具有瞬时价格影响的最优投资

为了简化符号，让我们为所有t引入中间报价过程MXt，（AXt+BXt）/2≥ 0，初始值为mx0-, （A+B）/2=P0-. 应用（4）中的部件集成，如Jacod和Shiryaev【19】，定义I.4.45，yieldsdVt（X）=-（ζXt-+ η十、↑t） dX公司↑t型-（ζXt-+ η十、↓t） dX公司↓t+ДXt-dMXt公司- ηхXt-dхXt-ζXt-d |ДXt |+|ДXt-|dζXt+d[|ДX |，ζX]t,（47）根据[19]定理I.4.52，我们使用了[ДX，MX]=η[ДX，ДX]/2这一事实。此外，请注意，[19]中的命题I.4.49 a）意味着[|ДX |，ζX]t=R[0，t]ζXsd |ДXs |适用于所有t≥ 0，因为|ДX |是可预测的，ζXis是有限的变化。插入此项后，排列动态（2）以及中间引号dMXt=dPt+ηdX的动态↑t型-ηdX↓yieldsdVt（X）=хXt以上的锡（47）-dPt公司-ζXtd |ДXt |+κ|ДXt-|ζXt-dt公司-ζXt-+ η十、↑t+ηИXt-+ η|ДXt-|dX公司↑t型-ζXt-+ η十、↓t型- ηхXt-+ η|ДXt-|dX公司↓t（t≥ 0).（48）这促使确定清算成本功能Lt（X）asLt（X），L0-（十） +Z[0，t]ζXsd |ДXs |-κZ[0，t]|ДXs-|ζXs-ds+Z[0，t]ζXs-+ η十、↑s+ηДXs-+ η|ДXs-|dX公司↑s+Z[0，t]ζXs-+ η十、↓s- ηхXs-+ η|ДXs-|dX公司↓s（t）≥ 0）（49）带L0-（十） ，ζ|ДX0-|/2+η（ДX0-)/再次使用扩展动态in（2）我们可以编写-κ|ИXt-|ζXt-dt=|ДXt-|dζXt-η|ДXt |（dX↑t+dX↓t） 。在（49）中插入该表达式，得到usLt（X）=L0-（十） +Z[0，t]（ζXs）-+ η十、↑s） dX公司↑s+Z[0，t]（ζXs-+ η十、↓s） dX公司↓s+Z[0，t]ζXsd |ДXs |+Z[0，t]|ДXs-|dζXs+ηZ[0，t]ДXs-dхXs（t≥ 0).（50）同样，定义I.4.45中的部分集成允许我们编写[0，t]| Xs-|dζXs=|ДXt |ζXt-|^1X0-|ζX0--Z[0，t]ζXsd |ДXs |，（51）ηZ[0，t]ДXs-dхXs=η（^1Xt）- （ДX0-)- [ДX，ДX]t. （52）使用L0的定义将（51）和（52）插回（50）-（十） 以及[X↑,↓, 十、↑,↓]t=R[0，t]十、↑,↓sdX公司↑,↓对于所有t≥ 0（参见。

命题I。4.49 a）in【19】）最终屈服强度lt（X）=|ДXt |ζXt+η（хXt）+（хX0-)+Z[0，t]ζXs-（dX↑s+dX↓s） +η（[X↑, 十、↑]t+[X↓, 十、↓]t+2[X↑, 十、↓]t） （t≥ 0).（53）接下来，通过使用扩展ζXin（3）的显式表示并引入过程Yt，R[0，t]eκs（dX↑s+dX↓s） 对于所有t≥ 0我们得到z[0，t]ζXs-（dX↑s+dX↓s） =Z[0，t]e-κsζ（dX↑s+dX↓s） +ηe-2κtYt+κη中兴通讯-2κ系统-ds公司-ηZ[0，t]e-2κsd[Y，Y]s.（54）由于[19]，命题I.4.49，再次观察到我们得到了[Y，Y]s=e2κsd【X】↑, 十、↑]s+d[X↓, 十、↓]s+2d[X↑, 十、↓]s. （55）此外，它认为e-κtYt=（ζXt-e-所有t的κtζ）/η≥ 因此，使用该表示以及（54）中的（55），并将结果项插入（53）中，得到（6）中所需的流动性成本函数形式。最后，我们可以很容易地观察到，（6）中的函数Lt（X）对于每个t是凸X≥ 此外，使用较低的估计值ζXt- e-κtζ≥ηe-κt（X↑t+X↓t） 对于所有t≥ 0，我们得到Lt（X）的下界为claimedin（7）。为了在定理3.3的证明中应用引理3.1，我们需要以下引理。引理5.1。对于水平集L，{X∈ X：Eu（VT（X））≥ Eu（VT（0））}，conv（{X↑T+X↓T： X个∈ 五十} ）是L(Ohm, F，P）-有界。证据首先，观察到由于流动性成本函数t（X）在X中的凸性∈ X借助引理2.1以及效用函数u的凹凸性和单调性，水平集是一个凸集。因此，它认为conv（{X↑T+X↓T： X个∈ 五十} ）={X↑T+X↓T： X个∈ 五十} 。接下来，请注意，对于任何X∈ X（5）中给出的清算财富VT（X）可以从上面的VT（X）=V0界定-（十） +L0-（十） +ZTИXtdPt- LT（X）≤ ξX0-+ 2（ДX0-+ 十、↑T+X↓T） P*T- c（X↑T+X↓T） =ξX0-+c（P*T）-√c（X↑T+X↓T）-√内容提供商*T+ 2хX0-P*T（56）带P*T、 最大值0≤s≤T | Ps |，在这里我们使用分部积分，半鞅（Pt）T≥0是连续的，下限为LT（X）≥c（X↑T+X↓T） 引理2.1，对于某些常数c>0。

从今以后，为了简化演示，让我们在不丧失一般性的情况下假设ξX0-= ^1X0-= 0以及u（0）=0。由于（56）中的上限，我们获得了所有X∈ l估计值[u（VT（0））]≤ E“uc（P*T）-√c（X↑T+X↓T）-√内容提供商*T!#.因此，加上u从上方有界的事实，它必须适用于SUPX的负部分∈LE“uc（P*T）-√c（X↑T+X↓T）-√内容提供商*T!-#< ∞.此外，由于u∈ C（R）是严格凹的，且其yieldsu（z）是递增的≤ u（0）+u（0）z=u（0）z，因此u（z）-≥ u（0）(-z） +适用于所有z∈ R、 weobtainsupX公司∈LE“√c（X↑T+X↓T）-√内容提供商*T-c（P*T） ！+\\<∞. （57）最后，观察L(Ohm, （57）中的F，P）-有界性意味着集合{X↑T+X↓T： X个∈ 五十} 以L为界(Ohm, F，P）。定理3.3证明的最后一个要素是X中流动财富VT（X）的连续性。引理3.2的证明。We fixω∈ Ohm. 通过Xnto-Xon[0，T]的弱收敛性，我们得到了ζXnt（ω）→ ζXt（ω），对于t=t和所有t∈ [0，T）这样十、↑t（ω）=十、↓t（ω）=0；参见展品的表示（3）。特别地，它认为ζXn·（ω）→ ζX·（ω）dt-a.e.在[0，T]上，因为X的跳跃次数↑（ω） ，X↓（ω） 是可数的。此时，ζXns（ω）在n和s中一致有界，因为Xns（ω）也是一致有界的。因此，通过支配收敛，我们可以得到任意ω∈ Ohm 那个limn→∞Rt公司ζXns（ω）- e-κsζds=RtζXs（ω）- e-κsζds。此外，我们很明显得到了νXnT（ω）→ ДXT（ω）。因此，参考（6）中流动性成本LT（Xn）的表示，我们可以得出limn→∞LT（Xn（ω））=LT（X（ω））。

接下来，关于（5）中的清算财富VT（Xn）与连续半鞅Pin有关的νxnw的托氏积分，在应用分部积分后，我们得到表达式ztДXtdPt=ДXTPT- ^1X0-P0--Z[0，T]Ps（dX↑s- dX公司↓s） =limn→∞^1XnTPT- ^1Xn0-P0--Z[0，T]Ps（dX↑,ns系列- dX公司↓,ns）= 画→∞所有ω的ZTДxNTDPTF∈ Ohm,这里我们再次使用了Xn（ω）w的弱收敛性-→ 对于所有ω，[0，T]上的X（ω）∈ Ohm 以及P的连续性。总之，我们得到了limn→∞VT（Xn）=所有ω的点方向VT（X）∈ Ohm 根据需要。5.2引理4.5和引理4.8的证明接下来，让我们计算（13）中给出的xd上凸成本泛函JT（·）的（17）和（18）中的有限维次梯度。引理4.5的证明。让我们定义偏差函数ldt（X），ασZT^1Xt-uασXd上的dt（58）。然后，（13）中的凸成本函数JT（·）可以写成JT（X）=LT（X）+DT（X）。我们将分三步进行。步骤1：让我们从计算（6）中给出的液体成本函数LT（·）的次梯度开始。观察任何X，Y∈ XD带ИY0-= ^1X0-和任意ε∈ （0，1）我们得到了lt（εY+（1- ε） X）- LT（X）ε=κηZT（ζXt- e-κtζ）（ζYt- ζXt）dt+η|εДYT+（1- ε） ^1XT|- |ДXT |ε+ζXT |εИYT+（1- ε） ^1XT |- |^1XT |ε+ζYT- ζXT|εИYT+（1- ε） ДXT |+η（ζXT- e-κTζ）+Z[0，T]e-κtζ（dY↑t+dY↓t型- dX公司↑t型- dX公司↓t） +ε4η（ζYT- ζXT）+κ2ηZT（ζYt- ζXt）dt.（59）注意，我们有下限|εИYT+（1-ε） ^1XT|-|^1XT|≥ 2εИXT（ДYT-ДXT）和|εДYT+（1-ε） ^1XT|-|^1XT |≥ ε符号%（ДXT）（ДYT-^1XT），其中我们用x 7表示→ 符号%（x）函数的次梯度x 7→ |x |带符号%（0）=%∈ [-1, 1]; 参见备注4.4。将这些下限插入（59）并传递到极限ε↓ 0 yieldslimε↓0LT（εY+（1- ε） X）- LT（X）ε≥κηZT（ζXt- e-κtζ）（ζYt- ζXt）dt+ηДXT+符号%（ДXT）ζXT（^1YT）- ^1XT）+|ДXT |+η（ζXT- e-κTζ）·ζYT- ζXT+Z[0，T]ζe-κt（dY↑t型- dX公司↑t+dY↓t型- dX公司↓t） 。（60）接下来，让我们将（60）中的每一项表示为关于它们的积分↑-十、↑或Y↓-十、↓.

使用（3）的利差ζYandζXas以及Fubini\'s定理，我们可以将（60）中的第一项改写为κηZT（ζXt- e-κtζ）（ζYt- ζXt）dt=κZ[0，T]ZTs（ζXt- e-κtζ）e-κ（t-s） dt公司（dY↑s- dX公司↑s） +κZ[0，T]ZTs（ζXt- e-κtζ）e-κ（t-s） dt公司（dY↓s- dX公司↓s） 。此外，使用该ДYT- ^1XT=R[0，T]（dY↑s- dX公司↑s）-R[0，T]（dY↓s- dX公司↓s） 以及ζYT- ζXT=R[0，T]ηe-κ（T-s） （dY↑s- dX公司↑s） +R[0，T]ηe-κ（T-s） （dY↓s- dX公司↓s） 允许我们最终写入（60）aslimε↓0LT（εY+（1- ε） X）- LT（X）ε≥Z[0，T]%↑sLT（X）（dY）↑s- dX公司↑s） +Z[0，T]%↓sLT（X）（dY）↓s- dX公司↓s） ，（61）其中我们设置了%↑,↓sLT（X），κZTse-κ（t-s） ζXtdt+（η|ДXT |+ζXT）e-κ（T-s） ±ηДXT±符号%（ДXT）ζXT（0≤ s≤ T）。步骤2：现在让我们计算（58）中定义的偏差函数Ldt（·）的次梯度。同样，对于任何X，Y∈ XD带ИY0-= ^1X0-和任意ε∈ （0，1）我们得到了dt（εY+（1- ε） X）- DT（X）ε=ασZT^1Xt-uασ（^1Yt）- ДXt）dt+εασZT（ДYt- 因此，结合Fubini定理，我们得出atlimε↓0DT（εY+（1- ε） X）- DT（X）ε=ασZ[0，T]ZTs公司^1Xt-uασdt公司（dY↑s- dX公司↑s） +ασZ[0，T]ZTs公司uασ- ^1Xtdt公司（dY↓s- dX公司↓s） 。因此，我们可以写mε↓0DT（εY+（1- ε） X）- DT（X）ε=Z【0，T】↑sDT（X）（dY↑s- dX公司↑s） +Z[0，T]↓sDT（X）（dY↓s- dX公司↓s） ，（62）我们设置的位置↑,↓sDT（X），±ασZTs^1Xt-uασdt（0≤ s≤ T）。（63）步骤3：最后，对于凸成本函数JT（·），我们得到了anyX，Y∈ XD带ИY0-= ^1X0-和任意ε∈ （0，1）下限jt（Y）- JT（X）≥JT（εY+（1- ε） X）- JT（X）ε=LT（εY+（1- ε） X）- LT（X）ε+DT（εY+（1- ε） X）- DT（X）ε。通过极限ε↓ 0与（61）和（62）JT（εY+（1）一起产生- ε） X）- JT（X）ε≥Z[0，T]（%↑sLT（X）+↑sDT（X））（dY↑s- dX公司↑s） +Z[0，T]（%↓sLT（X）+↓sDT（X））（dY↓s- dX公司↓s） ，其中我们注意到%↑,↓sJT（X）=%↑,↓sLT（X）+↑,↓所有s的sDT（X）∈ [0，T]根据需要。引理4.8的证明。对于策略X=（X↑, 十、↓) ∈ Xd，X 6=（0，0），lett∈ [0，T]是这样的↑tJT（X）=0。

使用定义↑（17）中的tJT（X）这等于身份-ηхXT-符号（ДXT）ζXT=ZTtκe-κ（u-t） ζXu+ασ^1Xu-uασ杜邦+η|ДXT |+ζXTe-κ（T-t） 。在定义↓tJT（X）in（18）收益率↓tJT（X）=2ZTtκe-κ（u-t） ζ徐都+η|ДXT |+ζXTe-κ（T-t） >0，因为X 6=（0，0）。当↑ 和↓互换。5.3第4.3节的证明在本节中，我们将证明我们的主要定理4.12以及推论4.14和4.16。我们首先介绍两个关键对象，即域[0]上的自由边界函数φbuy（τ，ζ）和φsell（τ，ζ）+∞).5.3.1生成函数φsell的自由边界函数很简单。回想一下λ=√ασ和β=κλ/pλ+κη。我们设置γ±，λ±pκη+λ（64），并表示c（τ），e-βτγ-+ eβτγ+e-βτγ-+ eβτγ+，D（τ），1-2κηe-βτγ-+ eβτγ+（τ≥ 0). （65）在域[0+∞), 自由边界函数（τ，ζ）7→ φsell（τ，ζ）将被定义为φsell（τ，ζ），μλD（τ）+ζκλC（τ）（τ≥ 0, ζ ≥ 0). （66）让我们注意以下容易检查的性质：引理5.2。对于所有τ，我们有φsell（τ，ζ）>0≥ 0, ζ ≥ 0，因为所有τ的1>D（τ）>0和C（τ）>0≥ 0、备注5.3。通过对函数φsellin（66）的定义的轻微滥用，该函数仅限于正半平面[0+∞), 对于ζ>0，我们还将使用符号φsell（τ，-ζ） 具有明显的意义φsell（τ，-ζ） ，uD（τ）/λ- ζκC（τ）/λ。与φsellin（66）相比，引入自由边界函数（τ，ζ）7→域[0]上的φbuy（τ，ζ）+∞)要复杂得多，需要几个辅助常数和函数。首先，让\'θ>0表示方程κ\'θ（2）的唯一严格正解- κ′θ）+2+κ′θ=0（67）且letθ∈ （0，’θ）表示方程κθ（κθ）的唯一解- 1) = 1.

（68）接下来，我们介绍映射τ7→ （(R)ζ（τ），(R)Д（τ））对于所有τ≥ 0通过？ζ（τ），s（τ-\'θ，\'θ），τ>\'θ，s（τ），θ<τ≤θ,2u/κ, 0 ≤ τ ≤ θ、 （69）带（τ，θ），u（1- D（τ））eκθλκC（τ）+κeκθ（1+e-κθ)κθ-1.-e-κθ(τ ≥ 0, θ ≥ 0），（70）s（τ），uηκτe-κτ+1+e-κτλκτ+κη（1+e-κτ)- λ（1+e）-κτ)(θ ≤ τ ≤θ、（71）和τ（τ），φsell（τ-\'θ，\'ζ（τ）e-κθ), τ >θ,φ(τ,ζ(τ)), θ < τ ≤θ,0, 0 ≤ τ ≤ θ、 （72）式中φ（τ，ζ），uτ-ζ（1+e-κτ）λτ+η（1+e-κτ)(τ ≥ 0, ζ ≥ 0). （73）我们进一步设置（τ），2uτ1+e-κτ(0 ≤ τ ≤ θ). （74）让我们提到，由于θsatifies（67），它在（70）中成立，即（τ-θ,θ) =u(1 - D（τ-(R)θ））eκPθλκC（τ-θ）+κeκθ（1- e-κθ)> 0 (τ >θ). （75）此外，直接计算表明φsell（τ-\'θ，\'ζ（τ）e-κθ) =uλ-κζ(τ)1 - e-κ′θλ（τ>’θ）（76）以及φ（τ，’ζ（τ））=uκτ- u（1+e-κτ）κλτ+κη（1+e-κτ)- λ（1+e）-κτ)(θ < τ ≤θ). （77）结果是τ7→ （τ、？ζ（τ）、？Д（τ））规定了嵌入自由边界的曲线Rbuyin状态空间S。下一个引理收集了一些关于（70），（71），（74）中分别产生的映射s，s，s的有用性质，以及这条曲线。在本文中，我们还参考了下面图5中的图示。引理5.4.1。我们有s（0）=0和s（θ）=2u/κ。此外，在区间（0，θ）上，映射τ7→ s（τ）严格递增。特别是，它认为（0，θ）上的s（τ）<2u/κ。我们有s（0，θ）=0和s（θ）=2u/κ以及s（0，θ）=s（°θ）。此外，在区间（θ，’θ）上，映射τ7→ s（0，τ）严格递增，映射τ7→ s（τ）急剧下降。特别是，它认为s（0，τ）<s（τ）（θ，’θ）上的s（τ）。3、映射τ7→ζ(τ), τ ≥ 0是连续的，在[0，θ]上浮动，在[θ]上严格递减+∞) 带limτ↑∞ζ(τ) = 0. 特别是，我们有2u/κ≥对于所有τ，ζ（τ）>0≥ 0.4. 映射τ7→ φ(τ ), τ ≥ 0是连续的，在[0，θ]上浮动，在[θ]上严格递增+∞) 带limτ↑∞φ(τ) = u/λ.

特别是，我们有0≤ 对于所有τ，(R)（τ）<u/λ≥ 0.证明。这些主张源于θ和θ分别满足方程（68）和（67）的事实，以及对τ映射的简单区分（还可以回忆一下（76）和（77）中的表示形式）。最后，观察limτ↑∞(R)ζ（τ）=0可以从（75）以及Limτ中推断出来↑∞(R)Д（τ）=u/λ来自（76）。接下来，让我们全面介绍τ≥ 0, ζ, φ ∈ R和0≤ θ ≤ τ映射^ζbuy（τ，ζ，Д，θ），ζηβ2λe-β(τ -θ） κ+β+eβ（τ-θ)κ - β-ηβκφ -uλsinh（β（τ- θ） ），（78）^И购买（τ，ζ，Д，θ），φ -uλcosh（β（τ- θ))-βκsinh（β（τ- θ))φ -uλ+κλζ+uλ（79）以及^ζsell（τ，ζ，Д，θ），ζe-κθ+ηe-κθβκ+βc+（τ，ζ，Д）（e（κ+β）θ- 1)+ββ - κc-（τ，ζ，Д）（e-(β-κ)θ- 1),（80）^Дsell（τ，ζ，Д，θ），- c+（τ，ζ，Д）eβθ- c-（τ，ζ，Д）e-βθ+μλ，（81），其中c±（τ，ζ，Д），κ（eβτγ(ηu - λ（ζ+ηД））+ηuγ±）λpκη+λ（eβτγ+- e-βτγ-). （82）事实上，简单的计算揭示了所有（τ，ζ，Д，τ）=ζ和（τ，ζ，Д，τ）=Д（83）的恒等式∈ S以及所有τ的^ζsell（τ，ζ，φsell（τ，ζ），0）=ζ和^Иsell（τ，ζ，φsell（τ，ζ），0）=φsell（τ，ζ）（84）≥ 0和ζ∈ R、 此外，为了简洁起见，我们省略了初等微积分，可以很容易地验证以下引理。引理5.5（单调性性质）。1、对于任意θ≥ 0，函数τ7→^ζ购买（τ，’ζ（θ），’Д（θ），θ），τ≥ θ、 连续且严格地随^ζ购买（θ，’ζ（θ），’Д（θ），θ）=ζ（θ）增加。此外，对于任意两个0≤ θ<θ，函数在θ上不相交+∞).2、对于任何τ≥ 0，函数z 7→^ζ购买τ,ζ (τ - z） ，(R)（τ- z） ，τ- z,0≤ z≤ τ、 持续且严格增加。3、对于任意θ≥ 0，函数τ7→ ^Д买（τ，(R)ζ（θ），(R)Д（θ），θ），τ≥ θ、 随着^Дbuy（θ，’ζ（θ），’Д（θ），θ）=Д（θ），连续且严格递减。4.

对于任意τ≥ 0, ζ ≥ 0，函数t 7→ [0，τ]上的φsell（τ，ζ，φsell（τ，ζ），t）是连续的，并且随着φsell（τ，ζ，φsell（τ，ζ），0）=φsell（τ，ζ）而严格递减。5、对于任何τ≥ 0，ζ>0，函数t 7→ ^Дsell（τ，-ζ、 φsell（τ，-ζ） ，t）在[0，τ]上是连续的，并且严格地随^sell（τ，-ζ、 φsell（τ，-ζ） ，0）=φsell（τ，-ζ).如下所示，对于给定的问题数据（τ，ζ，Д），属于Rbuyor公司Rsell、最优持股量^Xτ、ζ、Д以及最优政策^Xτ、ζ、Д的最优控制利差动态ζXτ、ζ、Д将根据（78）至（81）中引入的映射给出。下面两个引理提供了另外两个重要的元素。引理5.6（购买期限）。对于给定对（τ，ζ）∈ [0, +∞)使得|ζ（τ）≤ ζ ≤^ζ购买（τ，(R)ζ（0），(R)（0），0），我们将τ购买（τ，ζ）定义为方程ζ=^ζ购买的唯一解τ,ζ (τ - τbuy（τ，ζ）），(R)（τ- τbuy（τ，ζ）），τ- τ购买（τ，ζ）. （85）特别是，它认为τ购买τ、 ^ζ购买（τ，(R)ζ（θ），(R)（θ），θ）= τ - θ (0 ≤ θ ≤ τ） （86）表示τbuy（τ，^ζbuy（τ，’ζ（0），’Д（0），0））=τ，τbuy（τ，’ζ（τ））=0。Wefurther setτbuy（τ，ζ），（τ表示ζ>^ζbuy（τ，’ζ（0），’Д（0），0），0表示0≤ ζ<ζ（τ），（87），因此τ购买（·，·）被定义为所有（τ，ζ）∈ [0, ∞)数值为[0，τ]。证据对于任意τ≥ 0考虑映射z 7→ Fτ（z），^ζ购买（τ，’ζ（τ- z） ，(R)（τ- z） ，τ- z） 带z∈ [0, τ]. 然后，Fτ（0）=ζ（τ），由于（83）以及Fτ（τ）=ζ购买τ,ζ (0) , φ (0) , 0. 此外，它来自引理5.5 2。）Fτ（z）是连续的，并且在[0，τ]上严格递增。因此，对于任何？ζ（τ）≤ ζ ≤^ζ购买（τ，’ζ（0），’Д（0），0）存在唯一的τ购买（τ，ζ），z*∈[0，τ]使得ζ=Fτ（z*).引理5.7（等待时间）。

对于给定对（τ，ζ）∈ [0, ∞)使得τ≥θ和0≤ ζ ≤(R)ζ（τ），或θ≤ τ<θ和0≤ ζ ≤ s（0，τ），我们将τwait（τ，ζ）定义为方程ζ=s（τ）在（0，τ）中的唯一解- τwait（τ，ζ），τwait（τ，ζ））。（88）尤其是在τ的情况下≥\'θ我们有τwait（τ，\'ζ（τ））=\'θ，如果θ≤ τ<θ我们有τwait（τ，s（0，τ））=τ。我们进一步设置τwait（τ，ζ），θ表示τ≥θ和ζ（τ）<ζ≤^ζ购买（τ，’ζ（’θ），’Д（’θ），’θ），τ- τbuy（τ，ζ）在所有剩余情况下，（89），因此τwait（·，·）被定义为所有（τ，ζ）∈ [0, ∞)数值为[0，τ]。证据考虑任何τ≥ θ任意但固定的连续函数z 7→ Gτ（z），s（τ- z、 z）带z∈ [0，min{τ，'θ}]。元素计算表明，当Gτ（0）=s（τ，0）<0时，Gτ（z）在[0，min{τ，(R)θ}]上严格递增。此外，如果τ≥θ它认为，由于（69）中的定义，Gτ（(R)θ）=ζ（τ），如果θ≤ τ<θ它认为Gτ（τ）=s（0，τ）。因此，当τ≥θ方程（88）允许每0≤ ζ ≤(R)ζ（τ）aunique溶液τwait（τ，ζ）∈ （0，’θ）。类似地，当θ≤ τ<θ方程（88）允许每0≤ ζ ≤ s（0，τ）唯一解τwait（τ，ζ）∈ （0，τ）。我们现在准备引入第二个自由边界函数（τ，ζ）7→域[0]上的φbuy（τ，ζ）+∞). 对于给定τ≥ 0, ζ ≥ 0，我们区分以下情况：1。对于ζ>ζ买（τ，’ζ（0），’Д（0），0）=ζ买（τ，2u/κ，0，0），我们设置φ买（τ，ζ），φ卖（τ，-ζ） （90）（66）中给出的φsellas以及备注5.3.2。对于？ζ（τ）<ζ≤^ζbuy（τ，’ζ（0），’Д（0），0）我们设置φbuy（τ，ζ），^Дbuyτ,ζ(τ - τbuy（τ，ζ）），(R)（τ- τbuy（τ，ζ）），τ- τ购买（τ，ζ）（91）分别使用（79）和（85）中定义的^Иbuy和τbuy（τ，ζ）。3.