SSVI切片的鲁棒校正和无套利插值

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英文标题：
《Robust calibration and arbitrage-free interpolation of SSVI slices》
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作者：
Pierre Cohort, Jacopo Corbetta, Claude Martini and Ismail Laachir
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We describe a robust calibration algorithm of a set of SSVI slices (i.e. a set of 3 SSVI parameters $\\theta, \\rho, \\varphi$ attached to each option maturity available on the market), which grants that these slices are free of Butterfly and Calendar-Spread arbitrage. Given such a set of consistent SSVI parameters, we show that the most natural interpolation/extrapolation of the parameters provides a full continuous volatility surface free of arbitrage. The numerical implementation is straightforward, robust and quick, yielding an effective, parsimonious solution to the smile problem, which has the potential to become a benchmark one.
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中文摘要：
我们描述了一组SSVI切片的稳健校准算法（即一组附加于市场上每个可用期权到期日的3个SSVI参数$\\θ、\\rho、\\varphi$），这使得这些切片不存在蝴蝶和日历价差套利。考虑到这样一组一致的SSVI参数，我们表明，参数最自然的内插/外推提供了一个完全连续的无套利波动率曲面。数值实现简单、健壮、快速，为微笑问题提供了一个有效、节约的解决方案，有可能成为一个基准。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Robust_calibration_and_arbitrage-free_interpolation_of_SSVI_slices.pdf (586.75 KB)

2022-6-9 22:23:49 上传

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关键词：无套利 Quantitative Mathematical parsimonious Applications

SSVI切片的鲁棒校准和无套利插值*1，Pierre队列+1，Ismail Laachir1，和Claude Martini§1Zeliade Systems，56 rue Jean-Jacques Rousseau，Paris，FranceMarch 5，2019我们描述了一组SSVI成熟度切片的稳健校准算法（即一组3个SSVI参数θt，ρt，νt，与市场上可用的每个选项成熟度t相连），这使得这些切片不含黄油和日历价差套利。考虑到这样一组一致的SSVI参数，我们表明，参数的最自然的插值/外推提供了一个完整的连续波动率表面，无需套利。数值实现简单、健壮、快速，为微笑问题提供了一个有效且节约的解决方案，有可能成为一个基准问题。我们感谢Antoine Jacquier和Stefano De Marco的有益讨论和发言。所有的幸存者都是我们的。1简介：xSSVI familyGatheral于2004年启动了基于随机波动率的波动率微笑参数模型，即给定到期日总方差的5参数公式。Gathereal的灵感来源于几何学，与Roger Lee的矩公式有关，也与他对Heston等随机波动性模型产生的微笑的体验有关。SVI在实践中表现得非常好，甚至很难找到SVI失败的情况（Fabien Le Floch在他的博客上提供了这样一个例子[2]）。尽管简单，SVI的校准并不简单，Zeliade有一份白皮书，其中有一个重新参数化的技巧，robusti在很大程度上简化了过程（参见。

[10]; Stefano De Marco\'sPhD论文[11]中提供了更详细的计算。SVI遗漏了两个重要特征：它没有对整个波动率表面进行建模，并且SVI参数没有已知条件，因此没有套利（即使是可处理的有效条件）。然后是SSVI：2010年前后，许多团队致力于为整个波动率表面制作一个类似SVI的模型，唯一成功的是Jim Gatherel和Antoine Jacquier对，他们设计了表面SVI模型，该模型具有SVI遗漏的两个特征（参见[7]）。SSVI（这可能看起来是自然的）由ATM（正向）总方差曲线θt参数化，因此它将自动完美地拟合ATMF点、常数相关参数ρ（应起杠杆参数的作用）和曲率曲线Д：w（k，θt）=θt1+ρД（θt）k+p（Д（θt）k+ρ）+（1- ρ)(1)*jacorbetta@zeliade.com，通讯作者+pcohort@zeliade.comilaachir@zeliade.com§cmartini@zeliade.comEachsmile只有3个参数，Gatheral和Jacquier已经获得了明确且易于处理的条件，以排除黄油套利：θtД（θt）≤1+|ρ|（2）θtД（θt）≤1+|ρ|（3）此外，没有提供必要且有效的日历排列条件。SSVI在实践中运行良好，其标定比SVI更容易。然而，在到期日期间保持相关性不变的事实降低了投资质量。Sebas Hendriks（代尔夫特大学Kees Osterlee的学生，在Zeliade的硕士实习期间）和Claude Martini解决了这个问题（参见【8】）：他们设法获得了简单的必要和有效的条件，以确保连接到不同温度的2个SSVI切片的一致性；此类条件不适用于SVI微笑。

SSVI切片是指给定成熟度下的SSVI参数化，其自身的相关参数可能取决于成熟度。对于连续时间内不存在日历利差套利的条件，相应的扩展SSVI（eSSVI）模型将SSVI扩展为与到期日相关的ρ（θt）。还得到了相关关系的显式表示公式，可以方便地对相关曲线进行具体的低维参数化。给出了一些幂律型的例子。尚未研究eSSVI的有效校准，这是本说明的目的。我们分两步进行，每一步都有自己的兴趣：1。我们根据市场上可用的到期日对SSVI（相当于eSSVI）切片进行校准，以确保不存在黄油期货和日历价差套利，使用非常稳健的校准算法，该算法不使用一维布伦塔算法以外的任何黑盒优化器。2、我们证明了切片参数最简单的插值/外推方案是无套利的。这是eSSVI的一个意外和非凡的特性。因此，我们获得了一个校准到市场的连续时间无套利eSSVI模型。在结论中，我们讨论了该方案的优点，我们认为该方案是（迄今为止）解决微笑问题的最快速、最廉价的方法（虽然不是完美的，但在许多情况下，但在要求最高的情况下，其准确性非常高）。请注意，eSSVI方法是无模型的，因为它不是从指定基础的动态开始，然后计算无套利价格，最终计算相应的隐含波动率面：它直接处理隐含波动率面。

从这个意义上讲，Lee（参考文献[6]）中的结果不能直接应用；这些类型的结果最初启发了SVI模型和SSVI曲面参数化（它们的名字来自哪里）。2星形校准算法2.1锚定无黄油自由裁量的SSVI切片我们算法中的关键成分是SSVI切片的重新参数化，它限制切片通过数据点（k*, θ*) 最接近ATM（远期），其中k表示对数远期货币，θ表示总隐含方差。从那里，单词锚定在章节标题中。这种重新参数化假设此范围内的数据非常可靠，这至少对于不太长期的索引选项来说是正确的。所以我们改变了参数：θ将用参数ρ，Д和这个新的数据驱动（k）来表示*, θ*) 一对一阶时，求解θ*= w（k*, θ） 仅等于θ=θ*- ρθИk*.

我们还将一个新参数ψ替换为乘积θД，这样最终我们的锚定微笑（锚定到（k*, θ*)) 由一对（ρ，ψ）参数化，θ由公式θ=θ给出*- ρψk*.这种锚定技巧可以被视为Gathereal和Jacquier最初读取市场上ATM正向波动率的想法的一个补充（因此，将其作为一个参数）：它避免了市场数据的预处理步骤，该步骤通过插值从可用的括号中计算θ，这会带来一些噪音，或者将θ作为一个额外的参数进行校准，这将添加维度。请注意，我们可以尝试锚定多个点，但这可能会对参数施加太多约束，尤其是对于大型到期日。新参数ψ的允许范围是多少？将短期无黄油限制（3）翻译为：ψ≤ 2sθ1+|ρ|或ψ≤1+|ρ|(θ*- ρψk*) 它等价于显式界ψ≤ ψ+（ρ，k*, θ*)式中ψ+（ρ，k*, θ*) =-2ρk*（1+|ρ|）+q4ρ（k*)(1+|ρ|)+4θ*(1+|ρ|).换言之，所有无黄油套利（在满足Gatheral Jacquier界限的意义上）eSSVI都会切入点（k*, θ*) （锚定在（k*, θ*)) 由SSVI公式参数化，其中θ替换为其表达式（k*, θ*), 参数ρanψ为ρ∈] -1，1[和0<ψ<min（ψ+（ρ，k*, θ*),1+|ρ|).还要注意θ应该是非负的，因此约束ψ<θ*ρk*应在激活时强制执行。2.2对于亨德里克斯·马提尼（Hendriks Martini）[8]的结果，我们不允许跨slicesThanks进行日历利差套利，我们有必要且充分的条件。设（θi，ρi，Дi）1≤我≤对应于到期时间增加0<T<。。

<tn N>1。那么θi和ψi应该是非递减的，条件是：ρi+1ψi+1- ρiψiψi+1- ψi≤ 1应保持。2.3向前校准让我们在校准切片的设置中重新制定这些条件：我们从校准（θ，ρ，Д）开始，因此只考虑该初始切片没有奶油套利。然后按照以下方式构建切片，其中，我们用θ、ψ、ρψ表示与先前（已校准）切片相关的相应数量，并用（θ、ρ、ψ）表示当前切片的SSVI参数。条件θ>θ、ψ>ψ和最后一个条件允许两个切片之间没有日历排列-(ψ - ψ) ≤ ρψ - ρψ ≤ (ψ - ψ） ，等于ψ≥ ψ-（ρ） 式中ψ-（ρ） ：=最大值ψ - ρψ1 - ρ,ψ + ρψ1 + ρ因此，我们在给定ρ和之前的切片参数的情况下，再次得到ψ的界型条件。只需研究初始条件θ>θ：通过替换θ=θ*- ρθИk*, 根据ρk的符号，它也等于一个有界类型约束ψ>^ψ或ψ<^ψ*, 其中^ψ：=θ*- θρk*注意，在ρ=0的特殊情况下，可以得到约束θ*> θ、 直接检查当前切片的市场数据；这确实是必要的，因为在这种情况下，微笑是对称的，k=0的最小值，所以θ*> θ、 从日历排列条件来看，它必须大于θ。3实现3.1算法将所有约束放在一起，对于给定的ρ，我们得到一组ψ（正）可能为空的双边有界类型约束，这使得与前一个切片同时没有奶油期货套利和日历价差套利。

给定任何一个目标函数（一个好的选择是eSSVI价格和市场价格之间的价格差的形式，从财务角度来看，这具有直接的意义，因为它与货币单位的损失是一致的），我们为每一个切片面对一个ψ，ρ的二维函数。解决最小化问题的一个非常有效的方法是按以下步骤进行：1。间隔内的样本ρ]- 1.1.[2.对于每个采样的ρ，使用Brent算法找到满足约束条件的点ψ，在该点处获得目标函数的最小值。3.在所有ρ上选取最小值。4.以之前找到的最优ρ为中心，在较小的间隔上重复该过程。这非常简单，但非常稳健、快速和有效。此外，可以根据不同的ρ-wiseon分割最小值核心。注意，这里可以考虑使用一个二维极小值，但它并不能很好地向前推进：实际上，域不是一个矩形域；此外，我们的经验是，考虑到价格对相关参数的平稳依赖性，相关维度的抽样可以保持粗糙。此外，并行一维方法有助于找到全局最小值。全局算法包括校准第一个切片，然后校准后续切片，并使用附加到前一个切片的校准参数产生的约束。3.2注释3.2.1初始切片的选择从短期切片开始是很自然的。通常，短期到期时会有很多曲率（参见Jim Gatherel参考书[9]），接近ATM的期权价格大致与ATM波动率成比例，因此将有足够的有意义的数据来校准初始对ρ，ψ。

但是，对于期限很短的债券，市场可能只会传递θ的信息（或者在这种情况下，相当于θ？）而不是ρ和Д，因为ATM价格没有什么意义，因此无法应用[6]中的分析。从长期角度出发更大胆，因为数据总体上不太可靠，而且由于隐含波动率对大型到期债券的影响，曲率可能会小得多（有关该主题的理论研究，请参见[4]）。根据基础（流动性方面）和数据集（到期可用时间方面），可能会考虑不同的策略，包括中间策略，其中初始切片是中期切片，算法是双向的。在这种情况下，应针对向后部分调整算法，计算上限约束，而不是下限约束。注意，另一个想法是根据小走向和大走向区域中微笑斜率的比率来校准ρ（参见[10]或[7]）。然而，这种方法在实践中并不容易实现，因为在给定的成熟度下，市场上几乎没有罢工。3.2.2数据一致性也可能发生给定切片的可行数据集为空的情况（尽管在我们的测试中从未发生过这种情况），原因可能是之前成熟度的校准微笑过于极端，也可能是当前成熟度的可疑数据。特别是如果（k？，θ？）数据点不可靠，不应运行此算法。3.2.3鲁棒性这是该算法最吸引人的特点：除了相关性ρ的采样点数量外，没有起点或数值参数可设置和调整，该算法非常鲁棒，在这方面可以安全投入生产。

根据tous，ρ的采样分数为20分就足够了，可以在投标要求范围内进行校准。3.2.4校准参数的稳定性在每个层面上，自由参数对应于ATM正向斜率和曲率。锚定技巧后只剩下2个自由度，这一事实带来了比传统三维标准更大的稳定性。最后，无日历排列约束确保了跨片的内置一致性，这也为校准值带来了很大的稳定性。3.2.5速度如果没有任何并行化，在IntelE5-2673 v3处理器上实现12个成熟度和平均98个选项的渗透性（每个成熟度的选项数在68到184之间变化）需要1.2秒。在较新的处理器上，如Intel Xeon E7-8890 v3，通过按函数ρ并行计算，执行时间应减少到0.1秒或更少。C]实现还可以将计算时间减少5倍（相当保守的估计），最终执行时间为0.01秒或更少。4结果我们对Zeliade客户的几个非公开数据集、股票指数和股票期权进行了大量测试。该算法系统性能良好，典型的平均期权价格误差低于基础价值的4bips。我们在这里显示了在一天结束时SPX期权报价中获得的一些结果（从CBOE获取的数据，https://datashop.cboe.com/option-quotes)2018年1月8日。4.1数据处理我们利用中间价的看跌期权平价，通过稳健线性回归推断出每个可用到期日的远期和贴现系数。然后，我们选择OTM选项并过滤掉低于2个刻度的价格（SPX选项的刻度为0.05）。