可自动赎回优化证券的概率分析

《定价补充》仅提供了未来市场趋势可能情景的四个示例。我们认为，补充资料本应提供此类情况的更全面列表。在所呈现的两种情景中，客户获得了积极的回报；在一种情况下，客户收支平衡，只有一种情况下客户失去了部分本金。此外，没有给出任何例子来说明客户如何遭受其全部资本损失。因此，这些例子可能让一些客户认为，他们更有可能获得积极回报，而不是损失。此外，情景分析中的细节含糊不清。具体而言，票据调用条件的确定尚不明确，因此我们现在将详细调查支付程序。为了描述付款方式，我们需要定义几个术语。指数起始点是2008年2月5日标准普尔500指数的收盘点。《定价补充》指出，指数起始水平为369.44。触发水平为184.72，是指数起始水平的50%。指数期末水平是标准普尔500指数在相应观察日或交易日的收盘水平。定义了这些术语后，我们可以定义指数回报率，用I表示，beI=指数结束水平- 索引起始级别索引起始级别。通过这个公式，我们可以看到，如果任何交易日的指数结束水平在或高于指数开始水平，那么指数回报率将为正，即≥ 0，如果在任何交易日，指数结束水平小于指数开始水平，则指数回报率将为负值，即i<0。

此外，如果索引结束级别小于触发器级别，则I<-0.5，反之亦然。定价补充资料中题为“到期付款”的部分包含一个图表，用于说明计算客户净付款的规则。此处显示的图表是典型的，因此代表了通过SEC网站找到的许多其他自动催缴票据的定价支持中出现的相关图表。该图是定价补充文件中用于确定支付程序的主要来源，图1中复制了该图，如下所示：指数的closinglevel是否在指数起始水平或以上的任何观测日期？如果您之前没有收到通知，您将收到“指示性指标通知日期返回”中所述的适用通知价格。在观察期内的任何一个交易日，指数的closinglevel是否低于触发水平？到期时，你将收到每张10美元的本金。确定指数回报在到期时，你将收到本金减少的金额，该金额基于指数从指数起始水平到指数结束水平的百分比减少，计算如下：$10×（1+指数回报）在这种情况下，你可能会损失部分或全部本金，取决于指数减少的程度。YesyesnonononononononoyesFigure 1：到期付款，如图1中的定价补充所示，我们推断，如果观察日I>0，则票据可能会被赎回并兑换为定价补充中规定的金额。该赎回价值以每年20.84%的利率为基础，实际金额在补充条款的“最终条款”部分中说明。

“最终条款”部分说明了每个观察日期以及相应的百分比回报（如果在该日期调用注释）。但是，如果在特定观察日期I<0，则不调用注释。此外，ifI<-0.5在观察期内的任何交易日，客户有可能在到期时收到负回报。特别是，该图表指出，客户可能会损失高达100%的资本，但没有说明发生这种情况的可能性。此外，图表本身并未明确说明何时调用票据，但只要不调用票据，则指数回报率的计算将在随后的每个交易日进行，直到最终估值日。确定票据持有人将从其票据中获得的实际回报尤其重要。看来，这些票据可能在最终估值日期之前发出，并由卖方全权决定。还假设在最终估值日衡量的指数回报率实质上大于零，即指数结束水平高于指数开始水平；然后，定价补充中使用的语言似乎赋予了票据卖方以某种方式调用票据的权力，以便最大限度地减少票据持有人的回报。因此，似乎可以用不同的方式来解释向客户支付款项的方式。在以下两个部分中，我们将分析可能使用的付款程序的两种可能解释，并估计每种解释下给客户的平均回报。3付款程序的首次解释在本节中，我们描述并分析了计算净付款的付款程序的一种可能解释。

对于这种解释，我们将表明，即使在不乐观的情况下，普通买家也会损失大量本金。对于2008年2月5日至2009年8月5日18个月期间的每个观察日，我们将相应的指数回报定义如下：I：2008年5月5日的指数回报I：2008年8月5日的指数回报I：2008年11月5日的指数回报I：2009年2月5日的指数回报I：2009年5月5日的指数回报I：2008年8月5日的指数回报，2009年，让n表示18个月观察期内的总交易日数。我们已通过谷歌金融网站验证了标准普尔500金融指数的历史收盘价，本票据n=381个交易日。对于1，n、 确定第一天的累积指数回报率；因此，direpresents表示从2008年2月5日第1天到第一天的总指数回报。让dmin=min（d，d，…，dn）是整个观察期内最小的每日累积回报。使用此符号，现在可以将此付款程序的解释步骤描述如下：步骤1：计算指数回报率，计算RTH季度的观察日期。步骤2：如果观察日的指数回报率为非负，即ifIr≥ 0，则调用票据，客户在最终估价日收到定价补充中规定的金额。步骤3：如果观察日的指数回报率为负值，即Ir<0，则我们计算给定观察日对应季度内每个交易日的累积回报率di。

如果任何累计回报低于-50%，然后我们记录此事件以供将来参考。步骤4：对于下一个观察日期，返回步骤1并重复该过程。在每个观察日执行步骤1-4，直到最终估值日或调用注释为止。在最终估值日，可能出现以下三种情况之一：情况1：如果指数回报在最终估值日为非负，即如果≥ 0，则客户收到PricingSupplment中规定的金额。案例2：如果最终估值日的指数回报率为负值，并且在整个观察期内，每个交易日的每日指数结束水平都保持在触发水平或以上，即如果i<0且dmin≥ -50%，则客户在到期时收到10美元。案例3：如果在最终估值日期之前的任何交易日，至少有一个每日指数结束水平违反触发水平，即如果dmin<-50%，则客户收到相当于10（1+I）的减少付款，代表Ito票据持有人的负回报。以下树形图描述了付款程序的这种解释：交易日期（2008年2月5日）转到观察日期#1：Is I1≥ 2008年5月5日0？否：然后是任何di<-2008年2月5日至5月5日期间减半？是：然后调用注释；付款通知持有人10.52美元是：不调用通知否：然后转到观察日期#2：Is I2≥ 2008年8月5日为0否：然后是任何di<-2008年5月6日至8月5日期间减半？是：然后调用注释；付款单持有人11.04美元是：不调用票据否：然后转到观察日期#3：Is I3≥ 2008年11月5日为0？否：然后是任何di<-2008年8月6日至11月5日期间减半？是：然后调用注释；付款通知持有人11.56美元是：不调用通知否：然后转到观察日期#4：Is I4≥ 2009年2月5日为0否：然后是任何di<-2008年11月6日-2008年2月期间五折。

5, 2009?是：然后调用注释；付款通知持有人12.08美元是：不调用通知否：然后转到观察日期#5：Is I5≥ 2009年5月5日0？否：然后是任何di<-2009年2月6日至5月5日期间减半？是：然后调用注释；付款单持有人12.61美元是：不调用票据否：然后转到最终估价日期：Is I6≥ 2009年8月5日为0？否：然后是任何di<-观察期内的50%？是：然后调用注释；支付票据持有人13.13美元是：票据到期；支付票据持有人10美元（1+I6）否：票据到期；付款单持有人$10图2：付款程序示意图根据《定价补充》【8】和本付款程序，以美国为单位向票据持有人支付的净额由“净额支付”功能给出=0.52，如果我≥ 01.04，如果I<0，且I≥ 01.56，如果Ij<0，j=1、2和I≥ 02.08，如果Ij<0，j=1、2、3和I≥ 02.61，如果Ij<0，1≤ j≤ 4和I≥ 03.13，如果Ij<0，1≤ j≤ 5和I≥ 00，如果Ij<0，1≤ j≤ 6和dmin≥ -10I，如果Ij<0，1≤ j≤ 6和dmin<-（3.1）o前六种情况下，如果任何指数返回，I，i为非负，在这种情况下，票据在相应的观察日被调用，在这些情况下，客户在最终估值日收到正回报如果所有索引返回I，…，则出现第七种情况，I在观察期内为负且为最小累积每日指数回报，dminis至少-50%. 在这种情况下，票据到期，客户在最终估值日收到的净付款为零，即客户收支平衡如果之前未调用注释，且观察期内的最小累积每日指数回报dmin小于-50%;i、 e.最小指数结束水平低于触发水平。

在这种情况下，票据到期，在最终估值日，客户收到的净付款为负10I。在（3.1）中的净支付函数中，指数返回I，I是连续的随机变量，其联合概率密度函数对于I，…，严格为正，在区间内(-1, 0); i、 e.未来市场出现下跌趋势的概率非零。因此，P（dmin<-|Ij<0，1≤ j≤ 6） 6=0（3.2），因为始终存在市场趋势下降的可能性。现在，我们将总期望定律（Ross【12】，第333页，方程（5.1b））应用于（3.1）中的网络支付函数；然后我们得到（净付款）=0.52×P（I≥ 0）+1.04×P（I<0，I≥ 0）+1.56×P（Ij<0，j=1，2和I≥ 0）+2.08×P（Ij<0，j=1、2、3和I≥ 0）+2.61×P（Ij<0，1≤ j≤ 4和I≥ 0）+3.13×P（Ij<0，1≤ j≤ 5和I≥ 0）+0×P（Ij<0，1≤ j≤ 6和dmin≥ -)+ 10×E（I | dmin<-和Ij<0，1≤ j≤ 6） ×P（dmin<-|Ij<0，1≤ j≤ 6） ×P（Ij<0，1≤ j≤ 6).（3.3）在现实环境中，指数返回随机变量I，我不太可能独立。事实上，有许多研究文章发现，动量交易“购买过去表现良好的股票，出售过去表现不佳的股票的策略在3到12个月的持有期内产生显著的正回报”（Jegadeesh和Titman【7】；Conrad和Kaul【1】；这种现象不仅在美国金融市场存在，在国际上也存在（Hurn[6]）。因此，如果金融指数在三个月内出现负回报，那么很自然，交易员会对接下来的三个月感到悲观。

因此，我们希望发现，例如，P（I≥ 0 | I<0）≤ 真实环境中的P（I<0 | I<0）（3.4）。我们认识到，这种不平等可以有例外；例如，如果市场处于一种乐观的心态，任何低迷都被乐观地视为未来积极发展的迹象，那么上述不平等甚至有时可能逆转。由于将市场视为永久的欢欣状态是不现实和不明智的，我们将把这种不平等视为普遍有效。因此，为了分析对票据持有人的预期净支付，我们将假设不等式（3.4）成立。我们之所以这样说，是因为≥ 0 | I<0）+P（I<0 | I<0）=1，（3.5），那么不等式（3.4）意味着P（I≥ 0 | I<0）≤≤ P（I<0 | I<0）。（3.6）同时，（3.5）表示如果P（I≥ 0 | I<0）较大，即接近1，则P（I<0 | I<0）较小，即接近0。图3:2002年9月20日至2007年12月28日标准普尔500金融指数的收盘水平此时，值得提供2008年初金融市场状况的历史背景，同时这些反向可转换票据正在出售给公众。图3摘自谷歌财经网站，基于2002年9月20日至2007年12月28日标普500金融指数的历史收盘价。如图3所示，标普500指数在2002年至2007年末期间持续增长。

到2008年初，许多投资者担心牛市走得太远，股价可能会大幅下跌。因此，可以合理预计，第四季度的P（Ir<0）较大，因此，P（Ir≥ 0）对于该季度来说很小。鉴于统计证据表明动量交易策略在3到12个月内是成功的，我们还预计P（I<0 | I<0）在2007年末会很高，因此P（I≥ 0 | I<0）很小。然后，它遵循p（I<0，I≥ 0) ≡ P（I≥ 0 | I<0）P（I<0）<P（I≥ 0 | I<0），这证明了P（I<0≥ 0）也很小。通过重复这一论点，我们得出结论，在2008年初，（3.3）中前六项中的每个概率都非常小。因此，E（净支付）\'10E（I | dmin<-和Ij<0，1≤ j≤ 6） ×P（dmin<-|Ij<0，1≤ j≤ 6） ×P（Ij<0，1≤ j≤ 6） （3.7）这显然是负面的。因此，我们推断，在2008年初购买这些可反转票据的客户可能注定会获得负净回报。从（3.7）中可以推断出更多。到2007年底，P（Ij<0，1≤ j≤ 6） 和P（dmin<-|Ij<0，1≤ j≤ 6） 两者都非常大。因此，根据（3.7），E（净支付）\'10×E（I | dmin<-和Ij<0，1≤ j≤ 6). （3.8）如果2008年初人们认为金融市场在未来18个月内可能会出现急剧的季度环比下跌，那么这就意味着I’dmin，在这种情况下，它来自（3.8）thatE E（净支付）\'10×E（dmin | dmin<-和Ij<0，1≤ j≤ 6)< 10 × -0.5= -5.因此，在2008年初购买这些反向可转换票据的结果是承担平均至少50%资本损失的重大风险。诚然，上述分析基于2007-2008年对金融市场未来趋势的悲观看法。

为了提供一种基于对未来市场趋势的无偏见方法的分析，我们将因此将市场视为一种“随机漫步”，其中我，i是相互独立且分布相同的随机变量。这些假设意味着，基于中期动量的策略将使交易员在一般市场上没有优势。此外，对于2008年购买反向可转换票据的客户来说，这种假设更具可行性，因为这意味着在预期净支付函数的前六种情况下出现的各种概率可能比不平等背后的真实世界假设（3.4）对客户更有利。然而，在假设我，由于相互独立且分布相同，我们将表明，对票据持有人的预期净付款仍然显著为负。因此，我们将推断，即使在“随机游走”情况下，平均票据持有人也会面临损失，除非在高度乐观的环境下。假设我，I独立，我们看到方程（3.3）变成（净支付）=0.52×P（I≥ 0）+1.04×P（I<0）×P（I≥ 0）+1.56×”Yj=1P（Ij<0）#×P（I≥ 0）+2.08×”Yj=1P（Ij<0）#×P（I≥ 0）+2.61×”Yj=1P（Ij<0）#×P（I≥ 0）+3.13×”Yj=1P（Ij<0）#×P（I≥ 0）+10×E（I | dmin<-和Ij<0，1≤ j≤ 6） ×P（dmin<-|Ij<0，1≤ j≤ 6） ×Yj=1P（Ij<0）。（3.9）表示P（I≥ 0）通过p，因为假设I，i分布相同，因此p≡ P（Ij≥ 0）对于所有j=1，注意，p是调用注释的概率，即。