两个合作保险公司的破产概率

如果X是谱正L'evy过程，T是指数随机变量，平均值1/λ>0，与X无关，则对于任何γ>←-Д（λ）IEe-γsupt<T+V（X（T））-c（t））=IEe-γsupt<T（X（T）-ct）（8）+γλ~n（γ）- λ\"1 - IEe公司-γsupt<V（X（t）-ct）γ-1.- IEe公司-←-Д（λ）supt<V（X（t）-ct）←-ν（λ）#其中V是独立于X和T的正随机变量。证据

观察γ>0IEe-γsupt<T+V（X（T））-c（t））=1- γZ∞e-γuIP支持<T+VX（T）- c（t）>uduandIP公司supt<T+V（X（T））- c（t））>u= IPsupt<T（X（T）- ct）>u+ IPsupt<T（X（T））- ct）≤ u、 supt<V（X（t+t）- X（T）- ct）>u- X（T）+cT.因此我们有了thatZ∞e-γuIP支持<T+VX（T）- c（t）>udu=I+I，（9），其中I：=Z∞e-γuIPsupt<TX（t）- ct>udu=1- IEe公司-γsupt<T（X（T）-ct）γandI：=Z∞e-γu·IPsupt<T（X（T））- ct）≤ u、 supt<V（X（t+t）- X（T）- ct）>u- X（T）+cT杜。因为T是指数分布的，与X无关，并且Vwe havi=λZ∞e-λsdsZ∞e-γu·IPsupt<s（X（t）- ct）≤ u、 supt<V（X（t+s）- X（s）- ct）>u- X（s）+cs杜。此外，通过X（t+s）的独立性-X（s）-ct，t≥ 0和X（s）-C和IPsupt<s（X（t）- ct）≤ u、 u型- X（s）+cs≤ z= 0，z<0我们有i=λz∞e-λsdsZ∞e-γuduZ∞IPsupt<V（X（t）- ct）>z·IPsupt<s（X（t）- ct）≤ u、 u型- X（s）+cs∈ dz公司= λZ∞e-γuduZ∞e-λsdsZ∞IPsupt<V（X（t）- ct）>z·IP输入<s（u- X（t）+ct）>0，u- X（s）+cs∈ dz公司.由于Suprun（参见Bertoin引理1），我们得到了thatZ∞e-λsIP输入<s（u- X（t）+ct）>0，u- X（s）+cs∈ dz公司ds=he-←-Д（λ）zW（λ）（u）- 1I（u≥ z） W（λ）（u- z） idz，其中1I（·）是指示函数，W（λ）：[0，∞) → [0, ∞) 是一个连续递增函数，使得z∞e-γxW（λ）（x）dx=Д（γ）- λ, γ >←-φ(λ) .因此，对于γ>←-Д（λ）I=λZ∞Z∞e-γuIPsupt<V（X（t）- ct）>z·他-←-Д（λ）zW（λ）（u）- I（u≥ z） W（λ）（u- z） idzdu=λz∞e-←-^1（λ）拉链supt<V（X（t）- ct）>zdzZ公司∞e-γuW（λ）（u）du-λZ∞IPsupt<V（X（t）- ct）>zdzZ公司∞I（u≥ z） e类-γuW（λ）（u- z） du=λД（γ）- λZ∞e-←-^1（λ）拉链supt<V（X（t）- ct）>zdz公司-Z∞e-γ拉链supt<V（X（t）- ct）>zdz公司=λφ(γ) - λ\"1 - IEe公司-←-Д（λ）supt<V（X（t）-ct）←-φ(λ)-1.- IEe公司-γsupt<V（X（t）-ct）γ#。推论3。在定理6的假设下，如果V=∞, thenIEe公司-γsupt<∞（X（t）-c（t））=γλД′（0）[Д（γ）- φ(←-φ(λ))]φ(γ)(φ(γ) - λ)φ(←-φ(λ)).

（10） 如果V是指数分布的随机变量，平均值1/θ>0，与X和T无关，则-γsupt<T+V（X（T））-c（t））=γλθ←-φ(θ)-←-φ(λ)θ-φ(←-φ(λ))-←-φ(λ)[←-φ(θ)-γ]γ[θ-φ(γ)]←-φ(λ)←-φ(θ)[φ(γ) - λ]. （11） 证明。案例V=∞. 这是众所周知的-γsupt<T（X（T）-ct）=λλ- φ(γ)1.-γ←-φ(λ), （12） 式中γ≥ 0（参见例如Bertoin[3]式（3）第192页或第。4.1在Debicki和Mandjes【5】）中。此外，到。3.2在Debicki和Mandjes[5]（或在前一个恒等式中用λ表示0）中，它遵循以下公式：-γsupt<∞（X（t）- ct）=γφ′(0)φ(γ).因此，通过（8）f rγ>0IEe-γsupt<∞（X（t）-c（t））=λλ- φ(γ)1.-γ←-φ(λ)+γλφ(γ) - λ1.-γφ′(0)φ(γ)γ-1.-←-φ(λ)φ′(0)φ(←-φ(λ))←-φ(λ)=γλφ′(0)[φ(γ) - φ(←-φ(λ))]φ(γ)(φ(γ) - λ)φ(←-φ(λ)).案例V呈指数分布。使用（12），对于γ≥ 0我们有那个经验-γsupt<V（X（t）- ct）=θθ - φ(γ)1.-γ←-φ(θ).回顾（12），对于γ>0，如下所示-γsupt<T+VX（T）-c（t）=λλ- φ(γ)1.-γ←-φ(λ)+γλφ(γ) - λ1.-θθ-^1（γ）h1-γ←-Д（θ）iγ-1.-θθ-φ(←-Д（λ））h1-←-φ(λ)←-Д（θ）i←-φ(λ)= γλθ←-φ(θ)-←-φ(λ)θ-φ(←-φ(λ))-←-φ(λ)[←-φ(θ)-γ]γ[θ-φ(γ)]←-φ(λ)←-φ(θ)[φ(γ) - λ].推论4。设W为标准布朗运动。然后Д（γ）=γ+cγ，Д（γ）=γ+cγ，←-Д（λ）=qc+2λ- c←-Д（λ）=qc+2λ- c、 因此，对于γ>pc+2λ- cIEe公司-γsupt<∞（W（t）-c（t））=γλc（γ+cγ- c- λ - （c）- c） pc+2λ+cc）（γ+cγ- λ） （γ+cγ）（c+λ+（c- c） pc+2λ- cc）安迪-γsupt<T+V（W（T））-c（t））=γλθ√c+2θ-√c+2λ+c-cθ-c-λ-（c）-c）√c+2λ+cc-(√c+2λ-c）(√c+2θ-c-γ)γ(θ-γ-cγ）（pc+2λ- c） （pc+2θ- c） （γ+cγ- λ).致谢作者衷心感谢KrzysztofDebicki教授和Peng Liu教授的宝贵评论和评论，尤其是指出了随机时间间隔的问题。参考文献[1]Avram，F.、Palmowski，Z.和Pistorius，M.（2008）正象限上的二维破产问题。保险：数学与经济42，pp。

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