a中效用最大化问题的显式解

函数v：(R)O×M 7→ R是（11）在o中的一个V余弦解，如果每个i∈ M、 v（·，·，i）是连续的，并且下列条件成立：（i）v（·，·，i）是（1 1）in O的粘度上解，that是，如果对于任何测试函数φ∈ C（(R)O）和任何局部最小值（x，t）∈ O/v- φ随f（x，t，i，v（x，t，i），φt（x，t），φx（x，t），φxx（x，t））≥ 0.（ii）v（·，·，i）是（11）在O，t中的一个vis cosity亚解，即，如果f或任何测试函数φ∈ C（(R)O）和任何局部最大值（x，t）∈ O/v- φ随f（x，t，i，v（x，t，i），φt（x，t），φx（x，t），φxx（x，t））≤ 定义3。函数v：(R)O×M 7→ R是O×M上（11）的约束vi s余弦解，如果对于每个i，v（·，·，i）是O（O）上（11）的粘度上解（分别为亚解）。在本节中，我们将使用Ex，t，i[·]来表示条件期望E[·| Xt=x，Yt=i]。4.1. 值函数的分析性质在这一小节中，我们给出了值函数的一些性质，这些性质对于在适当的类中约束粘性解的存在性和唯一性是必要的。提案4.1。值函数V满足| V（x，t，i）|≤ O（xγ）。项目。假设U（x）=xγγ，且容许控制满足线性增长条件，则结果来自于状态切换影响力矩的估计（见[26]附录a中的界限N）。提案4.2。函数V（·，t，i）是凹的且在[0，∞),对于每个固定的t∈ [0，T），i∈ M、 项目。设x，x≥ 0，t∈ [0，T），i∈ M、 由于t hewealth动力学（1）对控制θ和初始条件x的线性依赖性，因此对于任何θ∈ A（x，t，i）和θ∈ A（x，t，i）和固定λ∈ (0, 1)θ := λθ+ (1 - λ)θ∈ A（λx+（1- λ） x，t，i）。对于>0，假设θ，θ是-分别对V（x，t，i）和V（x，t，i）进行最优控制。

利用效用函数U的凹性，我们得到v（λx+（1- λ） x、t、i）≥ J（λx+（1- λ） x，t，i；θ)≥ λJ（x，t，i；θ）+（1- λ） J（x，t，i；θ）≥ λV（x，t，i）+（1- λ） V（x，t，i）- 证明了参数x中V的凹度，因为>0可以变得非常小。现在假设x≤ x、 利用随机微分方程解的标准路径比较定理（见第IX.3【27】节），我们得到了thatXt，xs≤ Xt，XS用于所有s≥ t a.s.式中，Xt，Xt=x和Xt，Xt=x。这将产生A（x，t，i） A（x，t，i），这意味着V作为x的函数是非递减的。命题4.2以及V（·，t，i）在x=0时的连续性（c.f.[28]），使得V（·，t，i）在[0]中是Lipschitz连续的，∞).提案4.3。函数V（x，·，i）为1/2-对于每个固定的x，在x的邻域上均匀地在[0，T]中的H¨older连续∈ [0, ∞), 我∈ M、 项目。让0≤ t<t≤ T根据动态规划原理，| V（x，t，i）- V（x，t，i）|=supθ∈A（x，t，i）Ex，t，i[V（Xt，t，Yt）]- V（x，t，i）≤ supθ∈A（x，t，i）Ex，t，i[| V（Xt，t，Yt）- V（x，t，i）|]≤ N′supθ∈A（x，t，i）Ex，t，i[| Xt- x |]对于某些常数N′>0，其中最后一个不等式是由于V（·，t，i）的Lipschitz连续性。假设A（x，t，i）中的容许控制满足线性g-rowth条件，则| V（x，t，i）- V（x，t，i）|≤ N | t- t | 1/2式中，N依赖于N′，x，i，t，且其作为x的函数是连续的（参见[26]中命题2.1的证明），从而得出证明。4.2. 约束粘性解的存在性命题4.4。函数V的值：(R)O×M 7→ R是O×M.Proo f上（11）的约束粘性解。修复i∈ M第1步。我们首先证明V（·，·，i）是O中（11）的粘度上解。

Letφ∈ C（(R)O）和（x，t）∈ O至少为V-邻域N（x，t）中的φ O、 我们想证明0≥ 最大θ∈Rθσ（i）φxx（x，t）+θ（u（i）- r（i））φx（x，t）+ r（i）xφx（x，t）+φt（x，t）+QV（x，t，·）（i）。（12） Letθ∈ A（x，t，i）是常数控制，即θs≡ θ ∈ R代表所有s≥ t、 设X为（1）的唯一解，使用从Xt=X开始的θ，并支持马尔可夫链从Yt=i开始。定义停止时间τ：=inf{s≥ t： （Xs，s）/∈ N（x，t）}∧ inf{s≥ t:Ys6=Yt}。我们还定义了函数Φ（x，t，j）：=（φ（x，t）如果j=i，V（x，t，j）如果j 6=i。一方面，动态编程原理意味着t hatV（x，t，i）≥ Ex，t，i[V（Xs∧τ、 s∧ τ、 Ys公司∧τ)]. （13） 另一方面，g将适用于Φ（Xs，s，Ys）的It^o状态切换差异公式（参见例[23]）进行了一般化，给出了（为了简单起见，我们省略了Φ对参数的依赖）dΦ（Xs，s，Ys）=Φtds+Φx[θ（u（Ys））- r（Ys））+r（Ys）Xs]ds+Φxxθσ（Ys）ds+QΦ（Xs，s，·）（i）ds+dms其中Ms=RstΦx（Xu，Yu）σ（Yu）θdBu。根据假设，φxis连续，因此Φx（Xu，u，Yu）有界于u∈ [t，s∧ τ]. 此外，σ（Yu）对于anyu也是有界的。然后进程{Ms∧τ} t型≤s≤这是一个平方可积鞅（参见。

[27]），我们得到Dynkin的公式，t，i[Φ（Xs∧τ、 s∧ τ、 Ys公司∧τ） ]=Ex，t，i[φ（Xs∧τ、 s∧ τ）]=φ（x，t）+Ex，t，iZs公司∧τtθσ（i）φxx+[θ（u（i））- r（i））+r（i）Xu]φx+φt+QV（Xu，u，·）（i）杜邦（14） 这里我们省略了φ的导数对（Xu，u）的依赖性。结合（13）和（14），再加上（x，t）是最小inN（x，t），我们得到0≥ Ex、t、iZs公司∧τtθσ（i）φxx+[θ（u（i））- r（i））+r（i）Xu]φx+φt+QV（Xu，u，·）（i）杜邦.（15） 除以s-tand使用φx，φxx，φtand V（·，·，j）f或任何j在（x，t）处是连续的，以及x的路径的连续性→ twe获得0≥θσ（i）φxx（x，t）+[θ（u（i））-r（i））+r（i）x]φx（x，t）+φt（x，t）+QV（x，t，·）（i）（16），这对于任何θ都是正确的∈ R、 因此，（1）和（2）中的权利要求如下。第2步。现在我们证明了V（·，·，i）是O上（11）的粘度亚解。Letφ∈ C（(R)O）和（x，t）∈\'O局部最大值V- φ. 我们想证明（12）在反向不等式中成立。然而，由于控制空间（θ）缺乏紧性∈ R） ，出现了一些技术难题。我们使用一种常见的技巧，即粘度解的稳定性（c.f[11]），通过一系列值函数VN来近似V，该值函数具有紧凑的控制空间，该控制空间是修改后的HJB方程在'O上的粘度子解。即，definevn（x，t，i）：=supθ∈An（x，t，i）J（x，t，i；θ），其中An（x，t，i）={θ∈ A（x，t，i）：|θs |≤ n、 a.s。s≥ t} 。对紧凑控制空间的需求将在下文中显而易见。这足以表明，Vn是修改后的HJBequation Fn（x，t，i，v，vt，vx，vxx）=0的粘度亚解，其中Fn为（11）中的f，用H替换为byhn（x，t，i，p，a）：=min |θ|≤n-θσ（i）A- θ（u（i）- r（i））p- r（i）xp。根据稳定性性质，我们得到了如果Vn（·，·，i）→ V（·，·，i）局部均匀地分布在‘‘O’上，V是‘‘O（c.f。

【29】中的定理4.1。我们继续证明修正后的值函数Vn是闭合域O上Fn（x，t，i，v，vt，vx，vxx）=0的粘度亚解。为此，我们需要证明φ∈ C（(R)O）和（x，t）∈\'O Vn的本地最大值- φ,0 ≤ 最大|θ|≤nθσ（i）φxx（x，t）+θ（u（i）- r（i））φx（x，t）+ r（i）xφx（x，t）+φt（x，t）+QVn（x，t，·）（i）。（17） 通过矛盾，假设（17）不是真的。然后有一个测试函数φ∈C（(R)O）和局部最大值（x，t）∈“”Vn的O- φ使得（17）中右侧的负值严格为正。利用Fn的连续性，如果>0，则存在一个邻域N（x，t）\'\'O以便<- 最大|θ|≤nθσ（i）φxx（x，t）+θ（u（i）- r（i））φx（x，t）- r（i）xφx（x，t）- φt（x，t）- QVn（x，t，·）（i）。（18） 在不丧失一般性的情况下，我们可以假设Vn（x，t，i）=φ（x，t），这意味着Vn（x，t，i）≤ φ（x，t）in N（x，t）。下面，我们在[16]中给出了一个n参数。设h>0足够小，以便[t，t+h） [0，T）。设θ=（θu）T≤u≤Tbe anh公司-An（x，t，i）中的最优控制，并设x为（1）的唯一解，其中Xt=x使用此θ。同时确定停止时间τ：=（t+h）∧ inf{s≥ t： （Xs，s）/∈ N（x，t）}∧ inf{s≥ t:Ys6=Yt}。动态规划原理意味着vn（x，t，i）-h≤ Ex，t，i[Vn（Xτ，τ，Yτ）]与Dynkin公式（由于控制θ有界，因此该公式成立）相结合，得出φ（X，t）-h≤ Ex，t，i[φ（Xτ，τ）]=φ（X，t）+Ex，t，iZτtθuσ（i）φxx+[θu（u（i））- r（i））+r（i）Xu]φx+φt+QVn（Xu，u，·）（i）杜邦.使用（18）中的不等式，我们暗示-h≤ -Ex，t，i[τ- t] 然后除以h，我们得到-+Ex，t，i[τ- t] h类≤ 0.T最大限值为h↓ 0，可以看出Ex，t，i[τ- t] /小时→ 1（见【16】）。这意味着≤ 0，这是一个矛盾。因此（1 7）成立，Vn是Fn（x，t，i，v，vt，vx，vxx）=0 on'O（根据需要）的解。综上所述，观察Vn随n和Vn的增加而增加≤ 五、

另一方面，对于任何-最优控制θ∈ A（x，t，i），θ∧n∈ An（x，t，i），并利用效用函数U从下有界，以及x动力学中控制θ的线性，Fatou引理暗示lim影响→∞J（x，t，i；θ）∧n）≥ J（x，t，i；θ）。这些断言yieldVn（x，t，i）≤ V（x，t，i）≤ J（x，t，i；θ）+≤ J（x，t，i；θ）∧ n） +≤ Vn（x，t，i）+。因此，Vn（·，·，i）在O上逐点收敛到V（·，·，i），并且假设V（·，·，i）是连续的，则局部一致收敛成立。4.3. 唯一的是，在本节的其余部分中，我们断言值函数是凹函数类x中O上（11）的唯一约束粘性解，并且满足边界条件V（x，t，i）=U（x），x∈ [0, ∞).粗略地说，当处理开集（如O）中的（无约束）粘性解时，唯一性结果的经典方法是基于maximumprinciple，它检查v的最大值- w在O上，其中v是O上的粘度亚解，w是O上的粘度上解。实际上，如果v≤ w英寸O然后是SUPO（v- w）≤ 0（参见例[18]）。因此，值函数是O中唯一的粘性解，具有特定的边界条件O、 应用这一经典比较结果的主要困难有两个：（i）控制集是无界的，（ii）我们无法先验地知道值函数在域的整个边界上的行为。我们分别陈述了比较和平滑结果，Pro位置4.5和Proposition4.7，无需证明，技术细节请参考[11]和[2 5]。在仔细考虑后，可以根据我们的上下文改编[11]中定理4.2和[25]中定理4.1和5.1的证明中的论点。

HJB方程的主要结构差异首先在于解释马尔科夫链跳跃的额外项（这很容易处理，因为V作为i的函数有界，并且对于每个i是连续的），其次，在存在时间参数的情况下，时间参数可以作为附加状态参数纳入其上下文中。他们研究了无限期投资和消费问题，这为他们的HJB方程添加了一些术语，解释了消费过程的动态。因此，本文中的论点与主要关于解的粘度性质和值函数的分析性质的论点非常相似和冗长，因此我们将读者引见[11]和[25]以了解详细的论点。提案4.5。让u，v：(R)O×M→ 对于每个∈ M、 （i）u（·，·，i）是O上（11）的粘度亚解，是第一个参数中的凹上半连续函数，（ii）v（·，·，i）i是O上（11）的粘度上解，从下界，在O上均匀连续，在O上局部H¨older连续。还假设对于某些局部有界的D，E：[0，T]→ [0, ∞)|v（x，t，i）|≤ D（t）+E（t）xγ。（19） 然后u（·，·，i）≤ 注意，从命题4.2和4.3来看，值函数v在O上的一致连续性遵循。我们应该对最后一个命题中的条件进行评论。粘度下解和上解的连续性消耗比必要的更大，但使表示更加简单。实际上，如果粘度溶液是连续的，那么它既是上半连续的，也是下半连续的。然后，在定义2中，我们可以允许粘度上解（下解，分别为）仅为下部（分别为上部）-半连续的。为了简化符号，根据[11]和[25]，我们写y=（x，t）∈\'O.Fix i∈ M

自相矛盾地假设∈\'O[u（y，i）- v（y，i）]>0。（20） 然后对于c>0足够小且λ∈ （γ，1），sup（x，t）∈\'O[u（y，i）- v（y，i）- c（x+t）λ]>0。（19）中的条件以及v从下方有界的事实，意味着达到了上述上确界，supy∈\'O[u（y，i）- v（y，i）- c（x+t）λ]=u（(R)y，i）- v（y，i）- c（\'x+\'t）λ>0。接下来，应用变量加倍的思想，对于δ>0 small和η∈ R、 定义函数φ：(R)O→ R、 对于y=（x，t），z=（x′，t′），乘以φ（y，z）：=u（y，i）- v（z，i）-z- yδ- 4η- c（x+t）λ。在发送δ时，按照[11]和[25]中的proo f，使用此符号↓ 0，c↓ 0和η↓ （0，0），可以看出（20）是矛盾的。如果w是O上（11）的约束粘度解，则粘度亚解和上解的标准比较结果得出V≤ w在O×M中。此外，如果w与V，V具有相同的边界条件≤ w在O×M上。现在进一步假设w在x上是凹的，那么上述命题以及值函数的正则性性质得出w≤ V在O×M上，下面的推论是直接的。推论4.6。（5）中的值函数V是x中凹函数类中的HJB方程（11）在O×M上的唯一约束粘度解，x的终端条件V（x，T，i）=U（x∈ [0, ∞).提案4.7。（5）中的变量函数V是C类中唯一的函数（[0，∞)×【0，T】）∩C2,1（（0，∞)×[0，T]）相对于参数（x，T）和凹面x，满足HJB方程supθ∈RLθV（x，t，i）=0，（21），对于x，终端条件V（x，t，i）=U（x）∈ [0, ∞).证明遵循定理5.1，f=+∞ 在【25】和我们现在陈述的一些自然适当的修改中。我们需要考虑时间参数。

Zariphopoulou指出，文献[25]中的值函数v在区间（x，x）中求解统一的HJB方程 [0, ∞) 利用边界条件v（x），v（x），以及粘性解的唯一性，得出v是光滑的（x，x）。在我们的上下文中，可以证明V在开放矩形R=（x，x）×（t，t）中求解统一抛物线HJB方程 [0, ∞) ×[0，T]带边界条件sv（x，T，i），x∈ （x，x）V（x，t，i），（x，t）∈ {x，x}×[t，t）在使用类似于命题4.5的局部化参数（将马尔科夫链冻结到第一次循环时间）时，暗示t V（·，·，i）在R中是光滑的（例如，见[30]中的定理6.3.6）。我们以以下重要结果结束本节。定理4.8。值函数由V（x，t，i）=U（x）g（i，t）给出- t） 其中g（i，t- t） 在（10）中。此外，反馈最优交易策略由θ给出*s=°θ（X*s、 s，Ys）wi，th′θ（x，t，i）=[u（i）- r（i）]x（1- γ） σ（i），其中X*是解（1）w i thθ的最优财富过程*.观察投资于风险资产的财富的最佳比例，即θ*s/X*s、 r emains在每种制度下都是常数，这与市场制度不变时的默顿比例一致。很容易验证候选函数V（x，t，i）=U（x）g（i，t- t） 如第3节所述，满足提案4.7的所有要求。事实是V（·，·，i）∈ C（[0，∞) ×[0，T]）和V（·，·，i）∈ C2,1（（0，∞) ×[0，T）），从u开始∈ C（（0，∞)) g（i，T）的Feynman-Kac表示-t） 在（10）中。此外，效用函数U在x上是严格凹的，候选函数V也是凹的。U（x）g（i，T- t） 通过构造满足HJB方程。此外，由于V是凹的，因此交易策略θ*在（7）中有效。

实际上，θ的代换*s=[u（Ys）- r（Ys）]X*s（1- γ） σ（Ys）in（1）givesdX*s=X*sΦ（Ys）（1- γ） +r（Ys）ds+X*sΦ（Ys）（1- γ） 星展银行，X*t=x，其中Φ（y）=[u（y）- r（y）]/σ（y）是夏普比。然后，在策略θ下*,如果x>0，财富保持为正；如果x=0，财富被吸收为零。它仍然表明θ*是一种可接受的策略。为了看到这一点，我们使用Radon-Nikodym导数的测量范围PdP=expZTtΦ（Yu）adBu-ZTtΦ（Yu）adu并观察That tE[（X*s） | Ft]=xEheRstr（Yu）du | Fti。从今以后，对于任何∈ [t，t]，E[（θ*s） |英尺]≤ K e2（s-t） “rwhere”r=最大值∈Mr（i）和K=（xamaxi∈MΦ（i）），这与Fubini的理论一起意味着交易策略θ*满足可积条件（3）且可容许。在功率效用U（x）=γxγ，γ<1，γ6=0的情况下，通过拉普拉斯变换计算值函数。当没有区域切换时，（5）中的优化问题对应于经典的Merton问题（[3，4]），众所周知，该问题的解由v（x，t）=γxγe给出γ1-γ(u-r） 2σ+γr（T-t） （22）带θ*s=（u- r） X个*s（1- γ)σ.在区域切换情况下，我们发现解由v（x，t，i）=γxγg（i，t）给出- t） （23）其中g（i，t- t） 在（10）中，g（i，0）=1，θ*sis如定理4.8所示。接下来我们将演示如何显式计算g（i，T- t） 通过L A空间变换方法。给定一个指数级的连续f函数f（t）（即| f（t）|≤ 对于某些K>0和p≥ 0），F的拉普拉斯变换是由{F（t）}（u）=Z定义的函数∞F（t）e-utdt。在下文中，我们使用拉普拉斯变换的两个基本性质（c.f.[31]）来显式计算值函数。