可自动赎回优化证券的概率分析

任何给定观察日期的指数回报率均为非负。然后，我们得到（净付款）=0.52p+1.04（1- p） p+1.56（1- p） p+2.08（1- p） p+2.61（1- p） p+3.13（1- p） p+10×E（I | dmin<-和Ij<0，1≤ j≤ 6） ×P（dmin<-|Ij<0，1≤ j≤ 6) × (1 - p） 。（3.10）为了得出termsE（I | dmin<-和Ij<0，1≤ j≤ 6） andP（dmin<-|Ij<0，1≤ j≤ 6） ，我们需要对随机变量I，…，做出强有力的假设，一、 我们宁愿避免这样做。因此，我们将为这些术语赋值，以反映各种市场条件，然后我们将研究每一组值的函数（3.10）的结果行为。定义B≡ -E（I | dmin<-和Ij<0，1≤ j≤ 6). （3.11）注意期望值E（I | dmin<-和Ij<0，1≤ j≤ 6） 显然是消极的；因此，B<0。还有，因为我≥ -1，然后是B≤ 因此，我们有0<B≤ 1、此外，定义≡ P（dmin<-|Ij<0，1≤ j≤ 6); （3.12）很明显，0≤ B≤ 1因为这是一种可能性。此外，通过（3.2），B6=0；因此0<B≤ 根据（3.10），我们得到（净付款）=0.52便士+1.04（1- p） p+1.56（1- p） p+2.08（1- p） p+2.61（1- p） p+3.13（1- p） p- 10BB（1- p） 。（3.13）对于p=0，我们得到E（净付款）=-10BB<0。因此，在预期净付款为负的情况下，p=0附近总是有一个很小的间隔。关于B值的解释，我们提供以下内容。假设Bis较小；然后从（3.11）得出E（I | dmin<-和Ij<0，1≤ j≤ 6） 接近零，为负。因此，对于较小的B值，票据持有人将获得较小但为负的总体预期回报，尽管存在条件事件I，我是消极的。

这就是说，尽管六个观察日的指数回报率均为负值，且最小累积日回报率低于-50%，但最终结果是，票据持有人的平均损失仍然很小。因此，尽管连续出现季度亏损，金融市场在18个月的观察期内仍可能保持乐观的前景。这导致我们将BW的小值与市场参与者的普遍乐观联系起来，通过类似的论证，我们可以将BW的大值与广泛的市场悲观联系起来。在B的情况下，从（3.12）可以看出，如果Bis规模较小，则在连续六个季度亏损的条件下，任何每日累计指数回报率都有很小的可能性超过触发水平。在现实世界中，连续的季度亏损通常会导致市场参与者普遍悲观；因此，相信仍有很小的可能性可以避免触发水平，这确实是一个乐观的假设。因此，我们认为BCA的小价值可以与总体乐观的市场前景相关联；同样的论点是，BCA的大值可能与广泛的市场悲观情绪有关。考虑B=B=0.1的情况。使用这些值，我们绘制（3.13）关于p，0≤ p≤ 1，在图4中获得预期净支付函数图：图4：预期净支付图，其中B=0.1和B=0.1在这种情况下，最大预期净支付为1.15，约为11.5%，即平均回报率约为11.5%。此外，最低预期净付款为-约为0.1，即平均损失约为10%。

因此，即使在这种乐观的情况下，平均客户可能会损失高达10%的资本。我们还注意到，预计净付款在p=0.29左右时最大化。虽然可以假设金融市场连续季度增长，即p=1，对票据持有人更为有利，但由于市场持续增长，这种情况会导致提前调用票据。在这种情况下，自相矛盾的是，票据持有人的平均回报率会下降。在金融市场不太乐观的情况下，B=B=0.5，（3.13）中的预期净支付函数图如图5所示：图5：预期净支付图，其中B=0.5，B=0.5。在这种情况下，最大预期净支付约为0.97，即平均回报率约为9.7%。此外，最低预期净付款为-约为2.5，平均损失约为本金的25%。与前一种情况一样，对票据持有人而言，中等价值的p比高价值的p更为有利。如果金融市场预计将经历显著的衰退，其中波段的值相对较高，例如B=0.7和B=0.8，那么我们在图6中获得了（3.13）中的预期净支付函数图：图6：预期净支付图，在这种悲观情景下，B=0.7和B=0.8，最高预期净付款约为0.89，这意味着平均票据持有人的最大回报率仅为8.9%。另一方面，最低预期净付款为-大约为5.6，这意味着普通票据持有人可能遭受高达其资本56%的百分比损失。到目前为止，我们已经研究了预期净支付函数的精确值，正如我们所看到的，该函数涉及两个未知参数B带。

我们现在推导出预期净支付函数的上界；这些界限的优点是只依赖于一个未知参数。我们知道dmin≤ IRR对于任何r=1，6.因此，P（dmin<-|Ij<0，1≤ j≤ 6) ≥ P（Ir<-|Ij<0，1≤ j≤ 6). （3.14）此外，期望值E（I | dmin<-和Ij<0，1≤ j≤ 6） <0，因为在条件事件中I<0。因此，通过不等式（3.14），我们可以看到e（I | dmin<-和Ij<0，1≤ j≤ 6） P（dmin<-|Ij<0，1≤ j≤ 6)≤ E（I | dmin<-和Ij<0，1≤ j≤ 6） P（Ir<-|Ij<0，1≤ j≤ 6） ，（3.15），然后，到（3.15），我们获得（净付款）≤ 0.52p+1.04（1- p） p+1.56（1- p） p+2.08（1- p） p+2.61（1- p） p+3.13（1- p） p+10（1- p） E（I | dmin<-和Ij<0，1≤ j≤ 6） ×P（Ir<-|Ij<0，1≤ j≤ 6).（3.16）根据条件概率的定义和假设，I，i独立且分布相同，P（Ir<-|Ij<0，1≤ j≤ 6） =P（Ir<-|Ir<0）=P（Ir<-Ir<0）P（Ir<0）=P（Ir<-)P（Ir<0）=（1- p）-1P（Ir<-).（3.17）因此，根据（3.16）和（3.17），E（净付款）≤ 0.52p+1.04（1- p） p+1.56（1- p） p+2.08（1- p） p+2.61（1- p） p+3.13（1- p） p+10（1- p） E（I | dmin<-和Ij<0，1≤ j≤ 6） P（Ir<-).（3.18）我们还可以得到E（I | dmin<-和Ij<0，1≤ j≤ 6). 为此，债务={Ir<-和Ij<0，1≤ j≤ 6} andA={dmin<-和Ij<0，1≤ j≤ 6}.因为dmin≤ IRR=1，6然后得出 A、 考虑累积指数回报率d，dn，视为连续随机变量。上述集合A和A显然是依赖于d、…、，dn。因为a A接着是P（A）≤ P（A）。（3.19）我们在本节前面的（3.2）中指出，P（A）6=0；通过一个类似的参数，可以得出p（a）6=0。如前所述，这个条件成立，因为我。

，i是连续的随机变量，其概率密度函数在区间（-1,0）上严格为正，这一条件相当于市场在任何季度向下移动的概率为非零的假设。设f（d，…，dn）表示I，…，的联合概率密度函数，一、 自从我≡I（d，…，dn）是随机变量d，…，的函数，然后，通过定义预期值，我们得到（I | dmin<-和Ij<0，1≤ j≤ 6)≡ E（I | A）=P（A）ZAI（x，…，xn）·f（x，…，xn）dx··dxn。（3.20）因为所有（x，…，xn）的I<0∈ A因为A 因此，它遵循thatZAI（x，…，xn）·f（x，…，xn）dx···dxn≤ZAI（x，…，xn）·f（x，…，xn）dx···dxn。（3.21）现在从（3.19），（3.20）和（3.21）得出，e（I | A）=P（A）ZAI（x，…，xn）·f（x，…，xn）dx···dxn≤P（A）ZAI（x，…，xn）·f（x，…，xn）dx···dxn≡ E（I | A）。（3.22）这证明E（I | dmin<-和Ij<0，1≤ j≤ 6) ≤ E（I | Ir<-和Ij<0，1≤ j≤ 6). （3.23）因此，对于任何r=1，6，E（净付款）≤ 0.52p+1.04（1- p） p+1.56（1- p） p+2.08（1- p） p+2.61（1- p） p+3.13（1- p） p+10（1- p） E（I | Ir<-和Ij<0，1≤ j≤ 6） P（Ir<-).（3.24）此外，请注意不等式（3.24）涉及随机变量I，而且不依赖于dmin。因此，我们可以选择r=6来获得（净付款）≤ 0.52p+1.04（1- p） p+1.56（1- p） p+2.08（1- p） p+2.61（1- p） p+3.13（1- p） p+10（1- p） E（I | I<-和Ij<0，1≤ j≤ 6） P（I<-).（3.25）很明显，E（I | I<-和Ij<0，1≤ j≤ 6) < -. （3.26）我们现在引入符号τ=P（I<-); 那么很明显p+τ≤ 1.

因此，从（3.25）和（3.26）得出，即（净支付）≤ 0.52p+1.04（1- p） p+1.56（1- p） p+2.08（1- p） p+2.61（1- p） p+3.13（1- p） p- 5(1 - p） τ。（3.27）在乐观情景下，我们预计i达到触发水平的可能性很小，即τ很小。例如，设τ=0.1，则我们在图7中获得（3.27）右侧的图：[p]图7：预期净付款的上界，其中p（I<-) = 0.1在这种情况下，最大预期净付款的上限约为1.08，导致平均回报的上限约为10.8%。另一方面，最低预期净付款的上限为-约为0.5，即平均损失约为5%。假设τ=0.5；然后，我们在图8中获得了（3.27）中预期净支付函数的上界图：图8：预期净支付的上界，其中P（I<-) = 0.5在这种略微悲观的情况下，预期净支付上限的最高值约为0.91；最低预期净薪酬的上限为-约为2.5。等价地，票据持有人的平均回报率上限约为9.1%，而票据持有人的平均损失率上限约为25%。现在考虑金融市场的高度悲观情景，其中τ=0.8；然后，图9描述了（3.27）给出的预期净付款的上限：图9：预期净付款的上限，其中P（I<-) = 0.8对于这种情况，最大预期净付款的上限约为0.85。另一方面，最低预期净付款的上限为-4，大约。

这些值意味着averageclient的回报上限约为8.5%，而可能损失的上限约为40%。总之，图3.3-3.8描述了预期净支付低估情景的上限。一般来说，预期净支付的最高值出现在p的中等值，而不是如人们首先假设的那样出现在p的高值。根据ascenario，预计市场将出现显著的上升趋势，且p的价值较高，该票据将提前赎回，因此将限制票据持有人的回报。根据我们对图3.3-3.8所示六种情景的分析，最佳情景可能导致最大平均回报率约为11.5%，可能的平均损失约为10%。最坏的情况是平均回报率约为8%，平均损失约为56%。考虑到以上仅详细描述了六种情况，我们还通过绘制（3.27）中所有（p，τ）值的上限函数，提供了更全面的分析，使得0≤ p、 τ≤ 1和p+τ≤ 1、然后，我们获得了以下预期净支付的三维图：图10：预期净支付的上限作为p和τ的函数。根据该分析，最佳情况是，在p=0.28和τ=0时，预期净支付最多为1.16，约为1.16。另一方面，最坏的情况导致预期净付款最多为-约为5，p=0，τ=1。因此，票据持有人的净收益率范围为-大约50%-11.6%。这一范围意味着，平均而言，票据持有人的可能回报率大大低于潜在损失。

因此，普通票据持有人将遭受巨大的资本损失。4付款程序的第二种解释我们现在提供付款程序的第二种解释，并对其进行分析，与之前的解释评估方式类似。在对上一节研究的支付程序的解释中，如果在观察期的任何一个季度，指数结束水平超过了触发水平，但在随后的观察日，指数回报为正，则仍存在正回报的可能性。由于招股说明书对此问题不明确，我们将在本节中假设，如果某个指数在一个季度的任何交易日突破触发水平，即如果至少一个累计每日指数回报率低于-50%，则客户将在最终估值日收到负回报。在本节中，六个观察日期和每日累积指数回报的符号将与之前保持不变。我们还需要确定作为各种观察日期函数的最小每日累积指数收益集合，即：。，dmin，1：2008年5月5日最小累积日指数收益，2：2008年8月5日最小累积日指数收益，3：2008年11月5日最小累积日指数收益，4：2009年2月5日最小累积日指数收益，5：2009年5月5日最小累积日指数收益，6：8月5日最小累积日指数收益，2009年最后一个最小累积每日指数回报率dmin:6，相当于第3节提供的分析中的dmin。同样，从这个符号可以看出：dmin，1≥ dmin，2≥ 德明，3岁≥ dmin，4岁≥ dmin，5岁≥ 德明，6岁。

（4.1）使用此符号，现在可以将付款程序的解释步骤描述如下：步骤1：计算指数回报率，确定季度的观察日期。步骤2：如果观察日的指数回报率为非负，即ifIr≥ 0，则调用票据，客户在最终估价日收到定价补充中规定的金额。步骤3：计算与给定观察日期对应的季度内每个交易日的累积回报率di，并确定该观察日期的最小累积每日指数回报率dmin。第四步：如果观察日的指数收益率为负值，且最小累积日收益率大于-50%，即如果Ir<0且dmin，r≥ -50%，然后我们在下一个观测日期返回步骤1并重复该过程。第五步：如果观察日的指数回报率为负值，且最小累积日回报率小于-50%，即如果Ir<0且dmin，t<-50%，则在最终估价日期之前不会采取进一步行动。在每个观察日执行步骤1-4，直到最终估价日或票据被调用为止。我们注意到，在最终估值日，如果未调用票据，则之前的所有最小累积每日指数回报率均大于-50%和方程式（4.1）dmin，5≥ -50%.在最终估值日，可能出现以下三种情况之一：情况1：如果观察日的指数回报率为非负，即≥0，则调用票据，客户在最终估价日收到定价补充中规定的金额。案例2：如果指数回报率为负，且每日累计指数回报率最小值大于-在最终估价日支付50%，即。

ifI<0和dmin，6≥ -50%，则客户在到期时收到10美元。案例3：如果任何最小累积每日指数回报率小于-50%，即如果dmin，r<-至少一个r=1，…，为50%，6，则客户收到相当于10（1+I）的减少付款，代表Ito票据持有人的负回报。请注意，在最终估价日，如果至少有一个dmin，r<-50%则来自不平等（4.1），即Dmin，6≤ 50%.以下树形图描述了付款程序的这种解释：交易日期（2008年2月5日）转到观察日期#1：Is I1≥ 2008年5月5日0？否：然后是任何di<-2008年2月5日至5月5日期间减半？是：然后调用注释；工资单持有人10.52美元否：然后转到观察日期#2：Is I2≥ 2008年8月5日为0否：然后是任何di<-2008年5月6日至8月5日期间减半？是：然后调用注释；付款单持有人11.04美元否：然后转到观察日期#3：Is I3≥ 2008年11月5日为0？否：然后是任何di<-2008年8月6日至11月5日期间减半？是：然后调用注释；付款单持有人11.56美元否：然后转到观察日期#4：Is I4≥ 2009年2月5日为0否：然后是任何di<-2008年11月6日至2009年2月5日期间，减半？是：然后调用注释；付款单持有人12.08美元否：然后转到观察日期#5：Is I5≥ 2009年5月5日0？否：然后是任何di<-2009年2月6日至5月5日期间减半？是：然后调用注释；付款单持有人12.61美元是：不调用票据否：然后转到最终估价日期：Is I6≥ 8月0日。