具有瞬时价格影响的最优投资

另一个不同之处是，我们的出价和要价（1）恢复为彼此的价格，而不是参考价格，如【28】所示。回顾一下，如David Norman[8]所述，比例交易成本在风险资产持有量中是线性的。在G^arleanu和Pedersen【11】、【12】或Guasoniand Weber【18】、【17】中考虑的绝对连续策略的交易率中呈线性的暂时价格影响会对后者产生二次流动性成本。Forde等人【10】、Guasoni和Weber【16】以及Cay’e等人【5】的作者考虑了非线性价格影响，这引入了当前交易成本对成交率分数幂的依赖性。在上述模型中，（1）中的价格影响在交易策略中仍然是线性的X=（X↑, 十、↓) 但是，由于绝对价值函数的出现，（6）中的诱导流动性成本在x中是凸的，而不是纯二次的。3最优投资问题我们考虑的是一个投资者，其目标是在第2节介绍的价格影响模型中进行最优交易。投资者的偏好由效用函数u:R描述→ C（R）中的R是严格凹的，从上面递增并有界。她希望通过遵循交易策略X=（X），在（4）中定义的某个有限规划期T>0时，最大化终端清算财富VT（X）的预期效用↑, 十、↓) 给定初始禀赋ξX0-, ξ∈ R现金和ДX0-, φ∈ R风险资产的股份。其相应的初始财富和相关清算成本由V，V0表示-（十） 和L，L0-（十） 对于某些给定的初始投标，askspreadζX0-= ζ≥ 0

换句话说，根据引理2.1，代理的目标是解决优化问题lemeu（VT（X））=EuV+L+ZTИXtdPt- LT（X）→ maxX=（X↑,十、↓)∈X（8）所有可接受的交易政策ESX，n（Xt）t≥0=（X↑t、 X个↓t） t型≥0：X↑, 十、↓正确的连续、可预测、非减损流程↑0-, 十、↓0-, 0度。（8）中的最大化问题存在最优策略的主要工具由以下有限变量过程的凸紧性结果给出。引理3.1（Guasoni[15]，引理3.4）。考虑一系列策略（Xn）n≥1. X使得conv（{X↑,nT+X↓,nT：n≥ 1} ）以内部为界(Ohm, F，P）。然后存在一个策略X∈ X和a序列（~Xn）n≥1.最终凸组合的X，即▄Xn∈ conv（Xn，Xn+1，…）对于alln≥ 1，在[0，T]:limn上弱收敛到X→∞X↑,↓,nt（ω）=X↑,↓所有t的t（ω）∈ {十、↑,↓(ω) = 0} ∪ {T}，ω∈ Ohm. （9） 另一个重要因素是清算财富VT（X）在X中的连续性∈ （5）中给出的X。引理3.2。设T>0，设（Xn）n≥1. X是一系列具有相同初始禀赋的策略（ξX0-, ^1X0-) = （ξ，Д）使Xn→ 十、∈ 在所有的[0，T]上X弱Ohm. 那么它就坚持认为→∞VT（Xn）=所有ω的点方向VT（X）∈ Ohm.因此，由于X中流动性成本函数LT（X）的凸性∈ X借助引理2.1，我们得到了（8）中优化问题的以下存在唯一性结果。定理3.3。存在唯一的策略^X=（^X↑,^X↓) ∈ X使eu（VT（^X））≥ 所有策略的Eu（VT（X））X=（X↑, 十、↓) ∈ 十、证据考虑一个最大化序列（Xn）n≥1. X使U*, supX公司∈XEu（VT（X））=limn→∞欧盟（VT（Xn））∈ (-∞, u型(∞)).我们可以假定序列（Xn）n≥1根据水平集L：={X∈ X：Eu（VT（X））≥ Eu（VT（0））=u（V+L）}。此外，由于下面的引理5.1，它认为conv（{X↑T+X↓T： X个∈五十} ）是L(Ohm, F，P）-有界。

因此，根据EMMA 3.1中的紧凑性结果，存在一个策略^X∈ X和a序列（~Xn）n≥1. Xof凸组合Xn∈ conv（Xn，Xn+1，…）使a.s.～Xn→n在[0，T]上的^x弱↑ ∞. 我们认为^X是问题（8）的最优解。事实上，由于流动性成本是凸的，（￠Xn）n≥1又是一个最大化序列。具体而言，给定一定数量的严格正权重（λnm）m≥不，我们有≥Xm公司≥nλnmu（VT（Xm）），其中我们还使用了u的单调性和凹性。在上述不等式中取期望值并传递到极限，得到limn→∞Eu（VT（￠Xn））≥ u*.此外，通过引理3.2和Fatou引理中提供的清算财富的连续性，我们得到了u*≥ Eu（VT（^X））≥ E lim supn公司→∞u（VT（￠Xn））≥ lim支持→∞Eu（VT（￠Xn））≥ u*.优化器^X的唯一性源于效用函数u的严格凹性和流动性成本的凸性。4具有指数效用的非流动性Bachelier模型研究（8）中所述的终端清算财富的效用最大化问题，在特定情况下，当我们的价格影响模型（1）中的市场不确定性由漂移u>0且波动率σ>0的布朗运动生成时。也就是说，我们假设未受影响的价格过程（Pt）t≥0由P0给出-=（A+B），dPt=udt+σdWt（t≥ 0）（10），其中（Wt）t≥0表示给定过滤概率空间上的标准布朗运动(Ohm, F，（Ft）t≥0，P）。此外，我们假设反演者的偏好由指数效用函数u（x）=-e-αx（x∈ R） 在绝对风险规避参数α>0的情况下。在此设置中，（8）中的优化问题变得- expn公司- αuZTхXtdt+σZTхXtdWt- LT（X）o→ maxX公司∈十、 （11）注意，对于指数效用，（11）中的最优策略并不取决于投资者的初始无摩擦财富V+L。

根据定理3.3，（11）中的最大化问题存在唯一的最优解，对于任何时间范围T>0，初始位置ν∈ 风险资产中的R和任何初始买卖价差ζ≥ 0备注4.1（无摩擦情况）。文献中众所周知，在η=ζ=0的无摩擦情况下，即对于任何X，AX=BX=P in（1），LT（X）=0in（6）∈ X，最优策略^X=（^X0，↑,^X0，↓) 问题（11）（初始位置为Д=0）只是byd^X0给出的确定性买入并持有策略，↑t=uασδ（dt）和d^X0，↓t=μασδt（dt）（在[0，t]上）。这里，δ和δTdenote分别是0和T中的狄拉克测度。不同的是，风险资产中的最佳无摩擦持股量是恒定的，由所谓的默顿投资组合φt，μασ（0）给出≤ t型≤ T）（12）分别在时间0和时间T通过初始和最终大宗交易获得和解除。当考虑到我们设置中的非流动性摩擦，即有限市场深度引起的价格影响以及买卖价差造成的市场紧张时，直觉上可以预期以下情况：与直接实施（12）中所需的无摩擦默顿头寸不同，问题（11）的最佳摩擦组合将逐渐向后者交易。事实上，在存在价格影响η>0的情况下，问题（11）很容易转化为无摩擦最优投资组合头寸的确定性最优跟踪问题。提案4.2。对于给定的时间范围T>0，初始位置Д∈ R和初始扩展ζ≥ 0，则（11）中最大化问题的最优投资策略是确定性的，并且与凸成本函数的最小值jt（X），LT（X）+ασZT一致^1Xt-uασdt公司→ minX公司∈Xd（13），带Xd，{X∈ X:X=（X↑, 十、↓) 确定性}。证据我们给出了一个类似于Schied等人的论点。

[29]，但将其扩展到包括无限策略。为了便于标注，让我们定义成本函数JT（X），LT（X）- uZTДXtdt+ασZT（ДXt）dt=JT（X）-u2ασt对于所有X∈ X，让我们设置▄J*T、 infX公司∈XdJT（X）。接下来，让X∈ X besuch that Eu（VT）>-∞. 我们将在下面讨论，对于这样的X，密度dpxdp，E-ασZXtdWtT=经验值-ασZTИXtdWt-ασZT（ДXt）dt（14） 在上诱导概率度量(Ohm, 英尺）。然后我们可以写下E=E-经验值-αZTИXtdPt+αLT（X）= EPX公司-经验值αLT（X）- αuZTДXtdt+ασZT（ДXt）dt= EPXh公司-eαИJT（X）i≤ -eαИJ*T、 （15）等式对唯一确定性极小值X成立∈ XdofJT。因此，与（11）中的原始问题相对应的（15）中所有可容许策略X的右侧的最大化子实际上是由获得值J的确定性策略决定的*T、 仍需验证（14）是否确实定义了概率度量PXforX∈ 带Eu的X（VT（X））>-∞, i、 e.，因此经验值α（LT（X）-ZTИXtdPt）< ∞. （16） 这将通过验证Kazamaki的流程标准来实现，-αR.ДXtσdWt。为此，请首先注意，我们可以在不丧失一般性的情况下假设-= ^1T=0，以此类推，kXkT，X↑T+X↓坦普*T、 支持∈[0，T]| Pt |，我们可以使用（7）来估计lt（X）-ZTхXtdPt=LT（X）+ZTPtdхXt≥ ckXkT公司- P*TXKT公司≥ckXkTon{P*T≤ ckXkT/2}对于c，ηe-2κT/4。用（16）和P*T∈ L（P）因此，kXkT∈ L（P），它保证了M的一致可积性经验值机器翻译= E经验值α（LT（X）-ZTИXtdPt）经验值-α（LT（X）-ZTИXtudt）≤ E经验值α（LT（X）-ZTИXtdPt）1/2·E经验值-α（LT（X）-ZTИXtudt）1/2< ∞,由于（16）和（7）的原因，这是有限的。因此，M确实满足Kazamaki的标准。备注4.3.1。

对于确定性策略X∈ XD在目前的非流动性Bachelier模型中，（5）中的清算财富VT（X）是正态分布的。因此，（11）中的最大化问题和（13）中的最小化问题等价于[VT（X）]-αvar（VT（X））=V+L+uZTхXtdt- LT（X）-ασZT（ДXt）dt，参见Schied等人【29】中的讨论。（13）中的最小化问题可被视为无摩擦默顿投资组合的确定性最优跟踪问题≡u/（ασ），以LT（·）衡量交易成本。也就是说，最优策略^X寻求最小化其持股量^X相对于（12）的首选恒定头寸^的平方偏差以及对其交易活动^X=（^X）征收的产生的流动性成本LT（^X↑,^X↓) 由于市场紧张和有限的市场深度。此外，在当前的设置中，清算成本很高。因此，除了向Д交易外，优化器还必须考虑在接近终端时间T.3时，以最佳方式平仓风险资产的应计头寸。（13）中的确定性最优跟踪问题类似于Bank等人[4]中研究的随机跟踪问题（参见Bank和Voss[3]，了解更一般的框架）。其中，作者研究了最小化L（Pdt）-投资组合过程与给定可预测随机目标过程的距离（ξt）0≤t型≤t阿尔姆格伦和克里斯[2]中所述的临时价格影响的存在。这意味着投资策略˙X被限制为绝对连续的，并且二次成本被征收到各个交易方˙˙X。过程（ξt）0≤t型≤t例如，从无摩擦环境中采用的最优investmentor对冲策略。

在（13）中的当前设置中，流动性成本LT（·）是由市场紧缩和短暂的价格影响引起的，a la Obizhaeva和Wang[26]允许策略是单一的。4.1一阶最优性条件由于命题4.2中极小化问题的目标函数JT（·）是凸的，可以利用凸分析和变分法的工具，根据有效的一阶条件得出最优解的特征。具体而言，让我们注意到，XD上的凸函数JT（·）由定义为%↑tJT（X），ZTtκe-κ（u-t） ζXu+ασ^1Xu-uασ杜邦+ζXT+η|ДXT|e-κ（T-t） （17）+ηИXT+符号%（ДXT）ζXT（0≤ t型≤ T）和%↓tJT（X），ZTtκe-κ（u-t） ζXu+ασuασ- ^1Xu杜邦+ζXT+η|ДXT|e-κ（T-t） （18）-ηхXT-符号%（ДXT）ζXT（0≤ t型≤ T）在下面引理4.5的意义上。备注4.4。地图x 7→ （17）和（18）中买卖次梯度定义中出现的符号%（x）表示绝对值函数x 7的次梯度→ |x |（参见第5节引理4.5的证明），因此允许使用任意值符号%（0），%∈ [-1，1]。在这种情况下，次梯度实际上是集值的。对值%的依赖性由运算符符号%中的左上标表示↑和%↓. 为了简化符号，我们只需编写↑, ↓除非有必要指定%的值，否则大多数情况下都会签署（·）。引理4.5。

对于任意两种策略X，Y∈ XD具有相同的初始位置ДY0-= ^1X0-和初始扩散ζ≥ 0和任何%∈ [-1，1]，wehaveJT（Y）-JT（X）≥Z[0，T]%↑tJT（X）（dY↑t型-dX公司↑t） +Z[0，t]%↓tJT（X）（dY↓t型-dX公司↓t） 与%↑JT（X）和%↓JT（X）分别如（17）和（18）所定义。对于任何非减量、右连续过程Z和Z0-, 0，让我们进一步定义集合{dZ>0}，{t∈ [0，T]：Zt-< Zu对于所有u>t}（19），并观察到对于任何连续G=（Gt）0≤t型≤Twe haveZTGtdZt=Z{dZ>0}GtdZt。有了（17）和（18）中的次梯度，我们现在可以为命题4.2中所述的最小化问题制定充分的一阶最优性条件。命题4.6（一阶条件）。策略^X=（^X↑,^X↓) 如果以下条件成立，INXD将解决（13）中的优化问题：（i）↑tJT（^X）≥ 0表示所有t∈ 集合{d^X上带“=”的[0，T]↑> 0}，（ii）↓tJT（^X）≥ 0表示所有t∈ 集合{d^X上带“=”的[0，T]↓> 0}.如果Д^XT=0，则（i）和（ii）中的条件应保持%↑和%↓有一些%∈ [-1, 1].证据假设^X=（^X↑,^X↓) 满足条件（i）和（ii）（对于某些合适的%∈ [-1，1]如果Д^XT=0），则设Y∈ Xdbe是一种具有相同初始捐赠的任意竞争策略ДY0-= Д^X0-. 然后，根据上面的引理4.5，它认为jt（Y）- JT（^X）≥Z[0，T]%↑tJT（^X）dY↑t+Z[0，t]%↓tJT（^X）dY↓t型-Z[0，T]%↑tJT（^X）d^X↑t型-Z[0，T]%↓tJT（^X）d^X↓t、 根据我们的假设（i）和（ii），右侧是非负的，而JT（Y）≥ JT（^X）。备注4.7。根据引理4.5，数量%↑tJT（X）和%↓（17）和（18）中的tJT（X）可被视为边际成本的下限，该边际成本分别由额外的最小购买订单和销售订单在t时产生，否则遵循策略X。

因此，满足命题4.6中一阶条件的最优策略^X的作用是使干预产生的额外边际成本始终为非负，并且仅在相应的边际成本为%↑tJT（^X）或%↓tJT（^X）消失。在这方面，观察到，粗略地说，时间t的（17）和（18）中的次梯度可以解释为评估未来时期【t，t】偏离目标u/（ασ）、产生的价差ζXas以及最终位置ДXT的大小之间的权衡。由于市场紧张，直觉上可以认为，满足命题4.6中一阶条件的最优策略永远不会同时购买和出售风险资产。事实上，这在我们的环境中是正确的，并且是次梯度结构的直接结果。引理4.8。对于任何策略X∈ Xd，X 6=（0，0），我们有{↑.JT（X）=0} {↓.JT（X）>0}和{↓.JT（X）=0} {↑.JT（X）>0}。备注4.9（动态规划原则）。注意，对于任何策略X=（X↑, 十、↓) ∈ xd时间t时（17）和（18）中函数JT（·）的次梯度∈ [0，T]仅取决于值ДXt-, 十、↑t型-, 十、↓t型-, ζXt-, 剩余到期时间T- t和战略的未来演变（Xu）t≤u≤T、 这个特性加上问题（13）最优解的唯一性意味着动态规划原理（或所谓的Bellman最优性）在我们的环境中是正确的。具体而言，让^X∈ xd表示问题（13）的唯一最优策略，时间范围T>0，初始位置Д^X0-= φ ∈ R和初始排列ζ^X0-= ζ ≥ 0满足命题4.6中的初始条件。从现在起，我们将使用符号^XT，ζ，Д=（^XT，ζ，Д，↑,^XT，ζ，Д，↓) 强调最优控制对问题数据（T，ζ，Д）的依赖性。

然后对于任何0≤ 我们有这个策略-t、 ζ^Xt-,И^Xt-s、 ^XT，ζ，Дt+s-^XT，ζ，Дt-(0 ≤ s≤ T- t） 对于问题（13）和问题数据（t- t、 ζ^Xt-, И^Xt-), i、 e.，时间范围T- t>0，初始排列ζ^Xt-≥ 0和初始位置Д^Xt-∈ R、 事实上，请注意↑,↓sJT公司-t（^XT）-t、 ζ^Xt-,И^Xt-) = ↑,↓t+sJT（^XT，ζ，Д）（0≤ s≤ T- t） 为true，表示^XT-t、 ζ^Xt-,И^Xt-满足命题4.6中的一阶条件，因此是最优的。4.2状态空间我们想要解决（13）中针对任何给定问题数据（T，ζ，Д）提出的优化问题，即对于任何时间范围T，初始利差ζ和风险资产的初始头寸Д。为此，让我们引入三维状态空间，{（τ，ζ，Д）：τ≥ 0, ζ ≥ 0, φ ∈ R} R（20），到期时间τ、价差ζ和股份数量Д。对于状态空间S中的任何三重或问题数据（τ，ζ，Д），我们希望确定相应的唯一最优策略^Xτ，ζ，Д，以及^Xτ，ζ，Д0-= Д和ζ^Xτ，ζ，Д0-= ζ，使（13）中的函数Jτ（·）对于时间范围τ最小化（在特殊情况下τ=0，参见下面的注释4.11）。更准确地说，我们想要描述最优控制系统（τ-t、 ζ^Xτ，ζ，Дt，Д^Xτ，ζ，Дt）0≤t型≤状态空间S中的τ。直觉上，命题4.6中提出的一阶最优性条件建议将状态空间S分为两个行动区域——买入区域和卖出区域——以及优化器^Xτ、ζ、Д的非行动或等待区域。粗略地说，取决于最佳控制三重态（τ-t、 ζ^Xτ，ζ，Дt，Д^Xτ，ζ，Дt）时间t∈ [0，τ]位于买入、卖出或等待区域，相应的最优策略^Xτ，ζ，Д分别在此时瞬间t买入、卖出或不做任何事情。