具有瞬时价格影响的最优投资

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英文标题：
《Optimal investment with transient price impact》
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作者：
Peter Bank and Moritz Vo{\\ss}
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We introduce a price impact model which accounts for finite market depth, tightness and resilience. Its coupled bid- and ask-price dynamics induce convex liquidity costs. We provide existence of an optimal solution to the classical problem of maximizing expected utility from terminal liquidation wealth at a finite planning horizon. In the specific case when market uncertainty is generated by an arithmetic Brownian motion with drift and the investor exhibits constant absolute risk aversion, we show that the resulting singular optimal stochastic control problem readily reduces to a deterministic optimal tracking problem of the optimal frictionless constant Merton portfolio in the presence of convex costs. Rather than studying the associated Hamilton-Jacobi-Bellmann PDE, we exploit convex analytic and calculus of variations techniques allowing us to construct the solution explicitly and to describe the free boundaries of the action- and non-action regions in the underlying state space. As expected, it is optimal to trade towards the frictionless Merton position, taking into account the initial bid-ask spread as well as the optimal liquidation of the accrued position when approaching terminal time. It turns out that this leads to a surprisingly rich phenomenology of possible trajectories for the optimal share holdings.
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中文摘要：
我们引入了一个价格影响模型，该模型考虑了有限的市场深度、紧密性和弹性。其耦合的买卖价格动态导致凸流动性成本。我们给出了在有限规划范围内，终端清算财富期望效用最大化的经典问题的最优解的存在性。在特定情况下，当市场不确定性由带漂移的算术布朗运动产生，且投资者表现出恒定的绝对风险厌恶时，我们证明了由此产生的奇异最优随机控制问题很容易退化为凸成本下最优无摩擦常数Merton投资组合的确定性最优跟踪问题。我们没有研究相关的Hamilton-Jacobi-Bellmann偏微分方程，而是利用凸分析和变分法技术来明确构造解，并描述底层状态空间中作用区域和非作用区域的自由边界。正如预期的那样，考虑到初始买卖价差以及接近终点时应计头寸的最佳清算，向无摩擦默顿头寸交易是最佳选择。事实证明，这导致了一个令人惊讶的丰富现象，即最优持股的可能轨迹。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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2022-6-10 00:25:43 上传

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关键词：Mathematical Quantitative mathematica liquidation QUANTITATIV

具有瞬时价格影响的最优投资Peter Bank*Moritz Voss+2018年4月23日摘要我们引入了一个价格影响模型，该模型解释了有限的市场深度、紧密性和弹性。其耦合的买卖价格动态导致了凸流动性成本。我们提供了一个非最优解的存在性，以解决在有限规划范围内，终端清算财富的期望效用最大化的经典问题。在特定情况下，当市场不确定性由带漂移的算术布朗运动产生，且投资者表现出恒定的风险厌恶时，我们证明了由此产生的奇异最优随机控制问题很容易退化为存在凸成本的最优无摩擦常数Merton投资组合的确定性最优跟踪问题。我们没有研究关联的Hamilton-Jacobi-Bellmann偏微分方程，而是利用凸分析和变分法技术，可以明确地构造解，并描述底层状态空间中动作和非动作区域的自由边界。正如预期的那样，考虑到初始买卖价差以及接近终点时应计头寸的最佳清算，最好向无摩擦默顿头寸交易。事实证明，这导致了一个关于最优持股可能轨迹的惊人丰富的现象学。数学学科分类（2010）：91G10、91G80、91B06、49K21、35R35JEL分类：G11、C61关键词：效用最大化、瞬时价格影响、奇异控制、凸分析、变分法、自由边界问题*柏林理工大学数学研究所，17街。Juni 13610623，德国柏林，电子邮件bank@math.tu-柏林。判定元件。

感谢EinsteinFoundation通过“博弈期权和有摩擦的市场”项目提供的财务支持。+加利福尼亚大学圣巴巴拉分校统计与应用概率系，加利福尼亚州圣巴巴拉93106-3110，美国，电子邮件voss@pstat.ucsb.edu.1引言通过在金融市场中动态交易风险资产，从终端财富中最大化预期效用的经典默顿问题【23】、【22】目前已在具有交易成本等市场摩擦的模型中得到深入研究和充分理解。我们参考MuhleKarbe等人最近的调查【25】了解概况。相比之下，对于非流动性市场模型中的效用最大化问题知之甚少，因为摩擦是由价格影响引起的：投资者以买价和卖价进行交易，而买价和卖价受其当前和过去交易的数量或速度的影响较大。在这些模型中，现有文献的绝大多数主要关注的是最优执行外源给予者的问题；参见g¨okay等人【14】和Gatheral及Schied【13】的调查。然而，对于更复杂的优化问题，如最优投资组合选择，到目前为止，最优策略的显式描述似乎还很难实现。

值得注意的是，在存在买卖价差和价格影响的情况下，有限时间范围内的最优投资问题就是这种情况，这种影响不是纯粹的暂时性或完全永久性的，而是暂时性的，因为投资者当前和过去的交易对执行价格的影响不会瞬间消失，而是以一定的弹性率持续并随时间衰减。目前关于非流动性金融市场中最优投资组合选择问题的大部分工作都集中在纯粹具有暂时性价格影响的模型上，即有限弹性、零买卖价差，并限制长期投资者，例如Guasoni和Weber[18]、[16]、[17]，具有恒定的风险规避，Forde等人[10]采用恒定绝对风险规避，G^arleanu和Pedersen[11]，[12]采用均值-方差偏好。在后一篇论文中，作者还考虑了有限的弹性。对于计划期限有限但仍仅面临暂时价格影响的投资者，Moreau等人[24]和Cay\'e等人[5]已获得渐近结果；参见Chandra和Papanicolaou【7】中的管道分析。在Kallsen和Muhle Karbe【20】中，或在Ekren和Muhle Karbe【9】中，在【11】的设置下，来自【24】的结果也被用作描述高弹性价格影响下渐近最优交易策略的基石。在上述所有引用的论文中，交易策略被认为是绝对连续的。在本文中，我们提出了一个价格影响模型，该模型超越了Obizhaeva和Wang[26]的块状限制订单模型，同时考虑了股票的买卖。

具体而言，我们的模型通过一个耦合的受控差异系统确定买卖价格，使我们有可能指定市场深度、紧密性和弹性：Kyle在开创性工作中确定的流动性的三个维度【21】。耦合的买价和卖价动态在交易策略上引发凸流动性成本，这些策略允许是单数的，并且包括非整数大宗交易，如【26】所示。事实上，我们的模型与Roch和Soner[28]中提出的模型密切相关，这是C,etin等人[6]引入的非流动市场模型方法的扩展，因为它还考虑了有限的弹性和买卖价差。与此相反，我们的模型通过相互逆转，而不是通过一些辅助参考价格过程，捕获了买卖价格的恢复。此外，我们的非流动性参数，即市场深度和弹性，保持不变，以保持可跟踪性。我们为相应的经典问题提供了一个最优解的存在性，该问题是在某个有限的规划期内，终端清算财富的期望效用最大化。在其最简单的版本中，我们的价格影响模型是Bachelier模型的非流动性变体，该模型具有凸流动性成本，该成本对代理人的交易活动征收。对于表现出恒定绝对风险厌恶的投资者，结果表明，由此产生的奇异最优随机控制问题很容易退化为凸成本存在下最优无摩擦买入并持有默顿投资组合的确定性最优跟踪问题。我们采用了凸分析方法，而不是解决由Hamilton-Jacobi-Bellman偏微分方程引起的三维自由边界问题的更常见的动态规划方法。

根据convexcost泛函的（有限维）次梯度导出一阶条件，使我们能够通过变分法明确构建奇异控制问题的解决方案。因此，我们能够在基本的三维状态空间中分析描述买入、卖出和非交易区域的自由边界，以实现利差和风险资产持有相对于剩余到期时间的最优控制动态。我们的明确结果清楚地表明了最优策略必须在多个方面进行比较。正如Guasoni和Weber【18】、【16】、【17】、Forde等人【10】、G^arleanu和Pedersen【11】、【12】的工作所预期的那样，在考虑初始买卖价差和可用时间范围的情况下，向最佳无摩擦组合交易确实是最佳的。具体而言，由于在当前设置中清算成本高昂，优化器还必须在接近终端时间时以最佳方式平仓其应计头寸。事实证明，在这一基本的非流动性单身汉模型中，市场紧缩、最终弹性、预期头寸目标和最终期限内的最优清算之间的相互作用，使得最优持股的可能轨迹有了惊人丰富的现象学。在这方面，我们的优化问题与上述论文中考虑的有限期和零差价框架有很大不同。我们的发现还补充和扩展了Obizhaeva和Wang[26]在类似Bachelier类型背景下研究的最优订单执行问题的显式结果。与我们的论文关系最密切的是Soner和Vukelja[30]。

其中，作者采用了Roch和Soner[28]提出的模型，在Black-Scholes框架下，无需买卖价差，具有与风险资产价格成比例的恒定弹性和随机市场深度。利用动态规划原理和粘性解的概念，研究了具有有限规划期的CRRA投资者从最终清算财富中获得最大预期效用的问题。与我们的结果相比，他们更一般的框架付出的代价是，最优策略的表征只能通过离散时间近似格式在数值上实现。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了aprice冲击模型。第3节概述了在我们的模型中，终端清算财富的预期效用最大化问题，并在一般设置中提供了最优解的存在性。在市场不确定性由带漂移的算术布朗运动产生且投资者表现出常数绝对风险厌恶的特定情况下，我们证明了最优奇异随机控制问题具有我们明确构造的确定性解。第4节介绍了这一点。技术证明推迟到第5.2节A价格影响模型我们定义了过滤概率空间(Ohm, F，（Ft）t≥0，P）满足正确连续性和完整性的通常条件，并考虑投资风险资产的投资者以不利的方式影响其市场价格。为了说明她的价格影响，我们提出了一种由Obizhaeva和Wang引入的块状限额订单模型的变体【26】。具体而言，投资者的交易策略由一对X=（X）来描述↑, 十、↓) 可预测的、非减量的、右连续过程，其中X↑= （十）↑t） t型≥0，X↓= （十）↓t） t型≥0分别表示截至时间t的风险资产累计买入和卖出≥ 0、设置X↑0-, 十、↓0-, 0

交易通过一个理想化的块状限价指令簿中的市场指令进行，价格为BX和AX的最佳出价和要价。它们的动力学被指定为以下受控微分耦合系统的解Daxt=dPt+ηdX↑t型-κ（AXt-- BXt公司-)dt，dBXt=dPt- ηdX↓t+κ（AXt-- BXt公司-)dt（t≥ 0），（1）给定参数η>0，κ>0，AX0-, A> 0和BX0-, B> 0。（1）中买卖价格动态的解释如下：过程ax和bx都是由一些常见的外生基本随机冲击dpt驱动的，由连续半鞅（Pt）t建模≥0初始值P0-, （A+B）/2。工艺（Pt）t≥0也可以被视为不受影响的价格过程。由于有限的市场深度1/η∈ (0, ∞)这可以解释为一个块状的限制指令簿的高度，abuy order dX↑t通过装载ηdX增加影响和最佳要价ax↑t其中，最佳投标价格BXis不受直接影响。在每次买入交易完成后，买卖价格以一定的弹性率κ>0相互回复。销售订单的影响dX↓吨最佳投标价格BXin（1）是类似的。请注意，价格影响是暂时的，不会瞬间消失，但会以有限的指数率κ持续并随时间衰减。为简单起见，我们假设两个非流动性参数，即瞬时价格影响系数η和弹性率κ都是常数。根据（1）中的买卖价格动态，买卖价差的受控演化ζXt，AXt- BxT由dζXt=η（dX）描述↑t+dX↓t）- κζXt-dt（t≥ 0）（2），初始值为ζX0-, ζ≥ 0和右侧连续溶液ζXt=e-κ（t-s）ζXs-+ ηZ[s，t]eκ（u-s） （dX↑u+dX↓u）(0 ≤ s≤ t） 。（3） 现在，让我们推导对应于交易策略X=（X）的投资者财富动态↑, 十、↓).

首先，我们将X与自我融资投资组合流程（ξXt，ДXt）t联系起来≥0具有一些给定的初始值（ξX0-, ^1X0-) ∈ RwhereξXt表示现金金额，而ДXt，ДX0表示现金金额-+ 十、↑t型- 十、↓t在时间t持有的风险资产股份数≥ 0、假设利率为零，自我融资条件规定现金余额ξ仅因交易活动X而交换，即我们假设dξXt=-AXt公司-+η十、↑t型dX公司↑t型+BXt公司--η十、↓t型dX公司↓t（t≥ 0）具有十、↑,↓t、 X个↑,↓t型-十、↑,↓t型-, 分别地观察有效的执行价格，例如，购买不一定是最小数量的dX↑t共享时间t由AXt给定-+ η十、↑t/2，其中η十、↑t/2说明了非最小订单产生的影响；参见，例如，Alfonsi等人【1】或Predoiuet等人【27】。类似的考虑也适用于销售订单。投资者在任何时候的总财富现在都以其当前投资组合的清算价值来表示。也就是说，我们定义了投资者的清算财富过程（Vt（X））t≥0与她的投资组合流程（ξX，ДX）相关，交易策略X=（X↑, 十、↓) 和初始捐赠（ξX0-, ^1X0-) ∈ RasVt（X），ξXt+（AXt+BXt）ДXt-ζXt |ДXt |+η（ДXt）（t≥ 0). （4） 我们将初始值设置为V0-（十） ，ξX0-+ ^1X0-（A+B）/2- （ζ|ДX0-| +η（ДX0-))/2、注意，（4）中的清算价值Vt（X）分解为两部分：第一部分代表投资组合的账面价值ξXt+ДXt（AXt+BXt）/2，其中风险资产头寸的价值按照中间报价（AXt+BXt）/2进行衡量。第二部分ζXt |ДXt |/2+η（ДXt）/2说明了买卖价差ζXt所产生的相应清算成本，以及在一个单一区块交易中清算ДXt股份时的瞬时价格影响η。

下面的引理表明清算财富过程的动力学（Vt（X））t≥0in（4）可方便地分为普通无摩擦财富和非负凸成本函数。引理2.1。清算财富过程（Vt（X））t≥策略的0 X=（X↑, 十、↓) （4）中的定义允许分解vt（X）=V0-（十） +L0-（十） +ZtИXsdPs- Lt（X）（t）≥ 0）（5），其中（Lt（X））t≥0表示流动性成本定义为lt（X），4ηη|ДXt |+（ζXt- e-κtζ）+|^1Xt | e-κtζ+η（ДX0-)+Z[0，t]e-κsζ（dX↑s+dX↓s） +κ2ηZt（ζXs-- e-初始值为L0的κsζ）ds（6）-（十） ，ζ|ДX0-|/2+η（ДX0-)/2、特别是对于allt≥ 0函数Lt（X）在X中是凸的，满足Lt（X）≥ηe-2κt（X↑t+X↓t） +κη中兴通讯-2κs（X↑s+X↓s） ds公司≥ 0。（7）观察数量V0-（十） +L0-（十） =ξX0-+ ^1X0-P0-在（5）中，通过定义战略X的初始财富账面价值或初始无摩擦财富，以及初始捐赠（ξX0-, ^1X0-).备注2.2。1、与文献中在最优投资组合选择背景下使用的其他价格影响模型相比，我们在（1）中的价格影响取决于投资者在Obizhaeva和Wang[26]精神中的交易量，而不是像g^arleanu和Pedersen[11]、[12]或Forde等人[10]中那样取决于交易率。这些文件采用了Almgrenand Chriss[2]提出的纯暂时性价格影响。在Guasoni和Weber[18]、[16]、[17]中，临时价格影响不仅由交易率引起，还取决于投资者的总财富。我们的模型捕捉到了短暂的价格影响，这种影响只会随着时间逐渐衰减。因此，交易策略不再局限于绝对连续，而是包含非小型大宗交易。事实上，我们的建模方法类似于Roch和Soner[28]中提出的方法，其中作者考虑了市场深度和弹性率的更一般的随机动力学。