a中效用最大化问题的显式解

也就是说，L{F（t）}（u）=n！（u+b）n+1，如果F（t）=tne-bt和两个函数卷积的拉普拉斯变换ZtF（s）G（t- s） ds公司（u） =L{F（t）}L{G（t）}（u）。我们现在集中讨论函数g（i，T）的计算- t） 在（10）f中，每个i=1，2，求解耦合PDEgt的m- Qg（·，T）- t） （i）+δ（i）g=0g（i，0）=1使用拉普拉斯变换，该方法可应用于任何一组参数{δ（i）∈ R：i=1，2，m} 。我们知道解的随机表示由g（i，T）给出- t） =E经验值-ZT公司-tδ（Yu）du| Y=i.请注意，我们不要求δ（i）有一个特定的符号，以使随机表示有效，因为δ（Yu）是分段常数，因此是统一边界的。我们特别感兴趣的是δ（i）=-γ（u（i）- r（i））2（1）- γ） σ（i）+r（i）这是针对具有幂效用函数的投资者的优化问题。在初始条件Y=i的条件下，考虑马尔可夫链从状态i的第一跳时间，τi：=inf{t≥ 0:Yt6=i}。τ是一个具有参数qi的指数分布随机变量。然后，通过将期望分解为事件{τi>T- t} 和{τi≤ T- t} ，很容易看出G（i，t- t） =e-（δ（i）+qi）（T-t） +Xj6=iqijZT-te公司-（δ（i）+qi）sE经验值-ZT公司-tsδ（Yu）du| τi=s，Ys=jdsand根据马尔可夫性质，这个简单的tog（i，T- t） =e-（δ（i）+qi）（T-t） +Xj6=iqijZT-te公司-（δ（i）+qi）sg（j，T- t型- s） ds。（24）对于每个i=1，2，…，Ta king Laplace变换，m、 我们得到了{g（i，T- t） }（u）=u+δ（i）+qi+Xj6=iqiju+δ（i）+qiL{g（j，t- t） }（u），它给出了m个未知量中的m个方程的线性系统。设置di：=u+δ（i）+qi系统可写为D-q-q-q1m-qD公司-q-q2m-q-qD。-q3m。。。。。。。。。。。。。。。-qm1-qm2-qm3。Dm公司L{g（1，T- t） }（u）L{g（2，t）- t） }（u）L{g（3，t- t） }（u）。。。L{g（m，T- t） }（u）=....

（25）该线性系统的解给出了以u为单位的适当函数形式的拉普拉斯变换。采用逆拉普拉斯变换给出了函数g（i，T）的期望解- t） 。例如，在m=2的情况下，使用该q≡ q和q≡ qwe o btainL{g（1，T- t） }（u）=DqD+qDD- qq+ 1.andL{g（2，T- t） }（u）=D+qDD- qq。当i=1，2时，替换参数产生适当的有理函数l{g（i，T- t） }（u）=u+αiu+βu+β，其中α：=δ（2）+q+qα：=δ（1）+q+qβ：=δ（1）δ（2）+δ（1）q+δ（2）qβ：=δ（1）+δ（2）+q+q。设u，ube二次多项式u+βu+β=0的根。简单计算表明β- 4β>0，因此有两个不同的实根。那么拉普拉斯逆变换为，对于i=1，2，g（i，T- t） =u- u（u+αi）eu（T-t）- （u+αi）eu（T-t）.注意，该表达式与终端条件g（i，0）=1一致。一般来说，我们得出以下结果。定理5.1。对于每个i=1，2，m、 g（i，T）的拉普拉斯变换- t） arein形式为{g（i，t- t） }（u）=um-1+αi，m-2微米-2+···+αi，0um+βm-1百万-1+ · · · + β. （26）拉普拉斯变换的严格正确有理函数形式是克莱默规则的直接结果。（26）的分母与（25）左侧系数矩阵的行列式一致。查找函数G（i，T）的问题-t） 对于每个i=1，2，然后，m使用部分fr作用将有理函数分解为（26），并应用拉普拉斯逆变换。本节介绍的拉普拉斯变换m方法提供了一种数值求解普通微分方程相关耦合线性系统的替代方法，这是经典方法。

此外，这一思想还可以在涉及混合系统的其他应用中加以利用。值得注意的是，考虑到（24）中涉及的简单函数，我们只需要拉普拉斯变换的基本性质，就可以采用该方法，即卷积子的线性和拉普拉斯变换的乘积。这些特性也适用于f或其他变换，如傅里叶变换和Z变换（拉普拉斯变换的离散形式，可用于求解耦合微分方程）。因此，只要相关函数的变换定义良好，也可以使用其他变换计算值函数。数值示例考虑两态马尔可夫链和以下参数：术语isT- t=0.5，and q=20，u（1）=0.5，σ（1）=0.3，r（1）=0.05，q=30，u（2）=0.1，σ（2）=0.5，r（2）=0.05。我们认为马尔可夫链的状态e 1是牛市机制的模型，状态2是熊市机制的模型。这些参数反映了对牛市和熊市现象的实证研究：牛市往往比熊市持续的时间更长，因此q比q小。此外，熊市期间股票回报率较低，波动性较高（c.f.[32]）。表1报告了函数g（1，T）的值-t） 和g（2，t-t） 在不同的厌恶参数下。终端财富的预期效用随着风险厌恶程度的增加而增加，如果交易开始于牛市，则预期效用更高。在表2中，我们比较了当离开BullRegion的速率接近零时值函数的行为。

γ=0.1，u=u（1），σ=σ（1），r=r（1）的默顿溶液（22）中的指数因子为γ1-γ(u-r） 2σ+γr（T-t）≈ 1.0 67159直觉上，如果当马氏链在t hebull区域和g（1，t- t） 接近默顿指数因子。数值试验如表2所示。表1：g（i，T）值- t） 在不同γ下具有两个区域的模型中。γg（1，T- t） g（2，t- t） 0.1 1.0419994 1.039409820.3 1.1699096 1.15874310.5 1.4372864 1.405521910.9 28.9779109 23.8092044表2：g（i，t）的行为- t） 当QT结束为零时。qg（1，T- t） g（2，t- t） 20 1.0419994 1.039409810 1.0515394 1.04827551 1.0651643 1.0609050.1 1.0669539 1.06256080.001 1.067157 1.062749最后，表3报告了函数g（1，t- t） ，g（2，t- t） andg（3，t- t） 在三态马尔可夫链模型下的不同风险规避参数下，并假设以下参数：术语为t- t=0.5，and q=20，q=1，q=19，u（1）=0.5，σ（1）=0。3，r（1）=0.05，q=30，q=25，q=5，u（2）=0。1，σ（2）=0.5，r（2）=0.05，q=10，q=2，q=8，u（3）=0。3，σ（3）=0.7，r（3）=0.05。表3：g（i，T）值- t）不同γ下的三种状态。γg（1，T- t） g（2，t- t） g（3，t- t） 0.1 1.0241558 1.0221445 1.01951090.3 1.0946191 1.08632994 1.0755 2750.5 1.231227 1.2 0948267 1.18139470.9 7 7.9600128 6.71060261 5.31 8159987。结论在本文中，我们考虑了一个代理人，其目标是通过随机区域切换动力学对债券和风险资产进行最优投资，从而使其财富效用最大化。

假设代理人的风险偏好是用幂效用函数建模的，我们通过求解相关的退化抛物型Hamilton-Jacobi-Bellman方程，导出了最优交易策略，并证明了该值函数是根据给定线性系统的解的Laplace逆变换显式给出的，该逆变换依赖于问题的参数。该方法可以应用于涉及区域切换的其他优化问题，并且可以应用其他具有相同基本特性的变换，例如线性和卷积变换等于变换的乘积。power utility的关键特征是，我们可以将相关PDE中的状态变量数量减少一个，这允许我们利用Feynman-Kac定理编写值函数的显式解。这种表示便于使用拉普拉斯变换进行计算。致谢作者感谢评委们的宝贵意见，这些意见在许多方面极大地帮助了论文的改进。参考文献[1]Hamilton，J.D.（1989）：非平稳时间序列和商业周期经济分析的新方法，计量经济学57357-384。[2] Pereiro L.E.，Gonz\'alez-R ozada，M.（2015）：regimeswitching markets中的预测价格，J.Portfolio Manage。41, 133- 139.[3] Merton，R.C.（1969）：不确定性下的终身投资组合选择：连续时间案例，修订版。经济。Stat.51247-257。[4] Merton，R.C.（1971）：连续时间模型中的最优消费和港口对账单规则，J.Econ。理论3，37 3-413。[5] Sass，J.，Haussmann，U.G。（2004）：部分信息下的终端财富优化：作为连续时间马尔可夫链的漂移过程。财务随机性。8, 5 53-577.[6] Nagai，H.，Runggaldier，W.J。

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