两个合作保险公司的破产概率

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英文标题：
《Ruin probabilities for two collaborating insurance companies》
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作者：
Zbigniew Michna
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this note we find a formula for the supremum distribution of spectrally positive or negative L\\\'evy processes with a broken linear drift. This gives formulas for ruin probabilities in the case when two insurance companies (or two branches of the same company) divide between them both claims and premia in some specified proportions. As an example we consider gamma L\\\'evy process, $\\alpha$-stable L\\\'evy process and Brownian motion. Moreover we obtain identities for Laplace transform of the distribution for the supremum of L\\\'evy processes with randomly broken drift and on random intervals.
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中文摘要：
在这篇文章中，我们找到了一个关于带断裂线性漂移的谱正或负Levy过程的上确界分布的公式。这就给出了当两家保险公司（或同一家公司的两家分支机构）将索赔和保费按一定比例分摊时的破产概率公式。作为一个例子，我们考虑了伽玛-列维过程、$\\α-稳定的列维过程和布朗运动。此外，我们还获得了具有随机断裂漂移和随机区间的L挈evy过程的上确界分布的拉普拉斯变换的恒等式。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：保险公司 破产概率 distribution Mathematical Applications

两个合作保险公司的破产概率zbigniew-Michna*数学和控制论系Wroclaw经济大学53-345 Wroclaw Polandabstract在这篇文章中，我们找到了一个具有断裂线性漂移的谱正或负L'evy过程的最大分布公式。这就给出了当两家保险公司（或同一家公司的两家分支机构）按一定比例将保险费和保费分开时的破产概率公式。作为一个例子，我们考虑了伽玛L'evy过程、α-稳定L'evy过程和布朗运动。此外，我们还得到了具有随机断裂漂移和随机区间的L'evy过程的上确界分布的拉普拉斯变换的恒等式。关键词：L'evy过程，随机过程的上确界分布，破产概率，伽玛L'evy过程，α-稳定L'evy过程MSC（2010）：Primary 60G51；本文研究了具有分段线性漂移的特殊正或负L'evy过程的上确界分布。我们找到了用一维密度表示的上确界分布的精确公式*兹比格涅夫。michna@ue.wroc.plof给定的L'evy过程。当两家保险公司（或同一家公司的两家分支机构）按规定的比例（比例再保险）将理赔金和保费分开时，结果可应用于最终破产概率。此外，这些公式可用于双节点串联队列（见Liehout和Mandjes[9]）。Avram等人[1]研究了一个具有断裂漂移的光谱正L'evy过程（将风险问题降低到一维），并发现了有限时间生存能力的双拉普拉斯变换。

例如，如果索赔呈指数分布（具有指数分布的索赔的复合泊松过程），他们获得了有限时间生存概率的显式分析表示。Avram等人[2]研究了相关问题，如果累计索赔额由允许负一元矩的L'evy过程建模。当累积索赔额过程为负或是具有指数索赔的复合泊松过程时，他们找到了由普通破产概率表示的破产概率的精确公式。此外，他们还发现了Cram'ERASUMPTION下破产概率的渐近行为。Foss等人【7】研究了与Avramet a l【2】相同的问题，但承认了次指数索赔，并发现了破产概率在有限时间和有限时间范围内的渐近行为。在本文分析的模型中，我们假设累积索赔过程是具有一维密度函数的谱正或谱负L'evy过程。我们找到了由潜在L’evy过程的一维密度表示的破产概率的精确公式。我们的模型和Avram等人的模型的主要区别在于，我们接受重尾索赔，并且我们提供了与Avram等人[1]和Avram等人不同的最终和最终时间范围内破产概率的明确公式。[2] 仅在有限的时间范围内完成。文章的主题布局如下。在本节中，我们重新调用将在主要结果中使用的公式。下一部分包括主要结果，即带有bro-ken漂移的L'evy过程的上确界分布和示例。在第3节中，我们概述了如何将主要结果应用于两家合作保险公司的破产概率。

最后一节讨论具有随机断裂漂移和随机区间的L'evy过程的上确界分布的拉普拉斯变换恒等式。Michna等人[13]发现了随机变量Y（T）和inft<TY（T）的联合分布，其中Y是一个特殊的负L'evy过程（我们将考虑时间定义在非负半实线上的真实随机过程）。定理1。如果Y是一个谱负的L'evy过程，并且Y的一维分布是绝对连续的，那么ip（inft<TY（t）<-u、 Y（T）+u∈ dz）=dztzt- sp（z，T- s） p(-u、 s）ds，其中T，u>0，z≥ 当s>0时，p（x，s）是Y（s）的密度函数。备注1。我们不暴露过程Y的线性漂移，但它可以合并到过程Y中。如果X是光谱正的L'evy过程，则X=-我们得到以下推论。推论1。如果X是一个光谱正的L'evy过程，并且X的一维分布是绝对连续的，则IP（supt<TX（t））≤ u、 X（T）∈ dz）=“f（z，T）-ZTu公司- zT公司- sf（z- u、 T型- s） f（u，s）ds#dz，其中T，u>0，z∈ (-∞, u] f（x，s）是x（s）的密度函数，对于>0。将最后一个公式与z积分，我们得到以下定理（见Michna等人【13】和Michna【11】）。定理2。如果X的一维分布是绝对连续的，那么IP（supt<TX（t）>u）=IP（X（t）>u）+ZTIE（X（t- s） （）-T- sf（u，s）ds，（1）其中x-= -当s＞0时，min{x，0}和f（u，s）是x（s）的密度函数。备注2。上述公式ex表示Tak'acs【18】到L'evy过程的结果，具有有限的变化。现在让我们找出任何光谱负L'evy过程的上确界和过程值的联合分布。它很容易遵循推论1和对偶引理。推论2。

如果Y是一个谱负的L'evy过程，并且Y的一维分布是绝对连续的，则IP（supt<TY（t））≤ u、 Y（T）∈ dz）=“p（z，T）- uZTp（u，T- s） T型- sp（z- u、 s）ds#dz，其中T，u>0，z∈ (-∞, u] p（x，s）是Y（s）的密度函数，其值大于0。证据通过对偶引理（参见B e rtoin[3]），我们得到了thatX（（T-t）-) -X（T）d=在有限维分布意义下的Y（T）≤ T（X（T-) 指t处的左侧极限）。因此，我们得到IP（supt<TX（t）≤ u、 X（T）∈ dz）=IP（supt<TX（T- t）-) ≤ u、 X（T）∈ dz）=IP（supt<T（X（（T- t）-) - X（T））≤ u- z、 X（T）∈ dz）=IP（supt<TY（t）≤ u- z-Y（T）∈ dz）。替换u′=u- z和z′=-利用推论1，我们得到了公式。对于光谱负L'evy过程，积分最后一个关于z的公式，我们可以得到与等式（1）类似的结果。然而，我们从Kendall的恒等式中获得了一个simpleformula（见Kendall[8]）。以下定理可以在Tak\'acs[18]中以更一般的形式找到（另请参见Michna[12]，了解谱负L'evy过程的s upremum分布）。定理3。如果Y是一个光谱负的L'evy过程，并且Y的一维分布是绝对连续的，那么ip（supt<TY（t）>u）=uZTp（u，s）sds，其中p（u，s）是Y（s）的密度函数。证据它直接源于Kendall的身份（见Kenda ll【8】或如Sato【16】Th.46.4）。2主要结果和示例在本节中，我们分析了X（t）的上确界分布- c（t）和Y（t）- c（t），其中X是光谱正L'evy过程，Y是绝对负L'evy过程，c（t）=ct如果t∈ [0，T]c（T- T）+cT如果T∈ （T，∞) ,（2） 其中c，c≥ 0 .

由于我们现在暴露了过程的漂移，我们将假设X（s）和Y（s）的密度分别为f（X，s）和p（X，s）（与前一节中可以在过程中引入线性漂移的部分不同）。定理4。如果S>T（S是有限的或S=∞) X（t）与密度f（X，t）thenIP（supt<S（X（t））绝对连续- c（t））>u）=A+B：=IP（supt<t（X（t））- ct）>u）+IP（支持<T（X（T））- ct）≤ u、 sup0<t<S-T（X（T+T）- X（T）- ct）>u- X（T）+cT），其中i=IP（X（T）- cT>u）+ZTIE（X（T- s）- c（T- s） （）-T- sf（u+cs，s）D和B=Z∞IP（支持<S-T（X（T）- ct）>z）f(-z+u+cT，T）dz-Z∞z IP（支持<S-T（X（T）- ct）>z）dz·ZTf（u+cs，s）T- 旧金山(-z+c（T- s） ，T- s） ds。证据我们得到的分解A+B如下（supt<S（X（t））- c（t））>u）=A+B：=IP（supt<t（X（t））- ct）>u）+IP（（支持<T（X（T））- ct）≤ u、 supT<t<S（X（t））- c（t- T）- cT）>u）=IP（支持<T（X（T））- ct）>u）+IP（支持<T（X（T））- ct）≤ u、 sup0<t<S-T（X（T+T）- X（T）- ct）>u- X（T）+cT）。A的公式是由定理2直接得到的。设F（dx，dz）为（supt<T（X（T））的联合分布- ct），X（T）- cT）。然后，公式B遵循强马尔可夫性质和推论1，即isB=ZuZu-∞IP（支持<S-T（X（T）- ct）>u- z） F（dx，dz）=Zu-∞IP（支持<S-T（X（T）- ct）>u- z） f（z+cT，T）dz-祖-∞IP（支持<S-T（X（T）- ct）>u- z） dz·ZTu- zT公司- sf（z- u+c（T- s） ，T- s） f（u+cs，s）dS并替换z′=u- z我们得到最终公式。同样地，我们得到了谱负L'evy过程的一个公式。定理5。如果S>T（S是有限的或S=∞ ) Y（t）与密度p（x，t）绝对连续，然后是IP（supt<S（Y（t））- c（t））>u）=A+B其中A=IP（supt<t（Y（t））- ct）>u）=uZTp（u+cs，s）sdsand=Z∞IP（支持<S-T（Y（T）- ct）>z）p(-z+u+cT，T）dz-乌兹∞IP（支持<S-T（Y（T）- ct）>z）dz·ZTp(-z+cs，s）T- sp（u+c（T- s） ，T- s） ds。证据使用推论2和Th。

3我们按照证明的方法进行。4.Th的应用。4导致以下布朗运动示例（见Mandjes【10】和Lieshout and Mandjes【9】或Avram等人【2】）。示例1。如果W是标准布朗运动，则IP（supt<∞（W（t）- c（t））>u）=Φ(-美国犹他州-1/2- c√T）+e-2cuΦ(-美国犹他州-1/2+c√T）+e-2c（u+cT-cT）Φ（uT-1/2+（c- 2 c）√T）-e2（c-c） u+2cT-2ccTΦ(-美国犹他州-1/2+（c- 2 c）√T）。确实，使用定理4 andIP（supt<T（W（T））- ct）>u）=Φ(-美国犹他州-1/2- c√T）+e-2cuΦ(-美国犹他州-1/2+c√T）andIP（支持<∞（W（t）- ct）>u）=e-2冷却液c≥ 0（参见Debicki和Mandjes[5]）我们得到了（支持<∞（W（t）- c（t））>u）=A+B，（3）式中=A（c，t，u）：=Φ(-美国犹他州-1/2- c√T）+e-2ucΦ(-美国犹他州-1/2+c√T）（4）和b=e-2c（u+cT-cT）Φ（uT-1/2+（c- 2 c）√T）-e-铜-cT/22πZ∞ze（c-2c）zdzZT（T- s）-3/2秒-1/2e-z2（T-s）-U2SD。让我们取c=c=c≥ 公式（3）中的0。然后A+B=e-2U和A的第二个和B的第一个总和为e-我们得到了什么-铜-cT/22πZ∞ze公司-CZDZT（T-s）-3/2秒-1/2e-z2（T-s）-u2sds=Φ(-美国犹他州-1/2-c√T）。因此，使用c=2c的最后一个标识- c≥ 我们得到了B的第二个therm。同样，让我们在等式（3）中取c=c，c=0。然后A+B=1，A的第一个和B的第一个和加起来等于1，因此我们得到ECU-cT/22πZ∞ZECZDZT（T-s）-3/2秒-1/2e-z2（T-s）-u2sds=Φ(-美国犹他州-1/2+c√T）。因此，使用c=c的最后一个标识- 2c>0我们得到了b的第二个温度。示例2。设0<T<S<∞ 标准布朗运动（supt<S（W（t））- c（t））>u）=A（c，t，u）+√2πTZ∞A（c，S- T、 z）e-（u+cT-z） 2Tdz-e-坎特伯雷大学-cT2πZ∞泽察（c，S- T、 z）dzZTs-1/2（T- s）-3/2e-z2（T-s）-u2sds，其中A（c，T，u）在式（4）中定义。示例3。设X（t）为密度f（X，t）=δtΓ（t）xt的γL'evy过程-1e级-δx1I{x>0}，其中δ>0和c（t）在等式（2）中定义。使用Th。4我们给出了IP（supt<S（X（t））的显式公式- c（t））>u）=A+B，对于两个t<S<∞ andS=∞, 分别地

对于T<S<∞ , 我们得到a=δTΓ（T）Z∞u+cTxT-1e级-δxdx+δTe-δuZT（u+cs）s-1e级-cδsΓ（s）Γ（T- s+1）dsZc（T-s） （c（T- s）- x） xT公司-s-1e级-δxdx=：A（c，T，u）和b=δSe-δ（u+cT）Γ（T）Γ（S）- T）Zu+cT（u+cT- z） T型-1eδzdzZ∞z+c（S-T）xS-T-1e级-δxdx+δSe-δ（u+cT）Γ（T）Zu+cT（u+cT- z） T型-1dzZS-T（z+cs）s-1e级-cδsΓ（s）Γ（s- T- s+1）ds·Zc（s）-T-s） （c（s）- T- s）- x） xS型-T-s-1e级-δxdx-δTe-δ（u+cT）ZcTzeδzA（c，S- T、 z）dz·ZcT-zc（u+cs）s-1（c（T- s）- z） T型-s-1Γ（s）Γ（T- s+1）ds。对于S=∞ , 我们还假设cδ>1。在这种情况下，由于X（t）具有有限的变化，因此。4在Tak\'acs【18】中，我们有IP（s upt<∞（X（t）- ct）>z）=cδ- 1δe-δzZ∞δsΓ（s）（z+cs）s-1e级-δcsds，z>0。让我们注意到，A与T<S<∞ 使用上述表达式，我们得到b=（cδ- 1） δT-1e级-δ（u+cT）Γ（T）Zu+cT（u+cT- z） T型-1dz·Z∞δsΓ（s）（z+cs）s-1e级-δCSD-（cδ- 1） δT-1e级-δ（u+cT）ZcTzdz·ZT-zc（u+cs）s-1（c（T-s）- z） T型-s-1Γ（s）Γ（T- s+1）dsZ∞δtΓ（t）（z+ct）t-1e级-δctdt。示例4。设Z（s）是完全向右倾斜的α稳定L'evy过程（即β=1，参见Janicki和Weron[6]或Samorodnitsky和Taqqu[15]），当其密度函数为以下f（x，s）=πs1/αZ时，期望值为零∞e-tαcosts-1/αx- tαtanπαdt（参见例如Nolan【14】）。然后（见Michna等人[13]）对于c>0A（c，∞, u） ：=IP（支持<∞（Z（t）- ct）>u）=cπZ∞s-1/αdsZ∞e-tαcosts-1/α（u+cs）- tαtanπα对于任何c和T>0A（c，T，u）的dtand：=IP（supt<T（Z（T））- ct）>u）=（5）πT1/αZ∞udxZ公司∞e-tαcostT-1/α（x+cT）- tαtanπαdt+πZTIE（Z（T- s）- c（T- s） （）-（T-s） s1/αds·Z∞e-tαcosts-1/α（u+cs）- tαtanπαD其中（Z（s）-cs）-=-1πs1/αZ-∞x dxZ∞e-tαcosts-1/α（x+cs）- tαtanπαdt。因此，使用Th。4对于S>T>0（也允许S=∞ 和推杆∞-T型=∞) 我们得到IP（supt<S（Z（t））- c（t））>u）=A+B=A+B- B、 式中，A=A（c，T，u）（见等式。

（5） ）和b=πT1/αZ∞A（c，S- T、 z）dz·z∞e-tαcostT-1/α(-z+u+cT）- tαtanπαdtandB=πZ∞z A（c，S- T、 z）dzZTds（T- s） 1/α+1s1/α·Z∞e-tαcosts-1/α（u+cs）- tαtanπαdt·Z∞e-wαcosw（T- s）-1/α(-z+c（T- s） （）- wαtanπα数据仓库。3两家合作保险公司让我们考虑两家保险公司，它们按照δ>0和δ>0的比例（其中δ+δ=1）分摊各自支付的索赔金额，并分别以p>0和p>0的费率收取保费（见Avram等人[2]）。则相应的风险过程为ari（t）=xi+pit- δiX（t），其中i=1，2，xi>0，X（t）是截至timet的累计索赔金额。当至少一家保险公司破产τ或（x，x）=inf{t>0：R（t）<0 o R（t）<0}时，以及当两家保险公司同时破产τsim（x，x）=inf{t>0：R（t）<0和R（t）<0}时，人们可能会感兴趣。设最终破产概率为ψ或（x，x）=IP（τ或（x，x）<∞) , ψsim（x，x）=IP（τsim（x，x）<∞)ψ（x）=IP（τ（x）<∞) , ψ（x）=IP（τ（x）<∞) ,其中，对于i=1，2，τi（xi）=inf{t>0:Ri（t）<0}。人们还可以对以下破产概率ψ和（x，x）=IP（τ（x）<∞ 和τ（x）<∞)下面的关系很容易注意到ψ和（x，x）=ψ（x）+ψ（x）- ψ或（x，x）。让我们把ui=xi/δi和ci=pi/δi放在i=1，2的地方。然后我们得到τ或（x，x）=inf{t>0:x（t）>u+ct或x（t）>u+ct}和τsim（x，x）=inf{t>0:x（t）>u+ct和x（t）>u+ct}。如果直线y=u+ct和y=u+ct在FirstQuadrant中没有相互交叉，则破产概率ψor（x，x）和ψsim（x，x）会降低具有线性漂移的风险过程的正常破产概率。如果它们在第一象限相互交叉，例如u<u（c>c），则ψ或（x，x）=IP（s upt<∞（X（t）- c（t））>u），（6），其中c（t）在等式中定义。

（2） T=（u- u） /（c- c） （我们取c（t）=最小值（u+ct，u+ct）- u） 。类似地，如果直线在第一象限中有一个公共点，例如u<u（c>c），则ψsim（x，x）=IP（supt<∞（X（t）- c（t））>u，（7），其中c（t）在式（2）中定义，t=（u- u） /（c- c） （我们取c（t）=最大值（u+ct，u+ct）- u） 。示例5。设X（t）为标准布朗运动。然后使用公式（6）和示例1，我们得到u<uand c>cψ或（x，x）=Φ（a(-u-c） ）+e-2cuΦ（a(-u、 c）+e-2cuΦ（a（u，c- 2 c））- e-2（c-2c）u-2cuΦ（a(-u、 c类- 2 c）），其中a（u，c）=uT-1/2+c√T，T=（u- u） /（c- c） ，ui=xi/δiandci=pi/δifor i=1，2。该公式恢复了Avram等人[2]公式（67）的结果。同样，我们得到ψsim（x，x）的公式。同样，我们可以考虑有限时间范围内的破产概率。4随机断裂漂移和随机间隔在波动理论中，对于L'evy过程和指数分布时间，有许多有趣的恒等式，例如，在一个经验单分布时间间隔上的上确界分布（参见Bertoin【3】第VI.2节和第VII节）。因此，让我们考虑一个具有随机断裂漂移的谱正L'evy过程X，即假设T（见等式（2））是一个指数分布的随机变量，平均值为1/λ，与过程X无关。此外，让我们调查两个案例S=∞ （见第4条）和S- T=一个正随机变量，与过程ss X和随机变量T无关。我们把φi（γ）=ln IE exp(-γ（X（1）- ci）），i=1，2，其中γ≥ 0和←-νi（λ），i=1，2是Дi的反函数。定理6。