主权或有可转换债券定价

需要这些数量来校准自由软件系统R.0102030405060708090100CDS展期21/12/0727/05/0801/11/0809/04/0914/09/0920/02/1028/07/1002/01/1110/06/1115/11/1122/04/1227/09/1205/03/1310/08/1315/01/1423/06/1428/11/1406/05/1511/10/1518/03/16（a）中的Bai Perron测试。01002000300400500600CDS发行日期14/12/0720/05/0826/10/0803/04/09/0914/02/1023/07/1029/12/1006/06/1112/11/1118/04/1224/09/1202/03/1308/08/1314/01/1421/06/1427/11/1405/05/1511/10/1518/03/16（b）意大利。050001000015000CDS展期日期14/12/0703/03/0823/05/0811/08/0831/10/0819/01/0910/04/0930/06/0918/09/08/12/0926/02/1018/05/1006/08/1026/10/1015/01/1105/04/1125/06/1113/09/1103/12/1122/02/12（c）希腊。图1：使用Bai-Perron测试确定的用于测试定价模型的国家的制度转换。日期展布05000100005002007-12-14 2008-06-02 2008-11-18 2009-05-07 2009-10-23 2010-04-13 2010-09-29 2011-03-18 2011-09-05 2012-02-22图2：希腊5年期CDS的时间序列。垂直虚线表示影响CDS传播的事件，如表1所示。这些事件带来了新的制度，可以使用Bai-Perron检验进行识别，并用垂直实线表示。仿真模型。我们关注的是利差的制度转换，但正如Castellano和Scaccia（2014）所建议的那样，制度断裂也可以识别波动性。Consiglioet al.（2017）报告了主权CDS市场的综合实证分析、统计特性和制度转换分析，包括与常见制度的制度转换识别。3情景生成过程我们的情景生成器包括一个确定CDS利差预期值区域的核心过程，以及一个叠加在每个区域平均值上的CDS利差动态过程。

在接下来的两小节中，我们对这些子流程进行建模。3.1制度转换过程我们假设制度转换由离散时间齐次马尔可夫链驱动，有限状态空间R={1，2，…，S}，其中pij=P（Xk=j | Xk-1=i）是在时间k从状态i切换的转移概率- 1到时间k时的区域j。转移概率矩阵P={pij}是一个随机矩阵，即pij≥ 0，对于所有i，j∈ R、 andPj公司∈Rpij=1，对于所有i∈ R、 转移矩阵P是模拟区域切换过程的基础。然而，由于政权更迭是罕见的事件，因此无法根据观察到的历史序列进行估计。相反，我们从极限概率π的估计中推断出P*（见下文定义）。Wedenote乘以π（k）i，对于所有i∈ R、 马氏链X在时间k的分布，π（k）i=P（Xk=i）。国家制度差价差价差价差价平均差价差价差价差价差价平均差价德国2007年12月21日-2009年3月13日22.22 23.54 5.4803/2009年16月20日-2011年31.69 8.85 5.4806/21/11-12月9日-2012年9月45.60 13.98 6.2409/13/12-12/14 14 14.64 3.73 3.9512/14-03/18 8.25 1.93 6.31希腊2007年12月14日-2010年4月20日146.09 103.90 4.4504/10-06/11 980意大利2007年12月14日至2010年3月29日79.71 45.48 5.0103/30/10–07/07/11 137.69 28.54 6.5107/08/11–10/02/12 361.94 68.99 4.9410/03/12–12/27/13 203.73 26.66 2.9112/30/13–03/18/16 97.31 15.82 3.67表2：使用Bai-Perron检验确定的每种制度中的CDS利差和利差回报统计数据。给定一个转移矩阵P，可以证明π（k）j=P（Xk=j）=Xi∈RP（Xk=j | Xk-1=i）P（Xk-1=i）=Xi∈Rpijπ（k-1） i。

（1） 如果我们用π（k）表示概率的行向量（π（k），··，π（k）S），那么（1）以矩阵形式表示为π（k）=π（k-1） P.概率的行向量π*是马尔可夫链Xk的平稳分布，k>0，如果π*= π*P、 即π*j=Xi∈Rπ*ipij。注意π*不一定存在，也不是唯一的。如果π*存在且唯一，那么我们可以解释π*ias是链X在状态i中花费的时间的平均比例。给定P，平稳概率分布π*作为以下系统的解（如果存在）获得：π*= π*P（2）π*1 = 1 (3)π*≥ 0。（4）我们假设平稳分布可以通过平均天数来估计CDS扩散过程处于状态i，^π*i=CDS价差在样本总天数范围内的天数。（5） 这是一个长期的合理假设，但也可以使用任何对一个国家处于某一特定制度的可能性的估计。例如，我们可以利用评级机构的转移概率来估计一个国家从目前的状态向更好或更差的体制转移的可能性。每个评级类别都意味着主权违约的概率，因此也意味着CDS制度，因此迁移概率提供了平稳分布的估计值。在第4.1节中，我们对这些估计对S-CoCo价格的影响进行了敏感性分析。利用线性代数中方阵的性质，得到了P上的约束集。特别地，让我们假设马尔可夫矩阵P=（pij）∈ RS×Shas的distincteigenvalue表示为λ=[λλ…λS]。由于P是一个随机矩阵，最大幅值的特征值的绝对值等于1，|λ|=1，并且根据PerronFrobenius定理1=λ>|λi |，对于所有i=2，3，S

用ξ表示行向量，它是与P的特征值λiof相关联的左特征向量，用ν表示列向量，它是相同λi的右特征向量，ξi和νiob通过求解ξiP=λiξi（6）Pνi=λiνi。（7）注意，左和右特征向量是正交的，因此ξi·νj=δij，其中δij是克罗内克δ。还可以观察到λ=1的右特征向量是单位向量，因为P是一个随机矩阵，所有行的总和为1，即Pν=ν。此外，如果P是平稳过程的转移矩阵，则λ的左特征向量是稳定分布ξ=π*, 我们有ξP=ξ。用U=（uij）表示列为P的右特征向量的矩阵，用V=（vij）表示行为P的左特征向量的矩阵。然后P可以写成asP=UDV，其中D=（dij）是对角线矩阵，其条目是转移矩阵xp的特征值，D=λ是。回想一下，特征向量是正交的，因此U V=是。此外，V的FirstColumn的所有条目都等于1，如果P允许稳态，则U的第一行是静态分布。如果P是可对角化的，可以证明P的k次方可以写成asPk=Xiλkiξiνi。因为λ=1，|λi |<1，对于i=2，3，S、 利姆→∞Pk=ξν，其中可以证明收敛速度由λ的大小给出，Pc更快地收敛到稳态π*对于|λ|的较小值。本质上，我们建立P模型来传递极限分布^π*i、 这是一个反问题，一般来说，有很多马尔可夫矩阵P给出了稳态分布^π*i。

为了挑选出一个分布，我们使用最大熵原理，该原理假设给定随机变量的部分信息，我们应该为其选择概率分布，该概率分布与给定信息一致，但在其他方面具有与之相关的最大不确定性（Kapur，1989）。由此得出的估计是关于缺失信息的最小偏差或最大未承诺。最大熵原理源于信息论，起源于Shannon（1948）的工作，并且已经证明我们使用矩阵对角化，当特征值不明显，但相应的特征向量线性独立时，也会得到相同的结论。由于我们可以任意选择具有不同特征值的传递矩阵，因此我们仅对这种情况进行分析。在许多应用中，例如矩阵估计，包括传递概率矩阵的估计（Schneider和Zenios，1990）。有关图像重建、经济学和其他领域的应用，请参见（Censor和Zenios，1997年，第9章）。因此，我们通过求解：Maximizepij来估计满足上述性质的马尔可夫矩阵P，同时最大化香农熵-Xijpijlog pij（8）s.t.Xkuikvkj=δij，对于所有i，j∈ R、 （9）xkuikdkvkj=pij，对于所有i，j∈ R、 （10）Xjpij=1，对于所有i∈ R、 （11）pij≥ 0，对于所有i，j∈ R、 （12）其中ui1=1，对于所有i∈ R、 是定义与λ相关的右特征向量的约束。约束v1j=^π*j、 对于所有j∈ R、 确保与λ相关的左特征向量与经验估计的稳态分布相等。等式。（8） 由香农熵的可加性性质得到，即条件熵H（Xk | Xk-1） 是计算的灰分（Xk | Xk-1） =XiH（Xk | Xk-1=i）=Xi-Xjpijlog pij= -Xijpijlog pij。

（13） 这是一个小规模的二次约束非线性优化问题。变量数等于制度数的平方，即Bai-Perron检验确定的德国和意大利为25，希腊为9（表2）。可以使用shelfpackages进行求解，例如我们的数值结果中使用的CONOPT（Drud，2005）。将P的特征值设置为一些任意值，回顾一下d=λ=1和d>d>…>dSS。任意设置P的特征值的可能性允许控制过程在相同状态下连续花费的预期时间步数。矩阵的迹在旋转下是不变的，这意味着≥SXi=1λi=SXi=1pii。（14） 进程在状态i isE（Di）上花费的预期连续时间步数E（Di）=∞Xk=1kpk-1ii（1- pii）=1- pii。（15） 等式。（14） 表示在允许状态下，特征值的平均值等于P的平均值。因此，如果设置特征值λ，λ。。。，λSclose为1，则piiturns的平均值也接近1，并且，根据方程n。（15） ，平均而言，进程在给定状态上连续花费的预期时间步数很大。相反，如果特征值λ，λ。。。，λ很小，那么概率也很小。图3显示了希腊的四种政权情景，通过模拟30年内每日频率的马尔可夫链生成。我们根据表2中三种制度的平均分布值生成情景，将单调递减的特征值设置为接近1 toYearsAverage CDS Spread0100020003004000500060000 5 10 15 20 25 3001000200040006000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000600060000图3：希腊30年期内每日制度模拟。

实线显示马尔可夫过程切换区域，区域由根据每个区域的历史数据估计的平均价差（虚线）确定。获得每个区域的合理持久性，并使用（5）获得经验稳态分布。通过求解（8）–（12），我们得到了希腊政权的以下转移矩阵：P=0.9982 9.62E-4 7.89E-48.03E-4 0.9985 6.56E-42.62E-4 2.76E-4 0.9995.我们还针对波动性较小的国家（意大利）和稳定的环境（德国）校准了模型，并观察到类似的结果（见图4）。请注意，对于德国，经验观察到的政权的平均水平彼此接近，无需对政权切换进行建模。（当然，用户可能会指定德国蔓延危机的极端情况。）3.2 CDS和利率过程我们现在将CDS利差过程叠加在马尔科夫过程生成的利差均值机制上。从广义上讲，我们围绕区域动力学生成CDS利差的场景。我们需要一个均值回复过程，恢复到（模拟）制度的平均CDS利差。此外，方差应该是有界的，价差应该是负的。O\'Donoghue et al.（2014）的CDS利差收益SRMR模型属于Ornstein-Uhlenbeck过程，具有很好的特性，即对数收益的方差随时间有界，因此提供了一个在长时间间隔内不会偏离其预期值且保持非负的过程。在附录A中，我们推导了该模型参数的条件，使其渐近收敛到区域均值。因此，我们校准了一个随机过程，该过程具有CDS利差和利差收益的理想经验观测特性，并且符合制度转换。

通过这种方法，过程动力学不仅捕获了长期平均利差，还捕获了展布年储蓄率CDS展布1001502002503003500 5 10 15 20 25 30100150200250250250300350100150200250300350year储蓄率CDS展布102030400 5 10 15 20 25 30102003040102003040102003040图4：意大利（顶部）和德国（底部）30年期内每天的制度模拟。实线表示马尔可夫过程切换模式，模式由根据每个模式的历史数据估计的平均价差（虚线）确定。并在每个制度中分散收益波动性。此外，如附录所述，该过程允许校准短期波动，从而校准曲线的平滑度。图5展示了希腊CDS利差的示例场景，如图3（顶部面板）中的制度场景所示。该模拟在30年内每天运行。该过程遵循每个区域的平均CDS扩散水平。第一印象是一个不切实际的利差跳跃与政权更迭同时发生的过程。此外，平静政权的利差动态似乎很活跃，波动性可以忽略不计。这是由于玩具轴心国的规模扩大，以捕捉希腊在长期内的广泛利差。放大模拟序列，我们观察到两种状态之间的平稳过渡，即使在平静状态下，波动性也较高。图6显示了第25年和第26年之间的利差动态，其中有三个连续的政权过渡。从危机到动荡地区的转变是突然的，但息差以合理的梯度变化，如图中插图所示。该模型的一个理想特性是随机过程的有界方差。图5（底部）显示了在1000次模拟中获得的CDS价差的5%和95%分位数。

我们观察到，波动性不随时间增加，只取决于给定的制度，因此，动荡的制度比平静的制度具有更高的波动性，危机制度的波动性甚至更高。危机期间最大的希腊CDS利差约为15000，由我们在95%分位数的模拟生成。如下一个交易日所述，S-CoCo现金流使用欧元AAA级债券收益率（简称E-AAA）进行贴现。我们按照刚才描述的方法模拟了E-AAA短速率动态。为此，我们从E-Aayield曲线的历史序列中提取1个月利率序列，并确定制度子区间和相对论来校准模型。我们注意到，该实施与期限结构不匹配，因此，我们无法匹配给定日期的观察债券价格。解决这一缺点的办法是使用与实际前进曲线相匹配的时间相关过程，并用给定的波动率（隐含或历史波动率）校准模型参数。也就是说，与我们的实现不同，在我们的实现中，过程围绕着模拟的制度进行，我们可以使短期利率均值回归到一个外源性的给定向前曲线。4主权或有可转换债务建模我们现在使用蒙特卡罗模拟开发定价模型。价格是通过马尔可夫链模拟以及每个制度中利差和利率的随机过程得到的预期贴现现金流。我们还展示了如何在一定风险范围内获得状态或有价格，以便于风险管理。4.1 PricingWe用ξ={rt，st}表示短期利率rta和CDS扩散st的耦合随机过程，其中我们假设cov[rt，st]=0。为了简化表示法，我们使用t表示离散时间步长，从索引集t={0，1，2，…，t}。

我们从ξ的概率分布中得出离散数量的样本路径（场景），ξl=rlt、slt, 其中l∈ Ohm = {1，2，…，N}和t∈ T对于每种情况l，随机过程ξ的时间离散近似∈ Ohm, 从方程式中获得。（30）从高斯分布中抽取N个扩散项WT的随机样本。所有样本场景的概率均为1/N，大量场景近似情况下，我们也可以有相关过程Rt和st。在这种情况下，协方差矩阵将通过Cholesky分解分解，相关过程的标准Montecarlo采样将用于模拟点息差和利率，见附录。年份预测500010000150000000 5 10 15 20 25 30长期平均分摊年份预测500010000150000 5 10 15 20 2530Quantile@95% Quantile@5%长期平均值图5：希腊30年期内每日CDS利差的典型模拟路径（上图）以及1000种情景下的5%和95%分位数（下图），详细介绍了25年至26年的利差动态。表2估计了每个制度的平均蔓延。年份spread05000100001500025.0 25.2 25.4 25.6 25.8 26.0长期平均利差图6：希腊从25年到26年政权转换期间的模拟每日CDS利差。潜在的高斯分布。这是一个标准的蒙特卡罗模拟，在我们的数值实现中收敛良好。有关高级方差缩减技术，请参见（Glasserman，2003，第4章）。用“s”表示激活暂停的CDS排列阈值。如果在时间t和场景l下，CDS利率为s，则在接下来的K个期间内，息票支付将暂停。我们通过Tlm={t，t+1，…，t+K}，和M=1，2，…，定义了付款暂停的时间段集。