主权或有可转换债券定价

，M，其中M是在场景l下激活静止机制的次数，具有以下属性：1。对于任何m和n，Tlm∩ Tln=, 防止付款暂停重叠。2、对于任何τ∈ Tlm，τ>t，如果slτ≥ 忽略触发信号，以避免在静止间隔期间发生多次触发。句点集t∈ 方案l的付款暂停为∧l=M[M=1Tlm，（16），我们定义了一个指标函数∧l:T→ {0，1}为∧l（t）=0，如果t∈ ∧l1，如果t/∈ ∧l.（17）停滞准备金包括对到期前K个周期内发生的信贷事件的特殊处理。在这种情况下，息票支付暂停意味着本金支付延期。特别是，通过TlZ表示情景l下设置的终端停顿，并通过Jl定义TlZ的第一个时间步，Jl=最小TlZ，本金支付延迟Tl=T- Jl+1，前提是T- Jl<K。在方案l中，S-CoCo的价格为预期价格∈ Ohm, 息票和本金支付的现值。也就是说，P=NXl∈OhmXt公司∈TBl（0，t）∧l（t）c+Bl（0，t+Tl），（18），其中c是息票，Bl（t，s）是时段t和tBl（t，t）=exp之间的贴现系数(-tXu=trlu）。（19） 停滞准备金可以有几种变体，例如，只要利差超过阈值，就可以使用相关到期延期的付款停滞。此外，有多种替代方法可以处理停滞不前期间错过的息票付款，如恢复票面价值付款直至（延长）到期日（这是我们最初的SCoCo建议），或恢复应计制付款或全部减记错过的付款。定价公式仍然适用，但需要修改（18）中不同现金流量会计的触发集∧的定义。

修改在概念上是直截了当的，但会使符号复杂化，我们在此不提供。使用数值线搜索，我们求解c的定价公式（18），使得P（c）=1。（20） c和AAA级主权债券票面利率之间的差异是投资者购买S-CoCo所收取的溢价。图7显示了我们研究的三个国家20年期S-CoCo的票面利率，阈值为100、200、300、400。自2007年1月至2016年底，CDS流程按照每日历史序列进行校准，但2012年底暂停CDS交易的希腊除外。短期利率动态的参数是根据E-AAA 1个月期债券收益率的每日历史序列推断出来的。通过求解方程n计算每个par比率。（20） 在一组100个制度情景和1000个利率和利差情景中，每个制度总共有100000条路径，长度为20年，每半年一次。图中还显示了普通AAA级债券的票面利率（1.6%）。由于近期CDS利差的平均水平非常高，希腊的溢价高于AAA级收益率。由于超过阈值的概率随着静止时间段的相应增加而增加，因此，当s减少时，Premium增加。德国S-CoCo的价格与AAA级债券持平，因为德国CDS息差突破极低门槛的可能性几乎为零。意大利的价差自然在希腊和德国之间。请注意，票面利率与AAA水平的趋同是由于所有国家都采用了独特的短期利率动态，这是根据AAA级债券历史数据系列进行校准的。

如果对每个国家的短期利率动态进行单独校准，则可以观察到最低票面利率的差异，并因此随着利率的增加而收敛到不同的最低水平。我们说明了价格和票面利率估计对制度概率变化的敏感性。该实验针对的是希腊案例，其中Bai Perron检验通过估计的稳态概率向量^π确定了三个区域*= (0.5612, 0.2888, 0.15). We扰动^π*ibysampling参数为α^π的Dirichlet分布*（Kotz等人，2005），其中α是浓度参数，用于确定Dirichlet分布的概率质量在给定离散概率分布^π周围的集中程度*. DirichletdistributionD（απ）对π的支持∈ [0，1]N是一组N维向量p=（pp…pN），其条目是区间（0,1）中的实数，条目之和为1。等效地，Dirichlet分布域本身是一组概率分布，即触发水平COS票面利率（%）0246810100 200 300 400德国希腊意大利图7：S-CoCo的票面利率与触发阈值。红色虚线表示AAA级债券的平均收益率（1.6%）。N维离散分布的集合。在图8中，我们显示了从d（α^π）中提取的样本*) 其中，浓度参数设置为α=10、20、30。α可以被视为决策者对估计π的信心*稳态离散分布π*, α越高表示^π的浓度越高*确实是对真π的一个很好的估计*.给定抽样概率分布pl，l=1，2。100，我们估计20年S-CoCo的价格阈值为200。

价格分布使用框须图显示，框界定了25%到75%分位数之间的四分位范围，而黑点和红星分别是中值和平均价格。可可豆价格和票面利率的框须图如图9所示。四分位区间对于价格估计而言相当稳定，从高集中值的1.1%到低集中值的2.4%不等。par比率显示出更高的灵敏度，000010102020030303040404040505006060606060707080808080808080909010100π1π2π3α=1000001010102002003004040405050505050506060607070808080808080809090100100407070707070708080808080808080808080808080808080909010010060707070707080808080πα=30图8：从Dirichlet分布（α710π）中提取的样品（红圈）*) 对于不同的浓度参数α。α值越高，表明对^π估计值的可信度越高*（蓝色圆圈），样本更集中在估计值周围。价格集中系数1020300.79 0.80 0.81 0.82 0.83 0.84***椰子票面利率（%）集中系数1020304 5 6 7***图9：阈值为200的20年期希腊S-CoCo的价格（左面板）和票面利率（右面板）的框须图。估计稳态分布的扰动产生相对稳定的价格，但票面利率的可变性更大。由于利率和价格之间的非线性关系，对于低浓度，高浓度值为126bp。4.2状态或有定价和持有期回报对于风险管理，我们需要金融工具在风险范围内的价格（相当于回报）概率分布，以计算风险度量或进行投资组合优化或信用价值调整。此类分布以相关风险因素为条件，并且需要在真实、客观的概率度量下进行。

参见Mulvey和Zenios（1994），了解固定收益证券分配的产生和使用，以及Consiglio和Zenios（2016）在主权债务重组风险管理中的使用。考虑到风险因素的随机动态性，定价函数的期望值的闭合表达式并不总是可用的，尤其是当风险因素超过一个时。因此，我们求助于数值最小二乘蒙特卡罗法（简称LSM），即Longstaff和Schwartz（2001）。该方法用于对美式期权进行定价，并可适当修改，以计算S-CoCo债券的条件预期，该预期取决于短期利率Rt和触发二元函数∧（t）。LSM基于反向归纳法，其中t+1处（贴现）资产的预期值由t处随机变量实现的函数近似：E[Vt+1（Xt+1）| Xt=Xt]≈ ft（xt，βt），xt∈ 税务局。（21）在S-CoCo上下文中，Xt=（rt，∧）是取值Xt的二维向量=rlt，∧l通过蒙特卡罗定价模拟获得。支付函数Vt+1（Xt+1）必须考虑t+1发生的现金流。这是由可能的息票支付，加上t+1时S-CoCo的预期价值所弥补的。对于给定的随机变量Xt+1的实现，我们有vt+1（rlt+1，∧l（t+1））=hPt+1rlt+1，∧l（t+1）+ c∧l（t+1）iBl（t，t+1），（22）式中，Pt+1rlt+1，∧l（t+1）是一个回归函数，近似于下一期的预期S-CoCoprice，Bl（t，t+1）是贴现因子。从VT（x）（见下文关于终端支付函数的讨论）开始，我们向后估计参数βt∈ IRMand错误项t型∈ IR最符合预期值Pt（xt，βt）+t=E[Vt+1（Xt+1）| Xt=Xt]，（23），其中pj（·）作为基函数spt（Xt，βt）=MXk=1βtkφk（Xt）的线性组合获得。

（24）基函数φk的选择和数目取决于所审查问题的特点。大多数作者建议采用试错法，从简单的基本函数开始，然后增加其复杂性（例如，使用带阻尼因子的幂函数、Hermite或Laguerre多项式），以及统计选择程序，以确定函数的最佳数量。接下来（Glasserman，2003，第462页），我们设置φk（rt）=rktandφk（λ（j））=λ（t）。对于短期利率，我们尝试了不同的基函数集rkt公司M-1，其中m=3，4，5。对于二进制变量，我们只考虑k=1，因为∧（t）的任何幂都会传递相同的值。给定rlt、∧l（t）和Vlt+1的样本值，从j=t开始，向后直到t=1，我们通过标准OLS估计{βtk}Mk=0。S-CoCo att=0的价格由PLSM=NXl给出∈OhmnhP（rl，∧l（1））+c∧l（1）iB（0，1）o.（25）如第4.1节所述，如果触发事件发生在到期前的K个期间内，则停滞准备金允许推迟本金支付。因此，在j=t时，S-CoCo的值取决于情景l，由VLT（xlT）给出=B（T，T+Tl），如果T∈ ∧l1+c，如果T/∈ ∧l，（26），其中B（T，T+Tl）是在T+计算B（T，T+Tl），我们再次使用RLT应用LSM唯一的条件变量，fort=T，T+1，T+Tl和终值VT+Tl=1。表3比较了使用不同基函数集获得的结果rkt公司M-1和总和变量∧（j）。表3中的价格是10年期S-CoCo的平均价格，通过改变随机引擎的种子，生成5000条10年期短期利率和CDS利差的样本路径，保持第4.1节的制度，获得该价格。

在同一表格中，我们显示了相对于蒙特卡罗价格的平均绝对百分比误差。（为了进行真正的比较，我们需要通过完全不同的方法获得价格，目前S-CoCo无法获得这种方法。）实验强调，高达二次的基函数可以提供令人满意的近似值。然而，目标不是提供替代定价方法，而是为风险管理确定未来的价格分布。我们采用LSM为希腊、意大利和德国的20年期SCoCo定价，并获得1年、5年、13年和19.5年的价格分布。CDS价差和短期利率动态在第4.1节所述的同一组数据上进行校准。对100种制度情景进行了实验，对每种制度情景进行了1000种CDS扩散情景。图10显示了“s=200”的分布，其中红星表示价格分布的平均值，黑点表示价格分布的中值。价格分布收敛于到期时的预期面值，这种拉到面值的现象缩小了接近到期时价格分布的可变性。分布是倾斜的，使用较短的到期日来减少计算时间，但在一组基函数上运行20年期债券的实验时，会得到类似的结果。基函数PLSMMAPE1，r，∧0.95558736 0.09163%1，r，r，∧0.96610208 0.08913%1，r，r，r，∧0.95644892 0.33191%1，r，r，r，r，∧0.97058076 1.67800%表3：不同基函数集Montecarlo定价的平均LSM价格和平均绝对百分比误差（MAPE）。双峰（在框须图中看不到双峰，但在绘制直方图时很明显）。

这些结果是直观的，我们的论文的贡献是对它们进行量化。这些价格分布可用于计算风险管理不同层面的持有期回报（Mulvey和Zenios，1994）。在Consiglio和Zenios（2015）中，我们使用持有期回报分布来说明S-CoCo如何提高欧元区国家的风险收益。价格支付年份151319.50.7 0.8 0.9 1.0****（a）希腊价格支付年份151319.50.7 0.8 0.9 1.0****（b）意大利。价格支付年份151319.50.8 0.9 1.0 1.1****（c）德国图10：20年期S-CoCo的价格分布，在1年、5年、13年和19.5年的阈值为200。4.3体制转换对国家或有价格的影响为了进一步了解S-CoCo的表现，我们对体制转换的影响进行了数值测试。所有实验均使用意大利，阈值为200和500。在前一种情况下，停滞被激活，其结果在质量上也与人们对弗里斯的预期相似。在后一种情况下，停滞很少被触发，其结果与希腊截然不同。再次报告了20年S-CoCo价格分布在1年、5年、13年和19.5年的结果，但在不同的情景下，试验床有无区域切换。特别是：R-OFF无制度切换，用于校准CDS利差模型的参数设置为其历史平均值，并模拟5000个CDS利差和利率情景。R-1只有一种情况，即在5000张CDS的确定制度和利率方案之间切换制度。R-100 100模拟在已识别的制度和1000种情况下的制度转换，即每个制度情景的CDS利差和利率。图11-13显示了三种方案试验台的价格分布。可以进行以下观察：1。

随着政权情景模拟的切换，CDS利差校准到历史平均值，阈值为200的S-CoCo呈现（几乎）二元分布，而阈值为500的S-CoCo价格就像一张直债券。在历史平均法下，意大利CDS利差没有表现出足够的可变性来触发S-CoCo。付款停滞成为极为罕见的事件，但影响巨大。2、当引入哪怕是一种制度情景时，捕捉到最近意大利可能从平静的制度走向动荡甚至危机的观察结果，那么200门槛处的价格分布表现出更多的可变性。阈值500也有非平凡的影响，尽管明显低于200阈值。最后，当适当模拟制度转换和CDS利差时，我们得到了风险范围内的多模态分布。这些模式是状态切换和静止触发器组合的结果。如果正确模拟，分布的多模态可能会令人不安。当建模具有较大影响的事件时，这是不可避免的，例如体制转换，并且需要校准的历史数据有限。如果我们可以对我们的建模方法提出批评的话，那就是一个源自专家意见的制度——比如“在英国脱欧公投后，意大利的CDS将达到欧元区危机顶峰时的水平，并一直保持到英国脱欧问题得到解决”——可能比统计模型更合适。

如果有专家意见制度，定价模型适用于R-OFF。总价格百分比0204060800.86 0.87 0.88 0.890.895 0.900 0.905 0.910 0.9150.935 0.940 0.945 0.950 0.9550.970 0.975 0.980 0.985 0.990 0.9950204608019.5（a）阈值200总价格百分比024680.9996 0.9998 1.0000 1.0002 1.00040.9996 0.9998 1.0000 1.0002 1.00040.9996 0.9998 1.0000 1.0000 0002 1.00040.9996 0.9998 1.0000 1.0002 1.00040246819.5（b）阈值500图11：价格分布20年意大利S-CoCo，在不同风险范围内，无需再注册切换（试验台R-OFF）。总价格百分比0102030400.88 0.90 0.92 0.94 0.96 0.980.92 0.94 0.960.96 0.98 1.020.97 0.98 0.99 1.0001020304019.5（a）阈值200总价格百分比024680.998 1.000 1.002 1.004 1.006 1.008 1.0100.984 0.986 0.988 0.990 0.992 0.9941.020 1.025 1.0300.998 1.002 1.00401 246819.5（b）阈值500图12：20年期意大利S-CoCo在不同风险水平下的价格分布只有一个注册表切换场景（试验台R-1）。总价格百分比0510150.8 0.9 1.00.7 0.8 0.9 1.00.85 0.90 0.95 1.00 1.050.94 0.96 0.98 1.0005101519.5（a）阈值200总价格百分比05101520250.8 0.9 1.0 1.10.8 0.9 1.0 1.10.85 0.90 0.95 1.00 1.050.985 0.990 0 0 0 0.995 1.000 1.00505105202519.5（b）阈值500图13：20年意大利价格分布S-CoCo在不同风险范围内的多重体制切换场景（试验台R-100）。4.4双触发pricingMcDonald（2013）认为，银行CoCo不应因特殊问题而转换，但只有当实体的困难带来了整个市场的问题时才应转换。他用一个简单的定价示例说明了双触发结构。对于企业债务而言，双重触发因素的论点似乎已被广泛接受，在这种情况下，当企业在新兴市场面临困难时，应该允许其破产，但当企业在整个市场的危机中面临问题时，则不应允许其破产。