a中效用最大化问题的显式解

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英文标题：
《Explicit solutions to utility maximization problems in a
  regime-switching market model via Laplace transforms》
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作者：
Adriana Ocejo
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We study the problem of utility maximization from terminal wealth in which an agent optimally builds her portfolio by investing in a bond and a risky asset. The asset price dynamics follow a diffusion process with regime-switching coefficients modeled by a continuous-time finite-state Markov chain. We consider an investor with a Constant Relative Risk Aversion (CRRA) utility function. We deduce the associated Hamilton-Jacobi-Bellman equation to construct the solution and the optimal trading strategy and verify optimality by showing that the value function is the unique constrained viscosity solution of the HJB equation. By means of a Laplace transform method, we show how to explicitly compute the value function and illustrate the method with the two- and three-states cases. This method is interesting in its own right and can be adapted in other applications involving hybrid systems and using other types of transforms with basic properties similar to the Laplace transform.
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中文摘要：
我们研究了终端财富的效用最大化问题，在此问题中，代理人通过投资债券和风险资产最优地构建其投资组合。资产价格动态遵循一个扩散过程，制度转换系数由连续时间有限状态马尔可夫链建模。我们考虑一个具有常数相对风险厌恶（CRRA）效用函数的投资者。我们推导了相关的Hamilton-Jacobi-Bellman方程来构造解和最优交易策略，并通过证明值函数是HJB方程的唯一约束粘性解来验证最优性。通过拉普拉斯变换方法，我们展示了如何显式计算值函数，并用两态和三态情况说明了该方法。这种方法本身就很有趣，可以在涉及混合系统的其他应用中进行调整，并使用具有类似于拉普拉斯变换的基本特性的其他类型的变换。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Explicit_solutions_to_utility_maximization_problems_in_a_regime-switching_market.pdf (254.21 KB)

2022-6-10 00:46:47 上传

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关键词：效用最大化 最大化 maximization Applications Optimization

通过拉普拉斯变换明确解决体制转换市场模型中的效用最大化问题北卡罗来纳大学夏洛特分校数学与统计系，9201大学城大道。，北卡罗来纳州夏洛特，28223。摘要我们研究了终端财富中的效用最大化问题，在这个问题中，管理者通过投资债券和风险资产来最优地构建投资组合。资产价格动态遵循一个由连续时间有限状态马尔可夫链建模的制度转换系数的扩散过程。我们考虑具有常数相对风险规避（CRRA）效用函数的投资者。我们推导了关联的Hamilton-Jacobi-Bellman方程来构造解和最优交易策略，并通过证明值函数是HJB方程的唯一约束粘性解来验证最优性。通过Laplacetransform方法，我们展示了如何显式计算值函数，并用两态和三态的情况说明了该方法。这种方法本身很有意思，可以在涉及混合系统的其他应用中使用，也可以使用其他类型的变换，这些变换的基本性质类似于拉普拉斯变换。关键词：投资组合优化、效用最大化、制度转换、拉普拉斯变换。2010 MSC：主93C30、93E20；次级37N40、49L20.1。引言在本文中，我们研究了一个代理人的投资问题，其投资组合是通过投资债券和风险资产构建的，其价格动态遵循一个带有制度转换系数的扩散过程，由一个可观察的电子邮件地址建模：amonge2@uncc.edu（Adriana Ocejo）提交非线性分析预印本：混合系统2018年4月24日连续时间有限状态马尔可夫链。

代理人的目标是最大化终端财富的预期效用。经验表明，中央市场的制度变化可能是由于经济或重大政治事件的突然变化。体制转换过程最初由Hamilton提出，他在分析政府债券收益率时，研究了通过未观察到的离散时间两状态马尔可夫链将变化纳入离散时间模型参数的影响[1]。自那以后，许多实证研究认为，制度转换模型有助于更好地预测市场价格行为。最近，Pereiroand Gonz\'alez Rozada【2】分析了全球股市样本的市场指数，以测试制度的存在。他们得出的结论是，分别有68%和37%的新兴和发达股票市场显示了制度转换的存在，包括美国的SPX。连续时间数据中的投资组合优化问题与费默顿的工作不同【3】，【4】，他提出市场风险是由布朗运动驱动的。在制度转换动力学的背景下，辅助马尔可夫过程决定了市场制度，在关于制度信息如何可供代理人使用的不同假设下，研究了终端财富的效用最大化问题。对于马尔可夫链被隐藏或不被直接观测的部分可观测区域，请参见Sass和Haussmann【5】、Nagai和Runggaldier【6】及其参考文献。作者认为，很难获得显式解析解，必须通过数值确定最优策略和价值函数。在完全可观察的情况下，对于具有对数或电力公用事业的投资者，Capponi和Fig ueroa-L'opez【7】和Fu等人。

[8] 考虑一下，除了无风险债券和风险股票之外，还有一个额外期限的对账单。在[7]中，作者考虑了违约风险，并将可违约债券纳入投资组合。它们允许制度相关的短期利率、漂移、波动性和违约强度。通过将问题分为预设前后的优化子问题，假设关联的HJB方程具有光滑解，他们为每个子问题提供相关的验证模型，并构建值函数作为普通微分方程耦合线性系统的解。Fuet al.[8]考虑一个投资组合，该投资组合还包含股票期权。它们将值函数近似为辅助问题值函数序列的极限。Zhang和Yin[9]考虑了效用函数的一个相当一般的设置，包括幂函数、对数函数和指数函数，这与我们的论文更为相关，因为投资组合仅由阿里斯克自由债券和风险资产构成。然而，由于这种普遍性，关联控制问题的HJB方程很难显式求解。然后，他们选择使用奇异摄动方法解决问题，并成功地获得了入耳最优分配策略。在本文中，我们假设短期利率以及风险资产的回报率和波动率取决于市场机制。市场状态由可观察的连续时间和有限状态马尔可夫链建模。我们允许投资于风险资产的现金金额不受限制。由于对控制集的这种宽松假设，与最大化问题相关的HJB方程是退化抛物型的。

因此，不能假设存在光滑解V，也不可能基于It^o公式的应用得到经典验证结果。粘度解的概念已成功地应用于许多情况下，当PDE方程的smoot h解不存在时。例如，在随机控制问题的情况下，非详尽列表包括Lions【10】、Du ffe和Zariphopoulou【11】、Du ffe等人【12】、Ko unta【13】和其他人的工作。在最优停止问题的情况下，Pemy和Zhang【14】，Li【15】，Bianet al【16】。对于二阶偏微分方程粘性解理论的一般概述，我们参考Crandall、Ishii和L离子[17]，对于它们与随机优化问题的关系，我们参考Fleming和Soner[18]。我们将证明，在某种特定意义上，V是相关HJB方程在适当类别函数中的唯一约束粘度解。本文的主要贡献之一是，我们提出了一种基于逆拉普拉斯变换显式计算价值函数的简单方法，这是投资组合优化问题文献中的一个新观点。我们认为，这个想法可以很容易地应用到其他优化问题中，涉及到区域切换差异，并且本身就很有趣。论文的其余部分组织如下。第2节介绍了模型动力学和问题公式。在第三节中，我们利用鞅和动态规划参数启发式地构造了一个候选交易（投资组合分配）策略和价值函数。

在第4节中，我们展示了V是相关HJB方程的唯一约束粘度解，从某种意义上讲，这将在后面具体说明，并且验证了候选解满足所有必要条件，这意味着它与值函数一致。我们还以反馈控制的形式获得最优分配策略。第5节介绍了计算值函数的Laplacetransform方法，第6节提供了一些数值实验。最后一节总结了主要结果。2、模型动力学和问题集合(Ohm, F、 P）是支持布朗运动B=（Bt）t的概率空间≥0和连续时间马尔可夫链Y=（Yt）t≥0具有有限状态空间m={1，2，…，m}和生成器Q=（qij）m×m，其满足qij≥ 0表示i 6=j，Xj∈Mqij=0，qi：=-qii>0。我们用F=（Ft）t表示≥0 B andY产生的过滤比n的P-增加。[19]中的引理2.5确保了B和Y是独立的。设P=（Pt）t≥0和S=（St）t≥0分别表示债券和风险资产的价格。我们假设这些过程满足马尔可夫调制动态SDPT=r（Yt）Ptdt，dSt=u（Yt）Stdt+σ（Yt）stdbt，其中r（i）>0，u（i）>0和σ（i）>0分别表示无风险利率、资产回报率和制度i的波动率。每次s∈ [t，t]，0≤ t型≤ T，代理人选择投资于资产的现金金额θ，并分配剩余财富Xs-θsin键。

我们不施加投资组合约束，特别是允许卖空（θs<0）。假设自我融资条件，他的财富过程X=（Xs）s≥t受控随机微分方程dxs=θs[u（Ys）- r（Ys）]ds+r（Ys）Xsds+θsσ（Ys）dBs，（1）初始赋能Xt=x≥ 0，并规定财富保持非负增长≥ 0，对于所有s≥ 我们对反馈型控制θ=（θs）t感兴趣≤s≤对于某些函数θ（x，s，i），形式θs=’θ（Xs，s，Ys）：[0，∞) ×【0，T】×M 7→ 对于每个i，’θ（·，·，i）是Borel可测的。确保区域切换随机微分方程解的存在性和（路径）唯一性的充分条件（c.f.【20】、【21】中的定理4.1）需要系数的线性增长和Lipschitz条件。在（1）具有反馈控制的情况下，我们假设存在常数K，K>0，这样对于每个i，|θ（x，t，i）|≤ K（1+| x |），和|θ（x，t，i）-\'θ（y，t，i）|≤ K | x- y |。（2） 定义1。给定Xt=x，Yt=i，交易策略θ=（θs）t≤s≤如果它是满足（2）可积条件的反馈类型，则称之为可容许的ZTtθsds | Ft< ∞ （3） 保持，并且（1）中SDE的唯一解Xs使用该θ满足静态经济约束Xs≥ 所有s为0≥ 我们用a（x，i，t）表示所有可容许交易策略的集合。注意，可积性条件（3）确保了（1）中的随机积分得到了很好的定义。代理人的风险偏好由效用函数U表示：[0，∞ ) →严格递增、严格凹且连续两次可微分的R。A（x）上绝对风险规避的相关Arrow-Pratt系数=-U′（x）/U′（x）被解释为对风险厌恶的衡量标准【22】。

在本文中，我们考虑了具有常数相对风险厌恶（CRRA）的效用函数，即对于XA（x）=a，x>0，（4），其中a是一个正常数。我们专门研究幂效用U（x）=γxγ，风险规避参数γ<1，γ6=0。此处a=1- γ.代理人的目标是在整个θ上最大化财富j（x，t，i；θ）=E[U（XT）| XT=x，Yt=i]的预期效用∈ A（x，t，i）并找到值函数v（x，t，i）=supθ∈A（x，t，i）J（x，t，i；θ）（5）对于每个x≥ 0，t∈ [0，T），i∈ M，终端条件V（x，T，i）=U（x）。我们将为这个问题找到一个明确的解决方案。换言之，我们将找到一种不理想的交易策略θ*达到最大期望效用值v（x，t，i）=J（x，t，i；θ*)并显式计算值函数V。3、解的构造通过经典的随机控制参数，我们知道V（Xt，t，Yt）在任意策略θ下是上鞅，在最优策略θ下是鞅*. 这导致了与随机控制问题（5）相关的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程，即supθ∈RLθV（x，t，i）=0，（x，t，i）∈ [0, ∞) ×[0，T）×M（6），终端条件V（x，T，i）=x的U（x）∈ [0, ∞), 式中，lθV（x，t，i）=Vt+θσ（i）Vxx+θ（u（i）- r（i））Vx+r（i）xVx+QV（x，t，·）（i）。这里，我们使用符号fx=fx、 fxx公司=fx、 英尺=ftandQf（x，t，·）（i）=Xj6=i[f（x，t，j）- f（x，t，i）]qij。值得注意的是，HJB方程（6）是一个退化的二阶抛物方程，因此它可能没有光滑解，甚至可能不存在经典意义上的解。因此，（6）的解决方案将被理解为粘度解决方案，下一节稍后将具体说明。

下面，我们启发式地构造一个候选最优策略θ*andvalue函数V求解（6），假设V是充分光滑的。下一节将介绍最优性的严格验证，以及此类候选者确实是价值函数。形式上，由于Lθ在θ中是二次的，并且假设Vxx<0，则θ所附加的最大值*t=-[u（Yt）- r（Yt）]Vxσ（Yt）Vxx（7）和V in（6）求解耦合非线性偏微分方程（PDE）Vt+r（i）xVx+QV（x，t·）（i）-（u（i）- r（i））Vx2σ（i）Vxx=0V（x，T，i）=U（x）。（8） 目标是找到该系统的显式解V（x，t，i）。为此，我们进一步指定了效用函数U（x）。考虑功率效用U（x）=xγγ，γ<1，γ6=0。财富x与策略θsin（1）的线性关系、效用函数的性质U（xy）=U（x）yγ以及马尔可夫性质表明，价值函数v（x，t，i）=U（x）g（i，t- t） （9）其中g（i，0）=1。将此表达式代入HJB方程（8）并设置g≡ g（i，T- t） ，yieldsgt- r（i）xU′（x）U（x）g- Qg（·，T）- t） （i）+（u（i）- r（i））2σ（i）[U′（x）]U（x）U′（x）g=0g（i，0）=1。很容易看出这一点-xU′（x）U′（x）=1- γ和xU′（x）U（x）=γ。这给出了以下耦合PDE方程，它不依赖于x，gt- Qg（·，T）- t） （一）- γ（u（i）- r（i））2（1）- γ） σ（i）+r（i）g=0g（i，0）=1。这是经典Cauchy问题的状态转换版本（见[23]），解的随机表示由g（i，T）给出- t） =E经验值ZT公司-tγ（u（Yu）- r（Yu））2（1- γ） σ（Yu）+r（Yu）杜邦| Y=i. （10） 在第5节中，我们将展示使用拉普拉斯变换计算价值函数的一般方法。4、通常情况下，粘度解定义在状态空间的开放子集上，在这种情况下为（0，∞), 并且这种解决方案不是在实际状态空间上预先定义的[0，∞) （召回Xs≥ 0).

为了纳入状态约束（例如边界水平x=0时的约束），Soner【24】引入了约束粘度解的概念，并且该思想已在【11】、【12】和【25】中适用于二阶算子。在本节中，我们首先说明了约束粘度解的存在性。然后说明V是x中凹函数类中唯一的约束粘性解，终端条件V（x，i，T）=U（x），并且V是有效粘性。最后，我们验证了前一节中构造的候选函数与值函数一致。设O=（0，∞) ×[0，T），因此闭包\'O=[0，∞) ×[0，T]。考虑函数：(R)O×M×R×R 7→ Rdefined byH（x，t，i，p，A）：=最小θ∈R-θσ（i）A- θ（u（i）- r（i））p- r（i）xp对于每个固定i∈ M、 函数H是连续的。此外，H满足退化椭圆的性质，na melyH（x，t，i，p，A+B）≤ H（x，t，i，p，A），如果B≥ 现在考虑函数f（x，t，i，v，vt，vx，vxx）：=H（x，t，i，vx，vxx）- 及物动词- Qv（x，t，·）（i）。形式上，与（5）中的值函数相关的HJB方程可以写为f（x，t，i，v，vt，vx，vxx）=0。（11） 我们现在陈述了（11）的约束粘度解的定义。我们密切关注[11]和[12]，并在我们的设置中对约束粘度溶液的定义进行了自然修改。定义2。