型中无可争议的重要性，它仍然是对掉期期权校准的重大改进。之前的几个期限结构模型是GTSM的特例，例如Ho和Lee【1986年】、Hull和White【1990年】和Vasicek【1977年】。这些模型仍然以其扩展形式被实践者使用。

在GTSM中，我们还可以将近似值与确切的互换期权价格进行比较。与一般的ATSM不同，ATSM提出了其他原始方法（例如Munk【1999】和Collin Dufresne and Goldstein【2002】）。这些备选方案在准确性和计算成本方面占主导地位。详见Singleton和Umantsev【2002】和Schrager和Pelsser【2006】。快速掉期期权定价3有必要借助蒙特卡罗模拟，我们可以通过将分析结果与数值积分相结合来获得准确的价格。因此，我们可以提供准确的误差分析。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们简要回顾了高斯项结构模型。第3节介绍了超平面近似方法和精确互换期权定价。第4节展示了我们的方法的准确性，并与以前的方法进行了比较。2、多因素高斯项结构模型在本节中，我们回顾了GTSM的重要结果。我们将确定GTSM的范围，并描述我们的近似方法有效的前提条件。为了简化符号，定义元素乘法运算符，o , 向量之间或向量与矩阵之间byaob=bo a=ajbj公司j、 （2.1）米oa=ao M级=Mjkaj公司j、 k、（2.2）和Moa> =a>o M级=Mjkak公司j、 k，（2.3），其中a=[aj]jand b=[bj]jare d×1向量，M=[Mjk]j，kis a d×d矩阵。本研究中的GTSM是Heath Jarrow Morton（HJM）模型类的一个子类【Heath等人，1992年】。一般的d维HJM模型从零息票债券的价格动态开始。

设P（t，t）为在t到期的零息票债券的时间t价格，其定义如下：（2.4）dP（t，t）P（t，t）=r（t）dt-σP（t，t）>dWβ（t），其中r（t）是短速率过程；-σP（t，t）是波动率向量；Wβ（t）是风险中性测度Qβ下的二维布朗运动。Wβ（t）的分量与相关矩阵R（t）=[ρjk（t）]j相关，其中ρkk（t）=1。如果f（t，t）是在当前时间t观察到的时间t的瞬时正向速率（IFR），我们可以写下（t，t）=exp-RTtf（t，s）ds. HJM模型的一个重要结果是，将该方程插入SDE中，得出P（t，t），以表明（2.5）df（t，t）=σf（t，t）>σP（t，t）dt+σf（t，t）>dWβ（t），其中IFRσf（t，t）的波动率如下：（2.6）σf（t，t）=TσP（T，T）。此外，对于x（0）=0且（2.8）x（t）=Ztσf（s，t）的d×1状态向量过程x（t），短速率过程r（t）为（2.7）r（t）=f（t，t）=f（0，t）+1>x（t）oZtsσf（s，u）du ds+Ztσf（s，t）o dWβ（s）。4 J.CHOI和S.SHINWe可以进一步简化t向前测量Qt下的结果。利用Girsanov定理，我们得到（2.9）dWβ（s）=dWt（s）-σP（s，t）ds=dWt（s）-Ztsσf（s，u）du ds，其中Wt（·）是QT测度下的布朗运动。f（s，t）和x（s）相对于时间s的过程变得无漂移（2.10）df（s，t）=σf（s，t）>dWt（s），x（t）=Ztσf（s，t）o 载重吨。该结果与直观观察结果一致，即f（s，t）是相对于时间s的qtmasures下的鞅。Heath等人[1992]的一个重要结果是，将利率曲线f（0，t）作为模型的输入，通过指定波动率σf（t，t）来完全确定利率曲线的差异。

然而，HJM模型通常对σf（t，t）施加限制，因为该过程通常是路径依赖的或非马尔可夫的。众所周知，HJM模型是马尔可夫模型，当且仅当σf（t，t）对于d×d矩阵G（t）和d×1向量h（t），以G（t）h（t）的形式是确定性和可分离的【Andersenand Piterbarg，2010a】。基于此假设，IFR f（t，t）和状态向量x（t）也是高斯分布。虽然这不是本研究的必要条件，但σfis的可分离形式的一个流行选择是使短期利率r（t）遵循均值回复的Ornstein-Uhlenbeck过程，（2.11）dx（t）=（π（t）1-λ（t）o 对于确定性均值回归系数λ（t）、确定性短期波动率向量σr（t）和漂移矩阵∏（t），x（t））dt+σr（t）>dWβ（t）。该选择相当于设置（2.12）σf（t，t）=σr（t）om（t，t），其中m（t，t）是时间t和t之间的指数衰减因子，由（2.13）m（t，t）=-RTtλk（s）dsikforλ（t）=hλk（t）ik。状态x（t）为多元高斯分布。漂移矩阵∏（t）是x（t）的协方差矩阵。根据式（2.10），我们得到∏（t）=Zt（σf（s，t）o dWt（s））（σf（s，t）o dWt（s））>（2.14）=Ztσr（s）om（s，t）oR（s）o σr（s）>o m（s，t）>ds=Ztρjk（t）σrj（s）σrk（s）mj（s，t）mk（s，t）dsj、 k.FAST SWAPTION PRICING 5最后，我们可以使用马尔可夫状态x（t）作为（2.15）P（t，t）=P（0，t）P（0，t）exp重构未来时间t的零息票债券价格-g（t，t）>x（t）-g（t，t）>π（t）g（t，t）,其中g（t，t）=RTtm（t，s）ds。P（t，t）的波动率可以方便地表示为σP（t，t）=-σr（t）o g（t，t）；因此，g（t，t）是零息票债券相对于短期利率波动的风险负荷。应该注意的是，在t向前度量下，x（t）的平均值为零，EQt{P（t，t）}=P（0，t）/P（0，t）。

这一结果与P（s，T）/P（s，T）在qt测度下是关于时间s的鞅这一事实是一致的。互换期权定价方法在这里，我们使用上一节的结果得出互换期权的价格。让我们假设掉期期权的基础掉期在远期时间T开始，按照付款计划{T，···Tm}支付已执行的K（付款人掉期），并收到浮动利率，通常为伦敦银行同业拆借利率。在时间t，该基础掉期的价值为（3.1）V（t）=P（t，t）-P（t，Tm）-mXk=1kPa（t，Tk）k、 在哪里kis第k周期的日计数分数，k=Tk- Tk公司-一般而言，（3.2）V（t）=mXk=0P（t，Tk）CF（Tk），对于时间Tk的现金流系列CF（Tk）。让Tebe在掉期期权到期后签订基础掉期，并支付已执行的款项（到期时间通常为掉期开始前两个营业日）。使用重建公式公式（2.15），我们可以将掉期的未来价值表示为状态x（Te）的函数。我们首先对满足∏（t）=C（t）C（t）>的协方差矩阵∏（t）的aCholesky分解C（t），将状态变量x（t）解相关并归一化为z（t），x（t）=C（t）z（t）。然后，重建公式变为（3.3）P（t，t）=P（0，t）P（0，t）exp-a（t，t）>z（t）-|a（t，t）|.其中a（t，t）=C（t）>g（t，t）。现在，我们得到了到期时掉期的价值，即状态z=z（Te）V（z）=P（0，Te）mXk=0DCFkexp的函数-a> kz公司-|ak公司|（3.4）其中dcfk是贴现现金流量CF（Tk）P（0，Tk），ak=a（Te，Tk）。层互换期权的价格是Te远期措施下V（z）的预期，（3.5）C=P（0，Te）EQTe{max（V（z），0）}。6 J.CHOI和S.Shin类似地，接收方掉期期权的Te远期价格由（3.6）P=P（0，Te）EQTe{max给出(-V（z），0）}。本研究的其余部分侧重于付款人互换选项。

接收方交换选项可以根据put调用奇偶关系确定。3.1. 超平面近似。公式（3.5）的评估涉及d维积分。难点在于识别集成域Ohm, 其中，基础Swapha为正值，边界Ohm 可用（3.7）表示Ohm = {z:V（z）≥ 0}, Ohm = {z:V（z）=0}。正如Singleton和Umantsev【2002】所述，我们通过近似边界简化积分Ohm 作为超平面。然而，在本研究中，我们通过提供一种系统的方法来确定用于此近似的最佳超平面，从而对原始数据进行了实质性的重新定义。在运动边界处，我们确定状态z*具有最大概率密度。然后，对于近似值，我们使用z处边界的切平面*, 这是一种系统化的选择超平面的方法，没有基于经验的特殊规则。这种技术可以应用于任何货币互换期权和GTSM的任何维度。由于z具有不相关的多元正态分布，概率密度随| z |的函数而减小。因此，z*也是边界上的点中距离原点0最短的点Ohm. 此外，它的结论是*应为的标量倍数V（z*). 我们将使用此属性查找z*. 几何图示见图1。点z*可以使用以下迭代方法进行数值计算。

一次迭代包括以下两个步骤：从z（i）到z（i+）和从z（i+）到z（i+1）。（1） ：首先，从z（i）开始应用最速下降法步骤：（3.8）z（i+）=z（i）-V（z（i））|V（z（i））|V（z（i））（2）：然后，将z（i+）投影到渐变方向上V（z（i+）乘以（3.9）z（i+1）=V（z（i+）>z（i+）|V（z（i+））|V（z（i+）。当误差V（z（i+1））低于某个阈值时，可以满足收敛到根的要求；我们使用10-13在我们的研究中。很难用数学严谨的方法证明迭代格式对于所有可能的参数化都收敛到aroot。然而，对于任何合理的参数化，我们的方法都不会失败。在GTSM中，状态变量与利率成正比，甚至允许负利率。因此，有可能找到一个掉期利率等于任何给定（甚至是负）罢工的州，这确保了大量的Ohm 始终存在并接近超平面。这种迭代寻根过程在整个掉期期权价格计算中使用的时间最多，因为其余的快速掉期期权定价7计算是分析性的。合理校准的GTSM收敛到根z*快速，通常在从原点开始的7次迭代内。应该注意的是，迭代次数不会随着维数d的增加而增加，尽管计算成本可能会由于组件数量的增加而增加。总的来说，计算成本随维度d呈线性增加，而非指数增加。现在，我们可以简化公式（3.5）的计算。设q=V（z*)/|V（z*)| 是方向上的单位向量V（z*). 我们将状态向量表示为：（3.10）z=yq+···+ydqd在笛卡尔坐标y=（y，··，yd），标准基{q，··，qd}。