SSVI切片的鲁棒校正和无套利插值

这种过滤的基本原理是价格不能小于1个刻度，舍入效应将产生重要的扭曲，即使是2个刻度的价格。隐含波动率使用Jaeckel有理算法计算【5】。在上图中，我们以绿色绘制校准价格与原始中间价之间的绝对误差，以蓝色绘制买卖价差减半，两者均表示为远期基点，也就是说，单位为Psi Rho ATM vol（pct）PhiTime到期时间0.030137 0.0001 0.012-0.224 6.4 96.330.106849 0.0006 0.032-0.453 7.8 50.220.183562 0.0014 0.049-0.495 8.6 35.820.279452 0.0025 0.066-0.578 9.4 26.660.432877 0.0049 0.089-0.610 10.6 18.380.701370 0.0100 0 0.116-0.672 12.0 11.550.950685 0.0158 0.131-0.704 12.9 8.281.027397 0.0174 0.134-0.704 13.0 7.731.180822 0.0215 0.145-0.72513.5 6.751.449315 0.0292 0.165-0.725 14.2 5.681.947945 0.0444 0.191-0.746 15.1 4.292.945205 0.0750 0.243-0.724 16.0 3.24表1：校准参数值-4ft，其中fti为到期日为t的远期（使用恒量第十单元可获得相同数量级-4S）。因此，当绿线低于蓝线时，可以识别出一个良好的曲线。请注意，我们认为，从隐含波动率和价格两个方面来看，非常重要的是：实际上，在短期范围内，或在小范围和大范围内，表面上的极值点，价格主要由期权的内在价值决定，因此隐含波动率中的较大误差对价格不明显依赖隐含波动率的范围来说没有意义。第二系列图允许评估价格误差，尤其是在隐含的体积误差较大的情况下。4.2注释除了左端较短的三分之四期限外，暗示的交易量在买卖价差内。

正如价格误差图所证实的那样，这些视觉体积差异转化为非常小的价格误差，低于远期的4个BIP（即4×10-4×正向值）。我们还应该考虑其他交易量，在这些到期日的履约范围内，这些交易量几乎为零。否则，所有到期日的固定资产价格都很高。除了非常短的到期日外，我们产生的误差是一致的，或者明显小于买卖价差。校准相关性的形状是典型的，显示了与经典SSVI相比，eSSVI在同时校准中/长条目和短条目方面的优势。最后，校准参数随着成熟时间的推移而平稳发展。5无套利插值本节中我们的起点是一组SSVI切片参数（θi，ψi，ρi）1≤我≤n、 附于到期日0<T<…<t并且：o每块都没有黄油套利；o任何两个连续切片之间均无日历利差套利。请注意，最后一个属性相当于这样一个事实，即附加到longermaturity的总方差微笑严格位于附加到较低微笑的微笑之上。从这一几何角度来看，该属性是可传递的，因此全局所有切片都没有日历排列。在实践中，需要从这些切片中获得连续的无套利波动率曲面。我们在下面展示了eSSVI参数的自然插值和外推提供了一个连续的SSVI曲面，它实际上是无套利的。这是eSSVI参数化的一个非常好的特性。请注意，它绝不是内置或自动的。5.1插值方案我们描述了两个连续切片之间的插值方案，我们用（θi，ψi，ρi）和（θi+1，ψi+1，ρi+1）表示。无套利条件为：1。θi+1>θi2。ψi+1≥ ψi3。

ψj≤ 最小值1+|ρj |，2qθj1+|ρj|对于j=i，i+14。ρi+1ψi+1-ρiψiψi+1-ψi≤ 1对于λ∈ [0，1]我们定义了以下插值方案：oθλ=（1- λ） θi+λθi+1；oψλ= (1 - λ） ψi+λψi+1；oρλψλ= (1 - λ） ρiψi+λρi+1ψi+1。每个这样的切片将连接到一个成熟度t，使得λ=t-TiTi+1-Ti。5.1.1日历价差套利由于θλ和ψλ在有序量之间线性插值，因此θλ<θu和ψλ<ψu为0≤ λ < u ≤ 1、与ρλψλ相同-ρuψu= (λ-u）（ρi+1ψi+1-ρiψi）和ψλ-ψu= (λ-u）（ψi+1-ψi）条件4也满足。因此，在同一桶（i；i+1）内的2个插值切片之间没有日历利差套利。根据上述传递性，我们推断，在不同桶的两个插值切片之间不存在套利。5.1.2黄油期货套利为了减少注释，我们将为第一个到期日编写证明。我们首先检查ψλ<1+|ρλ|是否成立。由于λ=0的条件得到验证，1因此，f（λ）=ψλ（1+|ρλ|）=ψλ+|ρλψλ|的导数具有常数符号。因为f（λ）=ψ- ψ+(ρψ- ρψ）符号（ρλ）和ψλ，ρλ满足条件2。和4。，我们得出结论，f>0。此外，当ρ和ρ的符号相同时，函数f是线性的，而如果ρ的符号改变，函数f是分段线性的。现在我们检查条件ψλ<2qθλ1+|ρλ|成立。这相当于要求ψλ（ψλ+|ρλψλ|）<4θλ，我们将首先考虑ρ和ρ具有相同符号的情况：在这种情况下，我们可以将前面的方程改写为（ψ+λ（ψ- ψ） ）（a+bλ）<4（θ+λ（θ- θ） ，式中，i=ψ（1+|ρ|），b=ψ- ψ+ |ρ|ψ- |ρ|ψ> 0 .观察LHS是一个凸函数，因为b>0，所以它位于[0，1]上的弦之下，而这又位于RHS之下，因为λ=0，1的要求已经满足。现在剩下ρ和ρ有不同符号的情况：在这种情况下，有一个唯一的λ*使得ρλ*= 0、条件3。

减小，对于λ*, 至ψλ*< 最小值（4，2pθλ*) .由于ψi<4，ψi<2√θii=0，1，并且由于平方根是凹函数，上述条件满足λ*.因为f在每个区间[0，λ]上是线性的*] 和[λ*, 1] 我们可以在两个区间[0，λ]上应用具有常数符号的ρ的推理*] 和[λ*, 1] 得出结论，在ρ和ρ具有不同符号的情况下，也验证了无套利条件。5.2短期外推如何外推到时间段]0，T[？首先观察，要求期权价格C（T，k）具有C（T，0）的最小连续性是很自然的→ （S）- S） +=0，作为t→ 0+; 这不是无套利理论所要求的，但我们寻找期权价格的连续时间公式。对于小到期日t，ATM Black&Scholes公式可近似为C（t，0）≈ S1.- 2Φ√θt, 其中Φ表示高斯累积密度函数，因此该连续性声明等效于θt的性质→ 在我们的eSSVI参数化中，无套利条件3。意味着ψtgoes也为零。因此，最简单的短期外推方案如下：oθt=λθ；oψt=λψ；oρt=ρ。此处λ=tT。然后是条件1。，2、和4。易于检查。条件3。依次读取：λψ<min1+|ρ|，2sλθ1+|ρ|！现在λψ<ψ<1+|ρ|和λψ<2qλθ1+|ρ|遵循以下事实：√λψ<ψ<2qθ1+|ρ|表示λ<1。最后，第一个到期日区间内的两个切片之间以及第一个到期日区间内的一个切片和另一个到期日区间后的切片之间不存在日历利差套利，具体如上所示。5.3长期外推要在TN之外进行外推，请在[TN，∞[这样，u（TN）=0，并设置：oθt=θN+u（t）；oψt=ψN；oρt=ρN。然后容易检查条件1到4。同样，在TN以外的两个切片之间没有日历价差套利。

使用与之前相同的传递性参数，一个这样的切片和一个低于TN.6的切片之间不存在日历价差套利。结论我们设计了一种新的eSSVI模型校准算法，该算法依赖于SSVI切片的逐切片前向校准，以精确通过最接近每个属性前向的数据点，明确计算无黄油和无日历价差约束。切片参数的朴素分段插值/外推也被证明是没有套利的。总而言之，我们有一个简单、快速、稳健的波动率曲面校准算法，除了可能在要求更高（做市紧缩）的情况下，该算法非常适用。此外，存储和重复使用校准参数（θi，ρi，ψi）1<i<与市场参数（Ti，Fi，DFi）1<i<N（其中Fdenoted为远期，DF为贴现因子）一起，可以简化整个波动率曲面的序列化，这对于构建波动率曲面的历史非常有用，例如。

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